二次函数、一次函数与绝对值不等式问题的探讨.doc

本文发表于中学数学杂志（高中版）2004年5月第3期二次函数、一次函数与绝对值不等式问题的探讨215006 苏州市第一中学 刘祖希 苏希常有关“绝对值不等式与二次函数、一次函数”问题，近年来屡次在高考压轴题中出现，本文试进行多方位地探讨，得到几种有效、普遍的方法.1 函数值问题有关函数值问题，以下列这组习题最为典型、棘手：1.0 问题组已知，当，总有.试证以下系列问题：求证：. 求证：当，总有. 求证：当，总有.记， 求证：当，总有.记，求证：当，总有.记，求证：当，总有.记.求证：当，总有.1.1赋值法、待定系数法问题证明：分别取得，.，.，.1.2最值点分析、分拆、配凑、调整、待定系数法闭区间上二次函数的最值必在两个端点处和顶点处取得，亦如此.一证问题： ，.；.；.若，则顶点不在闭区间内，函数最值在端点取得，由知，当，；若，则；由知，当，总有.完全类似可证问题.问题、是一类问题，只证.问题证明：，.；.；由知，当，总有.1.3二次函数化为一次函数问题证明： （二次函数一次函数）.此时，又联想起一个类似的问题：记，当，总有. 求证：当，总有.问题证明： （二次函数一次函数）.1.4一次函数化为二次函数问题、的另一种证明，只证问题.问题证明： （一次函数二次函数） （）.1.5系数表出法（二次函数赋值式）一般地，对函数而言，由可将系数表出为：，此时可表为另一种形式赋值式：.该方法的实质是通过三个独立条件“确定”三个参数.二证问题：，即时，.完全类似可证问题.1.6区间转移法三证问题：因而，考虑将转移为.待定参数，使得，易得.完全类似可证问题.1.7多种方法在同一问题中的比较下面通过几个习题，将以上介绍的几个方法作一个对比，请读者明鉴.例1 已知，.求证：若，则.证法1：最值点法.；.；.若，则由知，当，总有；若，即，则，（函数在上递增）；由知，当，总有.证法2：直接法.实质是关于变量地二元函数，可采用“顾此失彼”的方法化为一元函数.例2 已知，.求证： 时.证法1：系数表出法.证法2：直接法.实质是关于变量地二元函数，可采用“顾此失彼”的方法化为一元函数. .例3 已知，记的最大值为.求证：.证法1：由的定义，故.证法2：最值点法.(较繁，略)证法3：反证法. (较繁，略)例4 已知，满足1且，求的取值范围.解法1：系数表出法.由，可解得，将以上二式代入，并整理得, .又，, .解法2：待定系数法.1.8关于等号成立的实例以上问题均我们一直忙于演算，并没有重视取等号的问题，实际上，可以、 等为例实现等号成立.1.9一点背景前面的问题中，时，有.一般地，记，时，有.有兴趣的读者可进一步探讨.2 根的范围、系数的范围有关“根的范围、系数的范围”问题，有以下两个主要处理方法.2.1二次函数的零点式例1 已知方程的两个实数根为.若且，求证：.证法1：最值点法.， 证法2：直接法.例2 已知方程的两个实数根为.若，求证：.若，求满足条件的最小正整数.证法1：赋值法.证法2：直接法.例3 已知方程的两个实数根为.若为正整数，求证：的最小值.证法1：赋值法.证法2：直接法. 例4 已知方程，.是否存在一对实数同时满足下列条件：；.题10 ，.证明： .用题10结论来看待一道高考题.题11 (1993年全国高考题)已知关于的实系数二次方程有两个实数根，证明:()如果，且，那么，且；()如果，且，那么，且. 证明： ()()一并证明如下：， 且且且且且且.2.2结构化思想、待定系数法例5 已知方程，时.求证：.证法1：赋值法.证法2：直接法.参考文献：1.宋相忠、李庆何.关于新教材一个习题的思考.中学数学杂志（高中），2003.42.林洽仲.的赋值式及其应用.中学数学