第四章 本构方程.ppt.Convertor.doc

Chapter 4 Constitutive Equations 本构方程4-1. Introduction 引言应力分析：从静力学的角度得到力的平衡方程和边界条件。应变分析：从几何学的角度研究变形几何方程和边界条件。本构关系：研究应力与应变之间存在的内在联系。4-2. Experiments 拉伸和压缩时的应变应变曲线 1、低碳钢拉伸试验曲线： 线弹性阶段：OA 弹性阶段：AB B点应力：弹性极限 屈服阶段：CD C点应力：上屈服极限 D点应力：下屈服极限 塑性流动阶段：DH 强化阶段：H点以后 缩径阶段：b点以后2.无明显屈服阶段材料 应力应变曲线: 屈服极限规定用产生0.2塑性 应变所对应的应力来表示。记为0.23.包辛格(J.Bauschinger)效应(反向屈服效应):具有强化性质的材料随着塑性变形的增加，屈服极限在一个方向上提高而在相反方向降低的效应。一般认为这是由多晶材料晶界间残余应力引起的。通常 且若 称为理想包辛格效应。4.真实应力应变曲线讨论：=P/A0 A0：试件初始截面积，为名义应力T=P/A A：试件变形后截面积 T为真实应力T利用体积不可压缩假设：则作图：故有*对简单拉伸，考虑泊松效应若纵向应变 ，则侧向应变为：截面积 体积体积变化4-3.变形能函数 物体受力变形的过程，其本质上是一个热力学过程。 (1)等温过程： 物体在变形过程中，各点的温度与周围介质的 温度保持平衡。 (2)绝热过程： 物体在变形过程中不产生温度的变换。即：物 体温度没有升降，热量无损失或增加。 由热力学第一定律，物体在变形过程中总能量的变化： K +U =A +Q其中： K 为动能的变化， K 为物体的动能 U 为变形能的变化，U 为物体的变形能 A 为外力功的变化，A 为变形过程中外力做的功 Q 为热量的变化，Q 为物体变形吸收(或散发)的热量 设物体的体积为V，变形位移ui，受外力Fi作用则物体的动能变化式中 为速度分量， 为加速度分量注意到故有外力功的变化：式中Fi为体力，Ti为面力，S为物体的表面积利用应力边界条件 和高斯积分公式 的展开式：则面力功的变化：注1：则面力功的变化：*注2：取便有即有则面力功的变化：*注3：考察 故有其中， 为应变分量，表示物体的纯变形部分， 为物体的刚性位移部分，称为转动张量 应力在刚体位移上不做功。为一二阶对称张量为一二阶反对称张量则面力功的变化：从而有物体变形能的变化注意到又注意到物体运动微分方程为：平衡状态下，有平衡微分方程：从而有若变形过程是绝热的，即 则有在平衡状态下，结论：在平衡状态下，外力所做的功等于物体中应变能的变化。 或者说，外力所做的功，全部转化为物体的应变能。记变形能的变化则为单位体积应变能的变化。 记U0为应变分量的函数，即：显然有其全微分为U0表示由于变形而贮存在物体单位体积内的应变能，称为应变能密度函数。定义：应变能的变化应变余能的变化*有则对于应变能密度函数 U0，展开式为：类似地，对于应变余能密度函数U0* ，展开式为：有4-4.广义Hooke定律在小变形情况下，忽略应变分量的高阶值，同时利用零初应力状态假定，得到最一般形式下线弹性应力应变关系的表达式：1、应力应变关系的一般表示:展开式：简记为： 或 写成矩阵形式：简记为：一般情况下，系数Cij不是常数，除依赖温度外，还依赖于在物体中所处的位置。通常Cij随着温度的增高而减小。对于均匀的物体，各点的Cij相同。注意到：则有：即C为对称矩阵，只有21个独立的弹性系数。 即：一般的各向异性弹性材料有21个弹性系数。2、各向异性体弹性材料的应力应变关系：根据前面的讨论，应变能密度函数U0 满足：考察：类似地可得到3、各向同性体材料的广义Hooke定律 各向同性体材料的应力主轴和应变主轴重合。 证明：1以三个应变主轴方向为轴建立坐标系。则对应于三个主轴方向的切应变为零：于是对应于主应变状态的各应力分量为: 132o2建立新坐标系。不妨把坐标系1、2、3 绕 2 轴旋转180 得到坐标系1、2 、3 。坐标系间的方向余弦关系为：在新坐标系1、2 、3 下，对于各向同性体，弹性常数不随方向而改变，则对应于新坐标系下的各应力分量同样有：应变状态的坐标变换显然有：考察应力状态的坐标变换同时 对 的影响和 对 的影响应该没有区别：对于各向同性体材料，在各个方向上的弹性性质相同，显然主应变 对 的影响与主应变 对 的影响和主应变 对 的影响都是相同的，即有即有：同理有于是知：应变主轴坐标系所对应的应力状态是主应力状态，即应变主轴也是应力主轴，或者说：应变主轴和应力主轴重合。从而有：ii各向同性体材料只存在两个独立的弹性常数已知在主轴坐标系下，类似地不妨记则有引入 Lame 常数体积应变则有引入非主轴坐标系 Oxyz，与主轴坐标系间的方向余弦关系记为：在 Oxyz 系下的应力和应变状态分别为不妨考察以及利用主轴坐标系下的结论有于是得到各向同性体材料的应力应变关系即广义 Hooke定律为简记为根据由拉梅系数表示的广义虎克定律：可以解出应变以应力分量表示的形式，即得到以工程弹性常数表示的广义Hooke定律为： 工程弹性常数：E，G， E：（拉压）弹性模量，杨氏（Youngs）模量 G：剪切弹性模量 ：泊松比（Poisson Ratio）4、以工程弹性常数表示的各向同性体的广义 Hooke定律工程弹性常数与拉梅系数间的关系：其中：由于各向同性体只有两个相互独立的弹性常数，故E、G、不互相独立，可知：同时可得到以工程弹性常数E、 表示的拉梅系数为： 为了导出以工程弹性常数表示的各向同性体的广义虎克定律，考虑单向拉伸问题：x 向:y 向:z 向:类似地，叠加：考虑纯剪切问题：即和即有： 为了考察E、 与G之间的关系，仍以单向拉伸问题为例：应力状态：应变状态：在45截面上建立xy 坐标系：则截面上的应力分量应变分量利用有从而有 以单向拉伸问题为例考察工程弹性常数与拉梅系数间的关系已知：则利用有代入：有即有所以有：利用即代入有从而有物体在均匀压力 p 作用下，压力 p 与体积应变 的比值的绝对值称为体积压缩模量 K，K 恒为正。5、体积压缩模量：则广义虎克定律给出：三式相加：于是有：由于在三向等压情况下，综合：这几个弹性常数，有较大的实用意义。4-5.弹塑性力学中常用的简化力学模型2、线性强化弹塑性力学模型1、理想弹塑性模型：3、幂强化力学模型：4、刚塑性力学模型（理想塑性模型）在应力到达屈服极限之前应变为零。46. 屈服函数与应力空间 1、屈服界限的判据：通俗定义屈服点为弹性和塑性的分界点。有明显屈服极限的材料：应力超过s，材料不服从虎克定律。屈服应力s，由简单拉伸曲线图决定（下屈服极限）。(1) 材料受简单拉伸（压缩）：弹塑性分界不明显的材料:依据规定来确定，供工程设计用。通常采用s0.2为屈服极限。定义s0.2为卸载后有0.2%塑性变形所对应的应力。(2) 复杂应力状态：（确定材料的屈服界限就不那么简单） 例如：薄壁圆管受内压P、拉力F和扭矩T作用，管子平均半径r，壁厚为t，tr。管壁应力可简化为一个平面应力问题。组合应力显然，对于不同的外力组合，所产生的应力状态不同。如何确定屈服极限？内压P：拉力F：扭矩T：(3) 对应于不同应力状态的屈服条件： 在一定的内力组合下，所产生的应力随着内力的增加而进入塑性状态，于是就可得到这种应力状态的屈服条件。 确定这种屈服条件，也要通过实验确定。 由于这种内力组合是多种多样的，实验的次数也将很多，不可能一一做到。所以要以实验为基础，从理论上寻求其规律，找出屈服条件的解析式，建立屈服条件的理论。 一般情况下，屈服条件与所考虑的应力状态有关，或者说，屈服条件是一点的6个应力分量的函数，(1) 屈服函数： 屈服条件是与该点的应力状态即6个应力分量有关的，反映了这6个应力分量对屈服的影响： 表示在一个六维应力空间内的超曲面，屈服条件成立。 六维应力空间是指6个应力分量sx, sy,的全体所构成的抽象空间，空间中任一点代表一个确定的应力状态。 代表这一空间内的曲面，不同于普通空间内的曲面，称之为超曲面。2、屈服函数、屈服面、屈服曲线(2) 屈服面： 超曲面点上的物理意义：超曲面上任一点称为应力点，表示一个屈服应力状态。所以超曲面又称为屈服面。例：简单拉伸时，屈服应力s0，用6维空间来描述，坐标 (s0,0,0,0,0,0)的点就在屈服面上。 受扭转薄壁管的纯剪切屈服应力为t0 ，坐标(0,0,0,t0,0,0) 的点也是屈服面上的一个点。 (以上均为屈服面上的特殊点) 用主应力空间描述屈服面： 主应力：对各向同性材料，坐标方向的变换对屈服条件没有影响，故可选取三个应力主轴为坐标轴，屈服条件成为：或 （应力不变量也与坐标轴的选取无关）应力偏量：已知引起弹性体体积变化的球形应力状态（静水压力）不影响材料的屈服，因此屈服条件也可以用应力偏量或应力偏量不变量J2，J3 来表示，即有讨论：1屈服条件可化为应力偏量的函数。 2 屈服函数可在主应力构成的坐标空间（主应力空间）内来讨论。 3 主应力空间是一个三维空间，在这一空间内，屈服函数的几何图像可以直观的绘出，有利于对屈服面的认识。 4 由 因应力偏量第二不变量恒为正值，第三不变量 J3 当应力变号时J3也变号，故屈服函数f 必为J3 的偶函数。或 (3)屈服曲线： 主应力空间特征：建立应力主轴坐标系O s1 s2 s3， 过原点O做直线On与坐标轴夹角相等：由 则注意到故有在On线上任一点所对应的应力状态为：讨论：On线上任一点都对应一个球形应力状态，或静水应力状态，其应力偏量的分量： 平面：某一点的应力状态，可设想用应力空间一点P(s1,s2,s3)来表示，如图。OP为该点应力矢量，矢量OP可分解为沿等倾面法线On及平行于等倾面的两个矢量OQ及OS： OP=OQ+OS若s1= s2= s3= sm，该点的应力状态为静水压力情况，则OP必沿On线方向，此时OQ=OP，OS=0。故一般情况下，把应力状态分界为静水压力及应力偏量状态时，分矢量OQ代表静水压力部分，而OS代表应力偏量部分，也就是确定材料是否屈服的有关部分。这个有特殊意义的平面，称之为“平面”。矢量OS在应力轴上的投影为s1，s2，s3。或r：平面到原点的距离平面过原点时r=0，即有1+2+3=0是为“平面”。 OS所在平面即平均应力为零的平面，它平行于等倾面又通过坐标原点，可用方程表示为： s1+s2+s3=0 （思考？）*法线为 的任一平面的平面方程： 应力分量讨论：*考虑静水应力分量OQ：*由于On线上 1=2=3=m，应力偏量分量OS：或8：八面体上的切应力又八面体切应力*等倾面上思考？其中pN为等倾面上的全应力： pN(XN,YN,ZN)：一点附近正八面体是由八个等倾面封闭组成的，故上述等倾面的正应力和切应力也称之为八面体上的正应力和切应力，通常用8和8表示，即八面体应力： 屈服曲线：平面法线上应力点矢量特征屈服面是柱形体屈服曲线在面上屈服轨迹的特性*在应力空间中，将实验所得各种应力状态下初次屈服时的应力点连起来构成一个空间曲面，即屈服面。它将应力空间分成两部分，应力点在屈服面内属弹性状态，在屈服面上属弹性状态的极限和塑性状态的开始；在屈服面外则属于塑性状态的继续。平面法线上应力点矢量特征屈服面是柱形体屈服曲线在面上讨论：若应力空间中一点P1已达到屈服状态，其应力矢量OP1在平面上分矢量OS1,过P1点且平行于平面法线On的直线AB上的任一点P(P1, P1, )，其应力矢量在平面上的分矢量皆为OS1，即应力偏量相同。即当P1点达到屈服状态（屈服面上的一点）时，AB线上各应力点亦同时达到屈服。AB是屈服面上的一条直线。同样过P2点平行于On的DE线上的各点也随着P2点同时达到屈服。由此判定，屈服面的几何图形是柱形体，其轴线为On，其母线垂直于平面。因此屈服面的形状可用与p平面的截线C来表示。截线C称之为“屈服轨迹”，也叫屈服曲线。以上讨论由三方面含义： 应力空间中任一条平行于p平面法线On的直线AB上各点的应力偏量分量均相等，只是静水压力分量不同。一点的塑性屈服只取决于应力偏量状态，与静水应力无关。屈服函数在p平面上是一条封闭曲线，称之为屈服曲线。自原点O出发的任一向径不能和曲线C相交两次（因为相交两次意味着有两个应力状态同时满足屈服条件，这是不可能的。）考虑材料是初始各向同性的，因此坐标变换对屈服没有影响。如果应力点(s1, s2, s3)是屈服面上一点，则(s1, s3, s2)也必是屈服面上一点。因此，s1保持不变，轨迹C必然和直线LL 对称。同理屈服轨迹必和MM 及NN对称。*如以纸面为p平面，三个主应力轴s1, s2, s3在p平面上投影为s1,s2, s3 ，则屈服轨迹C具有如下性质：屈服轨迹的特性考虑到材料的拉伸与压缩屈服极限相等，如果应力点(s1, s2, s3)在屈服面上，则应力点(- s1,- s2,- s3)亦必在屈服面上。因此通过O点作一直线，其两端与曲线C的交点一定与点O对称。联系性质2 则屈服轨迹必和LL ， MM ， NN的垂直线AB，CD，EF对称。这样，屈服轨迹就有6个对称轴，曲线C由12个相同的弧段组成。因此进行屈服条件的实验研究中，只要确定一个弧段，即30o范围的图形即可。屈服轨迹的特性*讨论：屈服曲线在平面内的重要性质：屈服曲线是一条封闭曲线，坐标原点一定被包围在曲线之内。从物理概念上理解：坐标原点是一个无应力状态，材料当然不能在无应力下屈服，所以屈服曲线不可能通过原点。又由于在初始屈服面内是弹性状态，所以屈服曲线一定是封闭的，否则将出现不屈服的状态，这是不可能的。屈服曲线与任一坐标原点出发的向径必相交一次，且仅有一次。材料在一种应力状态下达到屈服，就不可能又在与此应力状态形态一致的另一应力状态达到屈服，即初始屈服只有一次。屈服曲线对三个坐标轴的正负方向均为对称。由于应力偏量对s1, s2, s3的对称性和不计包辛格效应，因此对s1, s2, s3轴的两侧及其正负方向均为对称，所以屈服曲线必在12个30o的扇形区域内有相同的形状。屈服曲线对坐标原点为外凸曲线，屈服面为外凸曲面。().讨论：屈服面的外凸性. 材料稳定性假设： (a)稳定的材料：(b)不稳定的材料：ds0ds0, de0应力增量做功dsde0，将产生应变增量de0ds在de上做功dsde0具有这种特性的材料称为稳定的材料。(c)稳定性假设： 对稳定的材料，以下关系式成立： dsijdeij0 讨论： dsijdeij0表示在加载过程中，应力增量所做的功恒为正。 表示在加载与卸载的整个循环中，应力增量所完成的净功恒为非负。以上关于材料稳定性的论断，称为稳定性假说，或称为卓柯(Drucker,D.C)假设。及sij*：物体各点的弹性应力状态sij ：应力状态(增加的、现有的) 强化材料的加载和卸载(a) 单向拉伸时强化点是随着塑性变形历史而改变，在复杂应力状态下，加载面也随着塑性变形历史而改变。即当初始屈服以后，应力继续增加时，屈服面将随着应力变化过程按一定规律变化，形成一系列屈服面，这些屈服面称为继生屈服面。物体某处的应力状态为sij*，相应于应力空间的A点，再加载，应力点的位移轨迹为ABC，卸载CA。(b)加载卸载循环中所做的功：总应变增加量deij ：其中 deije 为弹性应变增量，它是可恢复的； deijp 为塑性应变增量，它是不可恢复的。在图示ABCA循环中， sij 为任一屈服状态(B点) sij*为任一弹性应力状态(A点)在加载卸载过程中，在弹性范围内，应力增量(sij*-sij*)对deije 所做的功为零（因弹性应变能恢复）。稳定性假设的第二条可写成其中，AB段为弹性加载过程，CA段为卸载过程（按弹性规律），BC段产生塑性应变增量deijp 上述回路积分可改写成：*在应力循环中(ABCA)，塑性变形分析： 在此ABCA循环中，塑性变形是一个无穷小量，即 是 一个无穷小量，而 也是一个无穷小量。当 BC0，近似得 或称为局部最大原理。对理想塑性材料，当应力点位于屈服面上时，则只可能有证明：屈服面必为凸曲面。47、常用屈服条件：对屈服条件的研究已有两个世纪。所谓屈服条件，就是材料进入塑性状态时应力分量之间所必须满足的条件。经过200多年的研究，经过许多试验验证，证明符合工程材料特性、又便于工程应用的常用屈服条件有以下几种：1. Tresca 最大剪应力屈服条件：1864年，法国工程师屈雷斯加(H.Tresca)根据Coulomb对土力学的研究以及他自己在金属挤压试验中得到的结果，提出当最大剪应力达到某一定值0时，材料就发生屈服。因此， Tresca 屈服条件可用数学式表示为： max =KK为材料的剪切屈服应力，对不同材料的K值，要由实验确定。由其中s1 s2s3则Tresca 条件也可写成：例：1o. 对简单拉伸， s1=s0， s2=s3=0 屈服条件： s0=2K 即 2o. 对纯剪切， s1=-s3=0 ， s2=0 屈服条件： 0 =K 即 K= 0于是：纯剪切屈服极限是简单拉伸屈服极限的一半，即*讨论：对于一般情况下的1,2,3 ，（即不按123的顺序排列）, Tresca屈服条件可写成： 或者： 写成应力偏量不变量的表达式： 其中K为最大剪应力屈服值，它等于简单拉伸屈服应力值的一半。*Tresca屈服条件在主应力空间中的表示：表示一对平行于3及面法线的平行平面，故Tresca屈服条件建立了与坐标轴成等倾斜的各边相等的正6角柱体。屈服轨迹是一个正六边形。外接圆半径为 （即2K在面上投影）。 *讨论：主应力空间中屈服面上一点在平面上的投影：沿1=2=3轴（即ON轴）方向看，屈服面在面上投影是为屈服曲线。坐标轴1,2,3在面上投影为1,2,3 。在面上建立Oxy，其中y与2重合。考虑等倾面OABC，显然平行于平面，与平面距离为OO. 等倾面法线 沿ON方向，即从而则1,2,3在面上投影同时，平面上应力在 x, y 轴上投影为例3o：在平面应力状态下，令s3=0则 s1-s2=2K s1=2K s2=2K屈服轨迹是斜六边形。讨论：应力点处于六边形内部时，材料处于弹性状态。当应力点达到屈服六边形上任一点时,材料开始进入塑性状态。Tresca条件的局限性：屈服轨迹不是光滑曲线，数学上应用困难。没有考虑中间应力影响。2. Mises畸变能屈服条件： 畸变能：由于形状变化所储存在单位体积内的应变能。 (1)畸变能计算 引起形状改变的应力状态为应力偏量Sij:(偏应力偏量)由于形状变化所储存在单位体积内的应变能畸变能： 其中 sij为应力偏量 eij为应变偏量用主应力表示的畸变能：其中从而其中为第二应力偏量不变量为八面体上的剪应力*由广义Hooke定律：(2)Mises 屈服条件： 1913年Mises提出的用Tresca正六角柱体的外接圆柱体（即正六边形的外接圆）作为材料的屈服条件，从而克服了Tresca 屈服条件的局限。 Mises圆的方程 或 整理： (s1-s2)2+(s2-s3)2+(s3-s1)2=2(2K)2 由简单拉伸实验 ss=2K 有(s1-s2)2+(s2-s3)2+(s3-s1)2=2ss2 *定义“应力强度”或“等效应力”则有 si=ss若用第二应力偏量不变量J2来表示，纯剪切时，（s1=-s3=s， s2=0）有 （按Tresca屈服条件， ）平面应力状态下，令s3=0，有 s12-s1s2+s22=ss2 是为椭圆方程。(为Tresca斜六边形的外接圆）(3) Mises 屈服条件的物理解释： 1924年，汉基的畸变能准则： （畸变能达到某一数值时屈服） 即 单向拉伸时，（s1=ss， s2= s3=0）有从而有 或与Mises条件一致。1933年，那达依的八面体剪切力准则：8=K2 (对单晶体可以，对多晶体意义不大)1930年，罗斯和爱欣格的最大剪应力均方值准则：都能得到与Mises准则同样形式的屈服函数。3. Tresca 屈服条件与Mises屈服条件的讨论：几何上：按Tresca屈服条件，屈服面是平面正六边形为母线的正六角柱体，屈服曲线为一正六边形。6个角点由实验得到，6边形连接成直线是假设的结果。按Mises屈服条件，在平面内的屈服曲线就是Tresca六边形的外接圆，屈服面便是Tresca屈服面的外接圆柱。iiTresca最大剪应力条件是主应力分量的线性函数，对已知主应力方向及主应力间的相对值的一类问题，是比较简便的，而Mises畸变能条件则显然复杂的多。Tresca条件忽略了中间主应力对材料屈服的影响，有欠缺，而Mises条件克服了这一点不足。实验证明，Mises条件比Tresca条件更接近于实验结果。4.混凝土材料的屈服条件： (1)特点：混凝土、岩石类工程材料，受压强度比受拉强度高得多。 无明显的屈服极限。拉伸图中-s曲线中无明显的直线段。以s0.2 规定为屈服极限。(2)屈服条件： 一般应力状态下的屈服条件，应在总结大量实验基础上确定。对于平面应力状态下混凝土材料的屈服曲线，主要不同在于混凝土材料的受压与受拉屈服应力值的不同。（如右图）屈服条件为： 1o. 当s1s3s2，s3=0时，有 2o.当s1s2s3，s3=0时，有 3o.当s1s2，s10时，有库伦莫尔(Coulomb-Mohr) 屈服条件： 令 so为材料简单拉伸的屈服应力 so为材料简单压缩的屈服应力例题：已知圆形截面直杆受弯扭组合作用，其弯矩Mb=10kN.m， 扭矩MT=30kN.m，简单拉伸时屈服应力so=300MPa，安 全系数n=1.2 求：直径d为多大才不致屈服。解：考虑杆截面及其应力状态：Tresca条件给出：s1-s3=ss 或弯扭组合作用，杆内主应力s3=0 其中代入：d=0.109m, 即d至少要10.9cm。Mises条件给出： s12-s1s2+s22=ss2 代入 整理得： s2+32=ss2 或代入有：d=0.104m=10.4cm, 即d至少要10.4cm。48、增量理论：塑性状态下的本构关系我们已经研究了在复杂状态下材料的屈服条件。当受力物体中一点的应力状态达到屈服条件后，在弹性范围内所建立的应力应变关系就不再适用，需要建立塑性阶段的本构关系，以描述塑性阶段应力与应变之间的关系。 在塑性阶段，应力不但与应变有关，还和整个变形历史、 物质微观结构的变形有关。 在塑性阶段，应力应变关系的重要特点： (a)非线性：即应力应变关系不再是线性关系，即Hooke 定律不再成立。 (b)不唯一性：指应力应变不象弹性状态那样具有一一对应的关系，也就是应变不能由应力唯一确定。1.问题提出：几个基本概念： (a)应力路径：在应力空间中，由于外载荷变化引起应力变化，使得代表一点应力状态的应力点产生移动，应力点移动的轨迹称为应力路径。 (b)变形历史：记录应力状态变化的过程称为应力历史。 (c)加载路径和加载历史：在载荷空间中载荷点变化的轨迹即加载路径，该过程称为加载历史。小结：弹性阶段：应变直接由Hooke定律求出，不需要了解变形历史。即：应变由应力即可决定。 塑性阶段：应变状态不但与应力状态有关，而且依赖于整个的历史。或者说：应变是应力和应力历史的函数。简例：弹性阶段，零应力下一定是零应变。塑性阶段，零应力下不对应零应变，且残余应变不唯一。注意到 显然， 是卸载后的残余应变。 卸载时 保持不变，继续加载才有变化，即塑性应变和加载路径有关。 由于塑性状态的特点，在研究问题时，必须讨论应力的变化特征和应变的变化特征，计算时要考虑应力和应变的微量变化，计算其全部加载历史过程的增量，再积分求和。因此，塑性理论具有增量特征，塑性本构关系的本质是增量关系。塑性状态时的应变：其中： 一点的总应变 弹性应变部分 塑性应变部分2. 弹性本构关系的增量表示：应变增量：考虑： s m(静水应力)只引起体积变化 sij(偏应力张量)只引起形状变化 由于塑性变形只由偏应力张量引起，故塑性状态的体积变形 即在塑性状态，材料不可压缩： 或或应变偏量的增量：考虑平均应变的增量 考虑应变偏量增量广义Hooke定律：弹性范围应变增量与应力增量之间关系：而应力偏量 的增量 为或考察应变偏量exe的增量整理同理有又有从而于是得到弹性范围内应力偏量增量与应变偏量增量之间的关系：其中 为弹性体积膨胀系数* 由于 则讨论：(1)在弹性阶段，应力偏量增量与应变偏量增量成比例， 比例常数为2G。(2)平均正应力增量 与平均正应变增量 关系:故或者3. 塑性阶段的本构关系：说明塑性部分增量是总的应变偏量增量减去弹性部分应变偏量增量。塑性应变增量由考虑简写成：其中 为非负的标量比例函数， 根据加载历史的不同而变化。基本假定：在塑性变形过程中的任一微小时间增量内，塑性应变增量 与瞬时应力偏量 sij 成正比，即或增量理论的本构方程：考察注意到故有塑性应变增量 即是塑性偏应变增量本构方程导出：由其中故有代入有称为普朗特-雷斯本构方程展开式：这些本构方程给出了不同方向间塑性应变增量之比的关系式，实际大小并不确定。 方程表示应力主轴与塑性应变增量主轴重合。讨论非负的标量比例常数 的计算：由则整理：求 :注意到 是在应力满足屈服条件时才不等于零，因此可以通过屈服条件来求 。考虑同理有写成如下形式：注意到：有于是得：考虑有效应力(或称应力强度) si为:定义有效塑性应变增量(或称塑性应变强度增量) 为:从而有代入本构方程有讨论：上式为普朗特-雷斯方程的另一形式. 由 在塑性阶段，可忽略弹性应变部分影响，即有： （在塑性阶段）称为Levy-Mises 方程可得由上述方程可见，流动理论的本构方程与广义虎克定律 在形式上相同，除含应变增量外，所不同的系数部分不同。若在广义虎克定律中，泊松比用 代替， 用代替，则可得流动理论的本构方程。本构方程 和为si的函数，也即J2 的函数，上述方程要用到Mises屈服条件（K2=J2），故它们是与Mises条件相关连的本构关系。1. Levy-Mises流动法则 这个理论认为应变增量主轴和应力主轴重合, 应变增量分量与相应的应力偏量分量成比例, 即式中的比例系数决定于质点的位置和荷载的水平. 这一理论是Levy和Mises分别在1871年和1931年独立提出的, 所以被称为Levy-Mises流动法则. 这个关系式不包括弹性变形部分, 所以只适用刚塑性体.2. Prandtl-Reuss流动法则 这个理论考虑了塑性状态变形中的弹性变形部分, 并认为弹性变形服从广义Hooke定律; 而对于塑性变形部分, 被认为塑性应变增量的主轴和应力偏量的主轴重合. 即又由塑性不可压缩性,体积变化式弹性的,有这就是Prandtl-Reuss流动法则解：分析思路： 求圆筒的一点应力状态： 周向应力（环向应力） 轴向应力 （纵向应力）例：已知薄壁圆筒受内压 p 作用，内半径为 a ，壁厚为 t ，假设 材料不可压缩，求圆筒完全进入塑性状态后主应变增量间的 比值。由于，at，故径向应力sr（外壁处为0，内壁处为p）与s 、 sz相比很小，故可设sr =0 则s=2 sz平均应力应力偏量的分量（内侧点）应变偏量分量增量：有主应变偏量分量增量之比，即主应变分量增量之比讨论：由以上结果可以看出，薄壁筒的长度没有变化，z方向应变增量为零。只是由于壁厚的减小而引起直径的变化。由以上例子可以看出，如已知应力状态，则可以唯一地确定变形的形式，但若只知应变状态，变得不到唯一解。这是因为这一变形形式可以对应许多只相差一个平均应力sm而具有相同应力偏量的应力状态，若得到这一情况下的唯一解，还应当知道某一主应力值。1. 问题提出： (1)由增量理论，若想了解塑性状态下某一时刻应力应变间关系，必须了解应力和应变的历史，然后用增量理论方程沿路径积分才能得到全量间的关系，计算量很大。 (2)全量理论企图直接建立用全量表示的本构关系，但是这只有在某些特殊的加载历史条件下才有可能。一般塑性应变是与加载路径有关，所以全量理论一般说来不正确。我们讨论某些特殊情况。2.比例加载下的全量理论： (1) 所谓比例加载，指在加载过程中，任一点的各应力分量都按比例增长，即各应力分量与一个共同的参数成比例。49、全量理论：* K为单调增长的时间函数， 则si为有效应力设 t0 时刻的任一应力状态sij0，要求sij0不为零，称之为非零 参考状态。则任意瞬时t，该点的应力状态为sij有各应力分量与一共同参数成比例。分别写成(2)在比例加载时，增量理论可简化为全量理论：即积分：由此得：即有其中为有效应变， si为有效应力。全量理论（本构方程）的展开式：上述称之为全量理论的本构方程，又称汉基伊留申方程。塑性应变仅为瞬时应力状态的函数。讨论：小变形条件下，伊留申进一步证明下式成立：全量理论的本构方程用于弹塑性过程中，必须保证物体内各点的应力都处于比例加载过程。卸载时上述本构方程不成立。其原因是卸载时塑性变形保持不变，所以卸载过程中应力应变分量服从虎克定律（由单向拉伸曲线过屈服后卸载情况去理解）工程问题中，很多问题近似比例加载，所以采用全量理论解决实际问题比较简单，且可获得满意的工程结果。解： 应力分量应力偏量分量塑性应变的比例： 由求 ：求si：