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文档简介
数学与应用数学专业常微分方程试题电大天水分校麦积教学点 王景昕2004年9月一、填空题(每小题3分,本题共15分) 1方程所有常数解是 2方程的基本解组是 3方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 4函数组在区间I上线性无关的 条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不恒等于零 5若是二阶线性齐次微分方程的基本解组,则它们 共同零点 二、单项选择题(每小题3分,本题共15分) 6方程的奇解是( )(A) (B) (C) (D) 7. 方程过点共有( )个解(A)一 (B)无数 (C)两 (D)三 8阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是( )个 (A) (B)-1 (C)+1 (D)+2 9一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差( ) (A)不是其对应齐次微分方程组的解 (B)是非齐次微分方程组的解 (C)是其对应齐次微分方程组的解 (D)是非齐次微分方程组的通解 10如果,都在平面上连续,那么方程的任一解的存在区间( ) (A)必为 (B)必为 (C)必为 (D)将因解而定三、计算题(每小题分,本题共30分) 求下列方程的通解或通积分: 11. 12. 13. 14 15四、计算题(每小题10分,本题共20分) 16求方程的通解 17求下列方程组的通解 五、证明题(每小题10分,本题共20分) 18在方程中,已知,在上连续,且求证:对任意和,满足初值条件的解的存在区间必为19在方程中,已知,在上连续求证:该方程的任一非零解在平面上不能与x轴相切试题答案及评分标准 一、填空题(每小题3分,本题共15分) 1 23,(或不含x 轴的上半平面) 4充分 5没有 二、单项选择题(每小题3分,本题共15分) 6D 7B 8A 9C 10D 三、计算题(每小题分,本题共30分) 11解: 令,则,代入原方程,得 , (2分) 当时,分离变量,再积分,得 (4分) (5分)即通积分为: (6分) 12解: 对应齐次方程的通解为 (2分) 令非齐次方程的特解为 (3分)代入原方程,确定出 (4分)再求初等积分得 (5分) 因此原方程的通解为 + (6分) 13解: 积分因子为 (3分) 取,则原方程的通积分为 (5分) 即 (6分) 14解: 令,则原方程的参数形式为 (2分) 由基本关系式 ,有 (4分) 积分得 (5分) 得原方程参数形式通解为 (6分) 15解: 原方程是恰当导数方程,可化为 (2分)于是积分得 (4分) 分离变量得 (5分)积分得通积分为 (6分) 四、计算题(每小题10分,本题共20分) 16解: 对应的齐次方程的特征方程为: (1分)特征根为: (2分)故齐次方程的通解为: (4分) 因为是单特征根所以,设非齐次方程的特解为 (6分)代入原方程,有 , (7分)可解出 (8分)故原方程的通解为 (10分) 17解: 方程组的特征方程为 即 (1分)特征根为 , (2分) 对应的解为 (3分)其中是对应的特征向量的分量,满足 (4分)可解得 (5分) 同样可算出对应的特征向量分量为 (8分)所以,原方程组的通解为 (10分) 五、证明题(每小题10分,本题共20分) 18证明: 由已知条件,该方程在整个 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件 (2分) 显然 是方程的两个常数解 (4分) 任取初值,其中,记过该点的解为,由上面分析可知,一方面可以向平面无穷远处无限延展;另一方面又上方不能穿过,下方不能穿过,否则与惟一性矛盾,故该解的存在区间必为 ( 10分) 19证明: 由已知条件可知,该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件,且任一解的存在区间都是 (2分) 显然,该方程有零解 (5分) 假设该方程的任一非
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