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文档简介

2. 差分格式的构造1 差分格式对于描述流体流动的微分方程定解问题，用差分来近似方程及定解条件中的导数，就可以构造出该定解问题的差分格式。【例】波动方程初边值定解问题（注）根据特征线理论，边值函数 和 依赖于初始条件，不能随便给，否则会与初始条件矛盾，导致问题无解，这在数学上叫做定解条件的相容性。这里假定上面所给的定解条件是相容的。计算区域的离散化：假设求解到 时刻，则问题的求解区域为 ， 。为了进行差分近似，取定自然数 （作为空间网格的数目）和 （作为时间网格的数目），空间 方向的步长取为 ，时间 方向的步长取为 ，记 ，（） ，（）求解区域里像 这样的点称作网格点。定解问题的离散化：在网格点 处列出方程对方程中的二阶时间导数和二阶空间导数，都采用中心差分近似，即代入原方程，就有略去误差项，得用 表示 的近似解（ ，），我们希望这一近似解能够使上述近似表达式还原成精确成立的等式（这样才能确切地使用它），也就是要求 满足此式是一个差分方程，称为原方程的差分近似。（注）因为是在网格点 处列出的方程，所以在近似时间导数时，空间自变量 的取值固定在 处，而在近似空间导数时，时间自变量 的取值固定在 时刻。上述导出差分方程的过程比较繁琐，但我们可以把这一过程总结为：“用近似解的差分表达式代替原方程中的（偏）导数，得到其差分近似”。对定解条件中的一阶时间导数，在网格点 处有向前差分近似于是就有略去误差项，得我们希望近似解也能够使上述近似表达式还原成精确成立的等式，也就是要求 和 满足此式也是一个差分方程，称为定解条件的差分近似。上述过程也可以总结为：“用近似解的差分表达式代替定解条件中的（偏）导数，得到其差分近似”。将上述两个过程综合在一起（如果原定解问题中还有其他含有偏导数的关系式，需将多个这样的过程综合在一起），就是“用近似解的差分表达式代替定解问题中的（偏）导数，得到其差分近似”。这样做的结果，将得到一组代数关系式，称为定解问题的差分近似，也叫作定解问题的差分格式，简称“格式”。（注）由于定解问题中的每一个偏导数都有多种差分近似，所以一个定解问题可以有多个不同的差分格式。具体到这里的定解问题，上面的过程给出如下的格式将它改写成便于计算的形式其求解步骤如下：时刻（） ：时刻（） ： ，() ，时刻（） ：，() ，一般地，
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