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第一节外测度 第三章测度论 一引言 其中 2 新的积分 Lebesgue积分 从分割值域入手 问题 如何把长度 面积 体积概念推广 达布上和与下和 Riemann积分 二 Lebesgue外测度 是非空的 因而定义有意义 2 Lebesgue外测度的性质 2 单调性 3 次可数可加性 1 证明 1 显然成立 2 因而 3 对任意的 0 由外测度的定义知 对每个An都有一列开区间 即用一开区间 Inm 列近似替换An 注 一般证明都是从大的一边开始 因为外测度的定义用的是下确界 由的 任意性 即得 注 外测度的次可数可加性的等号即使A B不交也可能不成立 反例要用不可测集 但有 当区间Ii的直径很小时候 区间Ii不可能同时含有A B中的点从而把区间列Ii分成两部分 一部分含有A中的点 一部分含有B中的点 若d A B 0 则 例 证明参见教材p 56思考 书本中的证明用有限开覆盖定理的目的何在 此例说明Lebesgue外测度某种程度是区间长度概念的推广 对任意区间 有 三零测集 1 零测集的定义 外测度等于零的集合称为零测集 证明 例设E是 0 1 中的全体有理数 试证明E的外测度为0 证明 由于E为可数集 再由 的任意性知 2 零测集的性质 定理 1 零测集的任意子集还是零测集 2 至多可数个零测集的并还是零测集 证明
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