平面的性质.doc

李老师精品辅导系列点、线、面位置关系 学习改变命运，思考成就未来平 面 的 性 质基础知识概要1. 平面的概念：平面有两个特征，一是“平”，二是“无限延展”。平面没有面积、大小、厚薄之分，平面是最基本的几何概念，对它只加以描述而不定义。 2.平面的画法：（1）在立方体几何中通常用平行四边形表示平面，但有时也用三角形、圆等其它图形来表示。（2）水平放置的平面：通常用锐角为，横边是邻边的2倍的平行四边形来表示。（3）两个相交平面：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，被遮住的部分要画成虚线或不画。3. 平面的表示：（1）用一个希腊字母表示，如：平面、平面、平面。（2）用多边形的一条对角线的两个端点字母表示：如：平面AC、平面BD。（3）用多边形的各个端点字母表示：如：平面ABC、平面ABCD。4.有关公理的说明：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。 (1)公理1说明了平面与曲面的本质区别通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法（2）公理1研究直线和平面的关系，它既可以用于判定直线是否在平面内，又可以用于检验平面是否经过直线，也是画两个平面交线的依据。公理2： 过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。 推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。（1）公理2及三个推论给出了确定平面的条件，确定平面的条件是将空间图形问题转化为平面图形问题来解决的重要条件，也是为证明直线共面提供了依据。对于公理3及三个推论，必须透彻理解“有且只有”的含义，这里“有”是说平面存在，“只有”是说平面唯一，“有且只有”强调平面存在并且唯一这两方面，符合某一条件的图形“存在”且“唯一”，就说明图形是完全确定的，因此“有且只有”和“确定”是同义词。(2)公理3及其三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 (1)公理2揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法也是线共点，点共线证明的主要依据。（2）公理3两个平面的关系：只要两个平面有公共点，它们的位置关系就是相交，并且交集是一条直线。这也是空间确定直线的条件，即空间直线可由两个平面相交来确定，这为证明点在直线上提供了一种方法。5.运用集合观点准确使用符号语言和数学语言：数学符号表示数学语言表示点A在直线a上点A在直线a外点A在平面内点A在平面外直线a在平面内直线a、b相交于点A平面相交 于直线a解题方法技巧1.平面的确定问题：主要依据已知条件和公理2及其3个推论来判定平面个数。例1.已知直线和，它们都与直线垂直相交，问这三条直线可以确定几个平面？解：（1）当时，如图1所示，直线、只确定一个平面；（2）当和相交时，则、交于一点，因，所以直线和、直线和、直线和分别可以确定一个平面，如图2所示，它们可以确定三个平面；（3）当直线和既不平行，也不相交时，如图3所示，它们可以确定两个平面。图3 图2图12.共面问题（多点共面与多线共面）：证明共面问题有两种方法：纳入法，即先根据公理2及其推论确定一个平面，再证明有关的点、线在此平面内；归一法，即过有关的点、线分别确定平面再由公理2或其推论说明两面重合。例2.已知正方体，点分别是的中点，求证：六点共面。证明：如右图所示，连接，为的中点，又正方体中，和确定一个平面。四点共面于，同理，和确定一个平面。四点共面于。又三点不共线，由公理2知，平面与平面重合，共面于。同理，从而共面，即，六点共面ABC例3.如图，直线，直线分别交、于点A、B、C，求证：直线、共面。证法1. ，确定一个平面，又，。，同在平面。又，确定一个平面，则点，即平面也是直线和点C确定的平面，平面和平面重合，因此，、共面。3.多点共线问题：证明诸点共线问题，通常是从空间图形中找出某两个面的交线，证明这些点均为两个面的公共点即可。例4.已知是正方体的上底面的中心，是对角线和截面的交点，求证：、三点共线。ABCDM分析分别证明、是平面与平面的公共点即可。解：在上底面中，是和的公共点，又，是和的公共点，,是和的公共点，所以、都在平面和平面的交线上，即、三点共线。4.多线共点问题：证明多线共点，只需先证明两条线相交，然后证明其它线也过交点，实际上是证明点在线上问题，可能公理3。例5已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD的中点，且。求证：直线EG、FH、AC相交于同一点P。PADBGCHEF证明： E、F分别是AB、AD的中点，EFBD且，又，GHBD且，EFGH且EFGH，四边形EFGH是梯形，其两腰必相交，设两腰EG、FH相交于一点P，故直线EG、FH、AC相交于同一点P。反馈跟踪练习1给出下面4个命题中正确的个数是（）一点和一直线确定一个平面；若点；空间3条直线，其中任意两条都相交，则这3条直线一定共线；空间有4点中有3点在一条直线上，则这4点必共面。A.1B.2C.3D.42对于空间三条直线，有下列四个条件，其中使三条直线共面的充分条件有：（）三条直线两两相交且不共点；三条直线两两平行；三条直线共点；有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交。A1个 B2个C3个 D4个3.两个平面重合的条件是（）A.M、N、P平面，.M、N、P平面B.直线直线C.点，点，直线D。，4.三个平面把空间分成最多m个部分，最少分成n个部分，则（）A. m=8, n=4 B. m=7, n=4 C. m=8, n=6 D. m=6, n=45.已知，又，若过A、B、C三点的平面为ABC，则等于（）A。直线B.直线CRC.直线ACD.直线BC6. ，直线a、b分别在内，且a与b相交于点O，上述语句用数学符号语言表示为_.7.已知ABCD，求证：B、E、D三点共线。8.已知a、b、c、d是两两相交且不共点的四条直线，求证：a、b、c、d共面。参考答案：1.B解析：对2.B解析：对。A。BR。C3.D解析：（A）若M、N、P共线则与可能相交；（B）a可能是与的交线；（C）若，则a可能是与的交线；（D）因a、b都在与内，a与b相交或平行，由公理知与必重合。4.B解析：三个平面两两相交，并且三条交线不交于一点，可将空间分成7部分，当三个平面互相平行时，可将空间分成4个部分。5.B解如图，根据已知条件C、R分别为平面ABC与平面的公共点。EDBAC6.。7.证明：ABCD，确定一平面。又均在平面内，又B，D在平面内，则BD是与的交线。又，E也是与的交点，在交线BD上，即B、E、D三点共线。8.证明