线性代数与解析几何复习题(刘如银).pdf

线性代数与解析几何 复习题 线性代数与解析几何 复习题 一 行列式一 行列式 1 行列式的性质及其运用 行列式的性质及其运用 2 行列式的计算 利用代数余子式展开 利用性质化简 行列式的计算 利用代数余子式展开 利用性质化简 1 设A为 3 阶方阵 且2A 则 1 2A 2 设 A B 为三阶方阵且2A 1B 则3 T A B 3 设 3 阶方阵 321 A 且3 A 32 1312 B 则B 4 设 3 阶方阵 12 AB 且2 1 AB 则AB 5 设 4 阶矩阵A的第三列元素依次为2 2 3 1 其余子式分别为1 1 2 3 则A 6 行列式 225 011 143 中第 1 行元素的代数余子式之和为 7 按行列展开计算行列式 100 110 011 001 a b D c d 8 利用初等变换计算行列式 1303 0112 2851 1476 D 9 证明 设A为n阶矩阵 满足 T A AI 且1A 证明0AI 二二 矩阵矩阵 1 矩阵的基本运算及运算性质 矩阵的初等变换 矩阵的基本运算及运算性质 矩阵的初等变换 2 逆矩阵的定义 性质 初等变换法求解逆矩阵 求解矩阵方程 逆矩阵的定义 性质 初等变换法求解逆矩阵 求解矩阵方程 3 矩阵的秩及其性质 矩阵的秩及其性质 1 设方阵A满足0 2 IAA 则 1 IA 2 设 102 432020 1 03 AABr AB 是矩阵 且 的秩为 而则 3 设 A B均为 3 阶矩阵 若A可逆 2r B 那么 r AB 4 设BA 均为n阶方阵 则下列说法中正确的是 A 00ABA 或0B B ABBA C 222 ABA B D BAAB 5 设BA 均为n阶方阵 且 22 AB ABAB 则必有 A IB B IA C BA D BAAB 6 对任意方阵BA 总有 A ABAB B 111 ABAB C T TT ABB A D 222 ABA B 7 设I为n阶单位矩阵 n阶矩阵CBA 满足 IABC 则必有 A BACI B CBAI C ACBI D BCAI 8 设A为n阶可逆矩阵 则下列错误的是 A 0A B r An C A与 n I等价D A为非奇异矩阵 9 设A是 4 5 矩阵 A的秩 r A 3 则 A A中的 4 阶子式都不为 0B A中存在不为 0 的 4 阶子式 C A中的 3 阶子式都不为 0D A中存在不为 0 的 3 阶子式 10 设矩阵 220 213 010 A 且矩阵X满足AXAX 求X 11 已知矩阵 101 012 001 A 10 31 01 C 且矩阵 X 满足方程 1 2A XA CX 其中 A是A的 伴随矩阵 求 X 12 证明 设A为n矩阵 B为n m 矩阵 已知 R An 证明 若0AB 则0B 13 设方阵 0 0 B AB C C 均为方阵且可逆 证明A可逆并求出其逆矩阵 三三 解析几何解析几何 1 向量的三种乘积及其性质 三角形面积的计算 四面体体积的计算 向量的三种乘积及其性质 三角形面积的计算 四面体体积的计算 2 直线 平面方程的建立 直线 平面方程的建立 3 二次曲面的类型 旋转曲面的方程 空间曲线及其投影 二次曲面的类型 旋转曲面的方程 空间曲线及其投影 1 设向量 TT 1 2 2 1 2 3 1 2 则 与 的夹角 2 已知三点 1 2 1 0 2 1 1 0 1 CBA则三角形ABC 的面积为 3 已知四点 A 1 0 0 B 4 4 2 C 4 5 1 D 3 3 5 则四面体 ABCD 的体积为 4 设三维向量 72 26 3 baba则a b 5 设 2 2 ab 2a b 则 a b A 1B 2C 2D 2 2 6 设向量 3 2 2 1 1 1 1 abc 且其混合积为 3 则 A 0B 1 C 1D 1 7 设ba 为 3 R中的向量 则下列等式一定成立的是 A baba B a bb a C abba D a ba b 8 向量 a b 满足等式 abab 的充要条件是 00 0 0 AabBa bCa bDab 或 9 曲线 222 22 1 22 xyz xyz 在xoy面上的投影曲线方程为 10 双曲线 0 1 54 22 y zx 绕z轴旋转而成的曲面方程为 11 指出下列方程表示的曲面名称 1 222 21xyz 2 222 231xyz 3 222 44xyz 4 2 2yz 5 22 2xyz 6 22 22xyz 12 求经过点 1 2 3 A 且与直线 11 413 xyz 垂直而与平面225xyz 平行的直线方程 13 求过直线 10 10 xyz xyz 与平面2 1xy z 垂直的平面方程 14 求经过直线 12 413 xyz 且与平面222xyz 垂直的平面方程 15 求直线 10 10 xyz xyz 在平面0 xyz 上的投影直线方程 利用平面束 四四 向量空间向量空间 1 向量组线性相关性的定义 判定 向量组线性相关性的定义 判定 2 向量组的等价 向量组的等价 3 向量组的秩 极大无关组 线性表示的定义及其求解 向量组的秩 极大无关组 线性表示的定义及其求解 4 向量空间的基 维数 向量在基下的坐标 向量空间的基 维数 向量在基下的坐标 1 设向量组 123 1 1 2 1 2 0 1 2 TTT t 线性无关 则t满足 2 已知向量组 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 3 t 的秩为 2 则数t满足 3 向量 T a 1 2 3 在基 TTT 1 1 1 0 1 1 0 0 1 下的坐标为 4 设n维向量组 m A 21 能被n维向量组 m B 21 线性表示 则 r A r B 5 设n阶矩阵A的行列式0A 则A中 A 必有一列元素全为零B 必有一列向量可由其余向量线性表示 C 必有两列元素对应成比例D 任意列向量是其余列向量线性组合 6 下列结论正确的是 A 等价的线性无关的向量组所含向量的个数相等 B 在一个向量组中 它的任意两个极大无关组不一定是等价的 C 向量组A与向量组B等价的充要条件是它们所含向量的个数相同 D 等价向量组的秩不一定相同 7 已知向量组 5 0 3 1 4 1 2 1 3 2 1 1 321 TTT A TT 4 2 1 0 6 0 3 0 54 求 1 向量组A的秩 2 A的一个极大线性无关组 3 用A的极大线性无关组表示其余向量 8 设向量组 123 1 0 2 1 1 3 1 1 1 2 1 TTTT t 求t取何值时 1 不能由向量组 123 线性表示 2 能由向量组 123 线性表示 并写出表达式 9 设 123 110 012 203 A 12 14 03 42 B 验证 321 aaa是 3 R的一个基 并求 21 在这个基下的坐标 10 设向量组 123 线性无关 证明向量组 11213 2 3 也线性无关 五五 方程组方程组 1 方程组解的判定 一般 利用秩判定 特别 系数矩阵为方阵可利用行列式判定 方程组解的判定 一般 利用秩判定 特别 系数矩阵为方阵可利用行列式判定 2 方程组解的结构 通解的求法 方程组解的结构 通解的求法 1 设方阵 113 34 221 tA 且齐次线性方程组0Ax 有非零解 则t满足 2 若 A B为 5 阶方阵 且0Ax 只有零解 且 3r B 则 r AB 3 设A为4 6 矩阵 2r A 则线性方程组0Ax 的解空间的维数为 4 设A为 m n mn 矩阵 则线性方程组0Ax 只有零解当且仅当 A r Am B r An C A的行向量组线性无关D A的列向量组线性无关 5 若线性方程组0Ax 中 方程的个数少于未知变量的个数 则方程组0Ax A 必有非零解B 必有唯一解C 仅有零解D 一定无解 6 设矩阵 nm A 的秩nAr 则非齐次方程组bAx A 一定无解B 可能有解C 一定有无数解D 一定有无穷多解 7 齐次线性方程组 123 250 xxx 的一个基础解系是 8 设 12 1 1 1 1 1 2 3 4 TT aa 是四元非齐次线性方程组Axb 的解向量 且系数阵的秩 3r A 则 该方程组的通解是 9 设 123 是 3 元 非 齐 次 线 性 方 程 组Axb 的 3 个 解 向 量 且 2R A 其 中 123 1 1 1 2 4 6 TT 则Axb 的通解是 10 设非齐次线性方程组 axxxx xxxx xxxx 4321 4321 4321 9105 363 132 求a为何值时方程组 1 无解 2 有无穷多解 并求出其通解 用解的结构表示 11 当k取何值时 线性方程组 123 2 123 123 4 24 xxkx xkxxk xxx 1 有唯一解 2 有无穷多组解 3 无解 12 求非齐次线性方程组 1322 59 1 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 的通解 用解的结构表示通解 六六 矩阵的相似对角化矩阵的相似对角化 1 特征值 特征向量的定义 求法 性质 特征值 特征向量的定义 求法 性质 2 相似矩阵的定义及其性质 相似矩阵的定义及其性质 3 3 矩阵相似对角化的条件 判定 求解 矩阵相似对角化的条件 判定 求解 1 设A为三阶方阵 且320AIIAAI 则A 2 设三阶方阵A的三个特征值为1 2 3 则AI 3 已知A有一个特征值 2 则 2 2BAI 必有一个特征值 4 设A为n阶方阵 且AA 2 则A的特征值只能是 5 若矩阵 100 22 312 Ax 与矩阵 0 3B y 相似 则x y 6 设 3 阶方阵A的特征值为2 1 1 则下列矩阵可逆的是 A IA B IA C 2IA D 2IA 7 设A为n阶矩阵 则A可与对角矩阵相似的充分必要条件为 A A有n个线性无关的特征向量B A有n个不同的特征值 C A有n个的特征向量D A有n个特征向量 8 若x是矩阵A的对应 0 的特征向量 则矩阵APP 1 对应 0 的特征向量是 A PxB 1 P x C xD 1 P AP x 9 与可逆矩阵A有相同的特征值的是 A 1 A B IC AD T A 10 设 21 35 212 b aA的一个特征向量为 1 2 1 p 求参数ba 的值及A的特征向量p对应的特征值 11 设A为三阶方阵 特征值为 1 1 0 特征值对应的特征向量分别为 TTT ppp 1 1 0 0 1 0 1 0 1 321 求方阵A 12 设方阵 163 053 064 A 判定A是否可对角化 若能对角化 求出可逆矩阵P 使 APP 1 七七 二次型二次型 1 向量组的正交标准化 正交矩阵的定义及性质 向量组的正交标准化 正交矩阵的定义及性质 2 实对称矩阵的正交对角化 实对称矩阵的正交对角化 3 正交变换法化二次型为标准形 正交变换法化二次型为标准形 4 正定二次型 正定矩阵 的定义及判定方法 正定二次型 正定矩阵 的定义及判定方法 1 二次型 32 2 3 2 2 2 1321 44 xtxxxxxxxf 正定 则t的取值范围是 2 设矩阵 11 42 124 t At 为正定矩阵 则t的取值范围是 3 设n阶对称矩阵 ii n n Aa 正定 则以下错误的是 A r An B 1 A 正定C AI 对称D 0 ii a 4 n阶对称矩阵A正定的充要条件是 A 0A B A主对角线元素均大于 0 C 矩阵A的所有特征值均大于 0D 矩阵A顺序主子式均非负 5 若 A B为正定矩阵 则 A AB与AB 都正定B AB正定 AB 非正定 C AB非正定 AB 正定D AB不一定正定 AB 正定 6 n aaa 21 为正交矩阵A的行向量组当且仅当 n aaa 21 是 A单位向量组 B线性无关向量组 C正交单位向量组 D线性相关向量组 7 设二次型 222 12323 24fxxxx x 求一个正交线性变换XPY 将二次型化为标准型 并指出 1f 表示何种曲面 8 已知二次型 222 123122313 444fxxxx xx xx x 1 求正交变换XPY 化二次型f为标准形 2 指出方程1f 表示何种曲面 9 已知实对称矩阵 110 110 003 A 与 0 3 x 相似 1 参数x的值 2 求一正交矩阵P 使 得 T P AP 3 写出A对应的二次型 f 及其标准型 并指出1f 表示何种曲面 10 设A为三阶实对称阵 0A 且2 32IAAI 都不可逆 证明 A是正定矩阵 参考答案及简要提示参考答案及简要提示 一 行列式一 行列式 1 4提示 设A为n阶方阵 是数 则 n AA 若A可逆 则 1 1 AA 2 54 提示 33 33 3 54 TT A BABA B 3 6提示 213121311213123 23 233 2 2 6 4 4 121212 2 2 4 4 4 4ABAB 5 5提示 代数余子式 1 i j ijij AM ij M为余子式 1313232333333434 1 33 2 2 12 1 5Aa Aa Aa Aa A 6 7 提示 将第一行元素换为 1 1 1 求行列式即可 7 解 11121314 00DaAAAA 10110 1101 0101 b acc dd 1 adcdababcd 8 解 化为上三角形 1303 0112 3 0013 00019 D 57 9 证明 由于 T A AI 则 TTT AIAA AA IAAIAA AI 又1A 故AIAI 因此0AI 二二 矩阵矩阵 1 2 3IA 提示 由0 2 IAA得 2 30AIAII 即 2 3AIAII 2 2 提示 0 B 因此B可逆 由于B可逆 则 2r ABr A 3 2 提示 由于A可逆 则 2r ABr B 4 D 5 D 提示 22 AB ABABABBA 6 C 7 D 8 B提示 设A为n阶方阵 则有如下都等价 0A A中必有一列 行 向量可由其余列 行 向量线性表示 A的行 列 向量组线性相关 A不可逆 0Ax 有非零解 A有 0 特征值 r An A与I等价 9 D提示 矩阵的秩为最高阶非零子式的阶数 10 解 把所给方程变形为 AI XA 则 1 XAIA 由 120220100226 203213010203 011010001213 AI A 得 226 203 213 X 11 解 由 1 2A XA CX 得 2XAA CAX 即 2 IA XA C 1A 因此 1 2 XIAC 将 2 IAC 化为最简形 1021010010 0343101011 0010100100 因此 10 11 00 X 12 证明 由于 R An 则A可逆 因此在等式0AB 两端同左乘 1 A 得 110 A ABA 即0B 13 证明 设 1112 2122 XX X XX 使得 0 0 I AXI I 则有 21221112 0 0 BXI BXCXCXI 由于 B C可逆 因此 11 21221112 0 0 XBXXXC 故 1 1112 1 2122 0 0 XXC X XXB 即A可逆 且 1 1 1 0 0 C A B 三三 解析几何解析几何 1 2 2 14 提示 ABC 的面积为 214ABAC 3 7 3提示 67 3VAB AC AD 4 30 5 C6 D7 B8 C 9 22 1 0 xxy z 提示 消去z 再与0z 联立即可 10 1 544 222 zyx 11 1 椭球面 2 单叶双曲面 3 双叶双曲面 4 平行于 x 轴的抛物柱面 5 椭圆抛物面 6 双曲抛物面 12 解 设所求直线的方向向量为s 已知 1 4 1 3 2 2 1 sn 则 1 sssn 取 1 413 7 2 10 221 ijk ssn 则所求直线的方程 123 7210 xyz 13 解 已知平面的法向量为 1 1 2 1 n 直线 10 10 xyz xyz 的方向向量为 1 1 1 1 1 1 0 2 2 l 所求平面的法向量为 1 0 2 2 1 2 1 6 2 2 nln 在直线上取点 0 1 0 P 则所求平面方程为62 1 20 xyz 整理得310 xyz 14 解 已知平面的法向量为 1 2 2 1 n 直线 12 413 xyz 的方向向量为 4 1 3 l 且过点 1 0 2 P 取所求平面的法向量为 1 413 7 2 10 221 ijk nln 则所求平面方程为7 1 2 0 10 2 0 xyz 整理得7210120 xyz 15 解 过直线 10 10 xyz xyz 的平面束为1 1 0 xyzxyz 其法向量为 1 1 1 n 已知平面1xyz 的法向量为 1 1 1 1 n 由 1 nn 得1 将1 代入平面束方程得10yz 所以所求投影直线方程为 1 0 yz xyz 四四 向量空间向量空间 1 1 2 t 提示 由于线性无关 则向量组构成方阵秩 3 由此行列式0 可解得 1 2 t 2 2t 提示 秩为 2 则线性相关 由向量组构成方阵的行列式 0 即可解得2t 3 1 1 1 提示 写出矩阵化为最简形即得 4 5 B 提示 设A为n阶方阵 则有如下都等价 0A A中必有一列向量可由其余向量线性表示 A的行 列 向量组线性相关 A不可逆 0Ax 有非零解 A有 0 特征值 r An 6 A参看等价向量组以及极大无关组性质 7 解 对向量组对应的矩阵作初等行变换化为最简形 00000 11000 20210 20101 46543 20012 13321 00111 所以 1 A的秩为 3 2 A的一个极大线性无关组为 421 3 4215213 22 2 aa 8 解 将矩阵 123 化为阶梯形 即 123 11121112 01110111 2310005tt 故 1 当5t 时 即方程组无解 不可由向量组 123 线性表示 2 当5t 时 即方程组有无穷多解 可由向量组 123 线性表示 此时将矩阵化为最简形 即 11121021 01110111 00000000 通解为 12 11 01 xkkR 所以 123 1 2 1 kkkkR 9 解 对矩阵 A B 施行初等行变换化为行最简形 若A能变为I 则 321 aaa 是 3 R的一个基 此时 21 化为相应的坐标 110141 0 0111 012030 1 0123 2034 20 0 160 A B 因此有 AI 故 321 aaa为 3 R的一个基 且 21 在这组基下的坐标分别为 11 12 6 1 3 0 10 设 123 线性无关 证明 11213 2 3 也线性无关 证明 设存在 321 kkk使得 11212313 2 3 0kkk 即 12312233 230kkkkk 由 321 线性无关得 12323 0 0 0kkkkk 解得0 0 0 321 kkk 因此 11213 2 3 线性无关 五五 方程组方程组 1 3t 提示 系数矩阵A为方阵 0Ax 有非零解 则0A 解得3t 2 3 提示 0Ax 只有零解 A为方阵 则A可逆 因此 3r ABr B 3 4 提示 未知数个数为 6 系数矩阵的秩为 2 则解空间的维数为 6 2 4 4 D提示 只有零解 即唯一解 则 r An 因此A的列向量组线性无关 5 A很显然 6 B提示 没有指出增广矩阵的秩 因此有可能 r Ar A b 故可能有解 7 12 2 1 0 5 0 1 提示 方程组对应的系数矩阵为 1 2 5 23 x x为自由变量 8 由题意 齐次方程组的基础解系含有 1 个解向量 则Axb 的通解为 xkkR 取 121 因此Axb 的通解 1 1 1 1 0 1 2 3 TT xkkR 9 由题意 齐次方程组的基础解系含有 1 个解向量 则Axb 的通解为 xkkR 取 1231 2 因此Axb 的通解 1 1 1 0 2 4 TT xkkR 10 解 将增广矩阵化为阶梯形 1123110040 1361301211 1510900005aa 所以 1 当5a 时 线性方程组无解 2 当5a 时有无穷多解此时将阶梯形化为最简形 即 10040 01211 00000 取原方程组的特解为 0 1 0 0 T 对应齐次方程组的基础解系为 12 0 2 1 0 4 1 0 1 TT 因此通解为 1 12212 xkkk kR 11 解 令原方程组的系数行列式等于 0 即 11 110 112 k k 得4 1kk 当4k 时增广矩阵为 11441144 141160114 11240000 B r Ar B 当1k 时增广矩阵为 11141144 11110005 11240238 B r Ar B 所以 1 当4 1kk 时方程组有唯一解 2 当4k 时 方程组有无穷多解 3 当1k 时 方程组无解 12 解 增广矩阵化为行最简形 1111110053 1119501142 1223100000 B 24r Ar B 有无穷多解 原方程组的一个特解为 3 2 0 0 T 写出对应齐次方程组 对求得基础解系为 12 0 1 1 0 5 4 0 1 TT 所以通解 1 12212 xkkk kR 六六 矩阵的相似对角化矩阵的相似对角化 1 6 提示 由题意A的特征值为1 3 2 A 特征值的乘积 即1 2 36A 2 24提示 AI 的三个特征值为A的特征值分别 1 即2 3 4 则2 3 424AI 3 6 提示 若A的特征值为 则 2 2AI 的特征值为 2 2 4 0 或 1 提示 A的特征值为 则 2 解得特征值为 0 或 1 5 x 1 y 1 提示 相似矩阵的定义及性质 若A相似于B 则存在可逆矩阵P 使得 1 P APB 且有如下性质 A与B的特征值相同 AB 迹 tr Atr B 秩 r Ar B 6 D 提示 可逆矩阵的特征值没有 0 依次求出各矩阵的特征值即得 7 A 8 B提示 由 0 Axx 则 11 0 P AxPx 则 1111 0 P APP xPPP x 即 11111 00 P AP P xPP P xP x 因此对应特征向量为 1 P x 9 D 设可逆矩阵A的特征值为 则 1 A 的特征值为1 A的特征值为 A T A的特征值为 10 提示 设A的与特征向量p相对应的特征值为 则App 代入可得方程组 01 02 01 b a 解得0 3 1 ba 11 解 令 000 010 001 101 110 001 P 则 APP 1 故有 1 PPA 101 111 001 1 P 因此 001 111 001 101 111 001 000 010 001 101 110 001 A 12 解 由 2 2 1 0AI 得A的特征值 1 2 321 以2 1 代入0 xIA 得基础解系为 1 1 1 1 以1 22 代入0 xIA 得基础解系为 1 0 0 0 1 2 32 A有 3 个线性无关的特征向量 因此A可对角化 令 1 0 0 0 1 2 1 1 1 P 1 1 2 P 则有 APP 1 七七 二次型二次型 1 1 1 提示 利用二次型对应对称矩阵的顺序主子式均 0 即可求得 2 2 1 提示 由A的顺序主子式均 0 即可求得 3 A提示 矩阵 ii n n Aa 正定 则A对称 A可逆 r An 0 ii a 判定充要条件 A正定 1 A 正定 矩阵A顺序主子式均大于 0 矩阵A的所有特征值均大于 0 正 惯性指数为n 任意非零列向量x有0 T x Ax 4 C 5 D提示 利用A正定 任意非零列向量x有0 T x Ax 6 C提示