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经济数学基础经济数学基础 一微分学一微分学 一 填空题 1 若函数 f x 2 2 x 4x 5 则 f x 22 2 4 2 51xxx 2 若函数 f x 2 x 2 g x sinx 则 f g x 2 sin2x 3 函数 1ln 3 x x xf的定义域是 1 2 2 3 4 sin lim 0 x xx x 答案 0 5 设 0 0 1 2 xk xx xf 在0 x处连续 则 k 答案 1 6 曲线xy 在 1 1 的切线方程是 答案 2 1 2 1 xy 7 设函数52 1 2 xxxf 则 x f 答案 x2 8 设xxxfsin 则 2 f 答案 2 9 函数f x lnx在区间 0 内单调 10 函数y x 减少 2 0 1 的单调增加区间为 11 设需求量 q 对价格 p 的函数为 q p 100 2 p e 则需求弹性为 P E 2 p 12 已知需求函数为pq 3 2 3 20 其中p为价格 则需求弹性Ep 10 p p 13 已知某商品的需求函数为 q 180 4p 其中 p 为该商品的价格 则该商品的收入函数 R q 2 0 2545qq 二 单项选择题 1 下列各对函数中 B 中的两个函数相同 A 1 1 2 x x xf 1 1 x xg B xxxf 22 cossin 1 xg C 2 ln xxf xxgln2 D xxf 2 xxg 2 下列函数为奇函数是 C A xsinx B lnx C 1ln 2 xx D x 2 x 3 下列函数中为奇函数的是 C A xxy 2 B xx y ee C 1 1 ln x x y D xxysin 4 极限 x x x 11 lim 0 D A 0 B 1 C D 2 1 5 下列极限计算正确的是 答案 B A 1lim 0 x x x B 1lim 0 x x x C 1 1 sinlim 0 x x x D 1 sin lim x x x 6 当0 x时 下列变量是无穷小量的是 答案 C A x 2 B x xsin C 1ln x D xcos 7 7 当 x 1 时 下列变量中的无穷小量是 C A 1 1 x e B 1 1 2 x x C 1 1 2 2 x x D ln 1 x 8 当x 0时 下列变量中 B 是无穷大量 A 001 0 x B x x21 C x D x 2 9 函数 2 1 2 xx x y的连续区间是 答案 D A 1 1 B 2 2 C 1 1 2 2 D 2 2 或 1 1 10 若 f x 在点 0 x有极限 则结论 D 成立 A f x 在点 0 x可导 B f x 在点 0 x连续 C f x 在点 0 x有定义 D f x 在点 0 x可能没有定义 11 函数 xf 0 1 0 1 sin x xk x x 在 x 0 处连续 则 k C A 2 B 1 C 1 D 2 12 若函数f x 在点x0 A 函数f x 在点x 处可导 则 是错误的 答案 B 0 Axf xx lim 0 处有定义 B 但 0 xfA C 函数f x 在点x0处连续 D 函数f x 在点x0 处可微 13 曲线 y sinx 在点 0 0 处的切线方程为 A A y x B y 2x C y 2 1 x D y x 14 函数 f x lnx 在 x 1 处的切线方程是 A A x y 1 B x y 1 C x y 1 D x y 1 15 若 f x 1 2 x 2x 4 则 xf B A 2x B 2x 2 C 2 x 3 D 2 16 设yx lg2 则dy 答案 B A 1 2 d x x B 1 d x x ln10 C ln10 x xd D 1 d x x 17 下列函数在区间 上单调减少的是 D A cosx B 2 x C x 2 D 3 x 18 函数 f x 2 x 1 在区间 0 1 上是 A A 单调增加 B 单调减少 C 先增加后减少 D 先减少后增加 19 下列函数中的单调减函数是 C A y 3 x B y x 1 C y x D y x e 20 下列等式中正确的是 B A x e dx d x e B sinxdx d cosx C 3 xdx d 3 2 x D x 1 dx d 2 1 x 21 设函数f x 满足以下条件 当x fx 0时 当x x0 fx 0时 则x0 A 驻点 B 极大值点 C 极小值点 D 不确定点 是函数f x 的 D 三 计算题三 计算题 1 3 1 423 53 lim 2 2 xx xx x 2 9 32 lim 2 2 3 x xx x 解解 2 2 33 23 1 3 limlim 9 3 3 xx xxxx xxx 3 12 lim 33 x x x 3 1 2 1 1 lim x x x 解解 1 111 lim 1 lim 1 1 222 xx xx xxx 1 2 2 11 lim 1 1 22 x x xx 1 2 e 4 4 2 2 1 lim 2 2 1 0 x xx x x 解 解 4 2 2 1 lim 2 2 1 0 x xx x x 1 2 2 00 2 lim 1 lim 24 x xx xx x 1 2 2 2 2 00 2 lim 1 1 lim 224 x xx xxx x 1 2 1 2 e 5 cos 11 2sin lim 0 x x x x 解解 cos 11 2sin lim 0 x x x x 00 sin2 limlimcos 1 1 xx x x x 0 sin2 1 1 lim1 1 1 1 1 x xx xx 0 2sin2 1 1 lim1 2 x xx x 4 15 6 x x x x 3 1 lim 解解 134 lim lim 33 xx xx xx xx 33 444 lim 1 lim 1 1 333 xx xx xxx 3 43 4 44 lim 1 1 33 x x xx 4 e 7 设函数 y xxe x 2cos 求 dy 解解 1 cos2 2 3 sin2 2 2 x yexx 1 cos2 2 3 2sin2 2 x dyxexdx 8 x xxye 求 y 答案 x x x ye 1 2 1 9 2 ecos x xy 求yd 答案 ydx x x x x d 2 sin e2 2 10 1ln 2 xxy 求 y 答案 2 1 1 x y 11 设 2 x 2 y xy 2 e 求 x y 解解 两边同时求导得 22 0 xyyyxy 2 2 yx yxy 2 2 xy y yx 12 由方程xyx y e cos 确定y是x的隐函数 求yd 解解 两边同时求导得 sin 1 1 y xyye y sin 1 sin y exyyxy 1 sin sin y xy y exy 1 sin sin y xy dydx exy 13 由方程 ln 1 x xy e 确定 y 是 x 的隐函数 求 x y 解解 两边同时求导得 1 2 1 xy eyxyyy x 1 2 1 xyxy xey yye x 1 1 2 xy xy ye x y xey 四 应用题四 应用题 1 设生产某种产品q个单位时的成本函数为 qqqC625 0 100 2 万元 求 当10 q时的总成本 平均成本和边际成本 当产量q为多少时 平均成本最小 答案 185 10 C 万元 5 18 10 C 万元 单位 11 10 C 万元 单位 当产量为 20 个单位时可使平均成本达到最低 2 投产某产品的固定成本为 36 万元 且边际成本为402 qqC 万元 百台 试求产量由 4 百台 增至 6 百台时总成本的增量 及产量为多少时 可使平均成本达到最低 解 当产量由 4 百台增至 6 百台时 总成本的增量为 答案 D C100 万元 当6 x 百台 时可使平均成本达到最低 3 已知某产品的边际成本 q C 2 元 件 固定成本为 0 边际收益 qqR02 0 12 求 产量为多少时利润最大 在最大利润产量的基础上再生产 50 件 利润将会发生什么变化 答案 当产量为 500 件时 利润最大 D L 25 元 即利润将减少 25 元 4厂家生产一种产品的需求函数为 q 720 80p 单位 件 而生产 q 件该产品时的成本函数 为 C q 4q 160 单位 元 问生产多少件产品时厂家获得的利润最大 解解 4160 LRCpqq 720 4160 80 q qq 2 1 5160 80 qq 故 1 5 40 Lq 所以当200q 时 0L 由实际问题可知 当200q 件时利润最大为 340 元 5 某厂家生产某种产品 q 件时的总成本函数为 C q 20 4q 0 01 2 q 元 单位销售价 格为 p 24 0 01q 元 件 问产量为多少时可使利润达到最大 此时的最大利润是多少 解解 2 2040 01 LRCpqqq 2 240 01 2040 01q qqq 2 0 022020qq 故 0 0420Lq 所以当500q 时 0L 由实际问题可知 当500q 件时利润最大为 4980 元 6 已知某产品的边际成本函数为qqC4 万元 百台 边际收入为qqR260 万元 百台 如果该产品的固定成本为 10 万元 求 1 产量为多少时总利润 L q 最大 2 从最大利润产量的基础上再增产 200 台 总利润会发生什么变化 解解 1 6 0 246 0 6L qR qC qqqq 当10q 时 0L q 由实际问题可知 当10q 百台 时利润最大 2 1212 1010 12 10 606 LLLL q dqq dqD 1212 2 1010 606 60312q dqqq 万元 总利润下降 12 万元 7 生产某产品的边际成本为 C x 8x 万元 百台 边际收入为 R x 100 2x 万元 百台 其中 x 为 产量 问产量为多少时 利润最大 从利润最大时的产量再生产 2 百台 利润有什么变化 解解 10028100 10L xR xC xxxx 当10 x 时 0L x 由实际问题可知 当10 x 百台 时利润最大 1212 1010 12 10 100 10 LLLL x dxx dxD 12 2 10 1005 20 xx 万元 再生产 2 百台 利润将下降 20 万元 8 投产某产品的固定成本为 36 万元 且边际成本为 xC 2x 40 万元 百台 试求产量由 4 百台 增至 6 百台时总成本的增量 及产量为多少时 可使平均成本达到最低 解解 2 240 40C xxdxxxc 2 4036C xxx 66 2 44 6 4 240 40 36240 16 160 100CCxdxxx 万元 即产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量为 100 万元 平均成本 36 40 C x C xx xx 2 36 1C x x 当6x 负舍 时 0C x 由实际问题可知 当6x 百台时平均成本达到最低 9 设生产某商品固定成本是 20 元 边际成本函数为24 0 qqC 元 单位 求总成本函数 C q 如果该商品的销售单价为22元且产品可以全部售出 问每天的产量为多少个单位时可使利润达到最大 最大利润是多少 解解 2 0 42 0 22C qqdqqqc 2 0 2220C qqq 22 0 2220 220 2220LRCpqqqqqq 故 0 420Lq 所以当50q 时 0L 由实际问题可知 当50q 时利润最大为 480 元 10 已知某产品的边际成本34 qqC 万元 百台 q为产量 百台 固定成本为 18 万元 求 该产品的平均成本 最低平均成本 解 1 1832d 34 d 2 qqqqqqCC 平均成本函数 q q q qC C 18 32 2 18 2 q C 令0 18 2 2 q C 解得唯一驻点6 x 百台 因为平均成本存在最小值 且驻点唯一 所以 当产量为 600 台时 可使平均成本达到最低 2 最低平均成本为 12 6 18 362 6 C 万元 百台 二积分学二积分学 一 填空题 1 若cxxxf x 22d 则 xf 答案 22ln2 x 2 x x d sin 答案 cx sin 3 若cxFxxf d 则 xxxfd 1 2 答案 cxF 1 2 1 2 4cosdxdx cosxdx 5 函数 f x x 3 的一个原函数是 3 ln3 x 6 函数 f x sin2x 的原函数是 1 cos2 2 xc 7 2 sin d xdx dx 2 sin x 8 2 1 sin dx x cot xc 9 若 x f 存在且连续 则 d xf 答案 x f 10 设函数 d 1ln d d e 1 2 xx x 答案 0 11 若t t xP x d 1 1 0 2 则 x P 答案 2 1 1 x 12 若 0 2dxekx 则 k 1 2 二 单项选择题 1 下列函数中 是xsinx 2 A 的原函数 答案 D 2 1 cosx2 B 2cosx2 C 2cosx2 2 1 D cosx2 2 下列等式成立的是 答案 C A d cosdsinxxx B 1 d dln x xx C d 2 2ln 1 d2 xx x D xx x dd 1 3 若cxxx 22cosf x d 则 f x A A 2sin2x 2 B 2sin2x 2 C 2 1 sin2x 2 D 2 1 sin2x 2 4 若 dxxxfcxFx 1 f x d 2 则 B A cxF 1 2 1 2 B cxF 1 2 1 2 C cxF 1 2 2 D cxF 1 2 2 5 若 cxxf x 2 ed 则 x f D A 2 e x B 2 e 2 1 x C 2 e 4 1 x D 2 e 4 1 x 6 若cex x 1 x 1 df x e成立 则 f x B A x 1 B 2 1 x C x 1 D 2 1 x 7 若 F x 是 f x 的一个原函数 则 x df ee x x A A ceF x B ceF x C cexF x D cexF x 8 在切线斜率为 2x 的积分曲线族中 通过 4 1 点的曲线方程是 C A 1 2 xy B 4 2 xy C 15 2 xy D 15 2 xy 9 下列不定积分中 常用分部积分法计算的是 答案 C A xxc1 dos 2 B xxxd1 2 C xxxd2sin D x x x d 1 2 10 下列定积分计算正确的是 答案 D A 2d2 1 1 xx B 15d 16 1 x C 0 d 32 xxx p p D 0dsin xx p p 11 下列定积分中积分值为 0 的是 A A x xx d 2 ee 1 1 B x xx d 2 ee 1 1 C xxxd cos 3 p p D xxxd sin 2 p p 12 下列积分计算正确的是 答案 A A 1 1 0d 2 ee x xx B 1 1 0d 2 ee x xx C 0dsin 1 1 xxx D 0 d 3 1 1 2 xxx 13 xxdsin 2 2 p p D A 0 B C 2 p D 2 14 3 3 3 cos52xxxdx C A 0 B 2 C 6 D 12 15 下列无穷积分中收敛的是 A 1 d 1 x x B 1 2 d 1 x x C 0 dex x D 1 dsinxx 三 解答题 1 计算下列不定积分 1 x x x d e 3 答案 c x x e 3 ln e 3 2 x x x d 1 2 答案 cxxx 2 5 2 3 5 2 3 4 2 3 x x x d 2 4 2 答案 cxx 2 2 1 2 4 x x d 21 1 答案 cx 21ln 2 1 5 xxxd2 2 答案 cx 2 3 2 2 3 1 6 x x x d sin 答案 cx cos2 7 x x xd 2 sin 答案 c xx x 2 sin4 2 cos2 8 xx1 dln 答案 cxxx 1ln 1 2 计算下列定积分 1 xxd1 2 1 答案 2 5 2 x x x d e 2 1 2 1 答案 ee 3 x xx d ln1 1 3 e 1 答案 2 4 x x xd 1 2 1 2 解解 x x xd 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 dxx x 2 3 1 1 2 3 x x x 81129 4 2 1 3236 5 1 1 5ln e xdx x 解解 1 1 5ln e xdx x 1 1 5ln ln e x dx 1 1 2 0 0 5 1 5 2 t dttt 57 1 22 6 x x x d 1 5 0 2 3 解解 x x x d 1 5 0 2 3 2 5 2 2 0 1 21 x d x x 2 5 2 2 0 11 1 21 x d x x 5 2 2 0 11 1 21 d x x 5 22 0 1251 ln 1 ln26 222 xx 7 x xx d 9 1 16 0 解解 x xx d 9 1 16 0 16 0 9 d 9 9 xx x xxxx 16 0 9 d 9 xx x 1616 00 1 9dd 9 xxx x 16 33 22 0 1 22 x 9 12 9 33 x 8 4 1 x e dx x 解解 4 1 x e dx x 4 1 2 2 x e dx x 4 1 2 x edx 4 2 1 222 x eee 9 xx x d e1 4 0 答案 4 e55 10 xxxd2cos 2 0 p 解解 xxxd2cos 2 0 p 2 0 1 sin2 2 xdx p 2 2 0 0 1 sin2sin2 2 xxxdx p p 2 0 11 00sin22 22 xd x p 2 0 111 cos2 1 1 442 x p 11 xxxdln e 1 答案 1e 4 1 2 11 e 1 dlnxxx 由定积分的分部积分法得 e 1 2 e 1 2 e 1 d 1 2 ln 2 dlnx x x x x xxx e 1 22 42 ex 4 1 4 e2 三线代数三线代数 一 填空题 1 行列式 111 111 111 D 答案 4 2 设BA 均为 3 阶矩阵 且3 BA 则 T AB2 答案 72 3 设矩阵 1612 2323 5401 A 则A的元素 23 a 答案 3 3 计算矩阵乘积 1 0 2 110 003 21 4 设矩阵 0 300 020 001 A 则 1 A 答案 3 1 00 0 2 1 0 001 A 5 设 070 020 111 A 则秩 A 2 6 设 BA 均为n阶矩阵 则等式 222 2 BABABA 成立的充分必要条件 是 答案 BAAB 7 设BA 均为n阶矩阵 BI 可逆 则矩阵XBXA 的解 X 答案 ABI 1 8 设 A B C 均为 n 阶可逆矩阵 则 11 BC A 11 C B A 9 设 A B 为两个 n 阶矩阵 且 I B 可逆 则矩阵 A BX X 的解 X 1 IBA 10 设线性方程组bAX 且 0100 2310 6111 t A 则 t时 方程组有唯 一解 答案 1 11 当 l 1 12 12 0 0 xx xxl 时 齐次方程组有无穷多解 12 已知齐次线性方程组OAX 中A为53 矩阵 且该方程组有非零解 则 Ar 3 二 单项选择题 1 以下结论或等式正确的是 A 若BA 均为零矩阵 则有BA B 若ACAB 且OA 则CB C 对角矩阵是对称矩阵 D 若OBOA 则OAB 答案 C 2 设A为43 矩阵 B为25 矩阵 且乘积矩阵 T ACB有意义 则 T C为 A 矩阵 A 42 B 24 C 53 D 35 3 设 A 是 n s 矩阵 B 是 m s 矩阵 则下列运算中有意义的是 B A BA B BA C AB D B A 4 设BA 均为n阶可逆矩阵 则下列等式成立的是 A 111 BABA B 111 BABA C BAAB D BAAB 答案 C 5 下列矩阵可逆的是 答案 A A 300 320 321 B 321 101 101 C 00 11 D 22 11 6 设 21 A 31 B I是单位矩阵 则IBA T D A 62 31 B 63 21 C 53 22 D 52 32 7设 A B 为 n 阶可逆矩阵 且 AXB I 则 X B A 11 A B B 11 B A C BA 1 D 1 AB 8设 A B 为同阶可逆矩阵 则下列等式成立的是 B A 111 BABA B 111 ABBA C 111 TT BAAB D 11 kAkA k 为非零常数 9 矩阵 444 333 222 A的秩是 B A 0 B 1 C 2 D 3 10 设BA 为同阶可逆方阵 则下列说法正确的是 D A 若 AB I 则必有 A I 或 B I B TTT BAAB C 秩 BA秩 A秩 B D 111 ABAB 11 设线性方程组bXA nm 有无穷多解的充分必要条件是 答案 D A mArAr B nAr C nm D nArAr 12 n 元线性方程组 AX b 有解的充分必要条件是 A A 秩 A 秩 A B 秩 A n C A 不是行满秩矩阵 D 秩 A n 13 设线性方程组 3321 232 121 2axxx axx axx 则方程组有解的充分必要条件是 答案 C A 0 321 aaa B 0 321 aaa C 0 321 aaa D 0 321 aaa 14 对线性方程组 AX 的增广矩阵经初等行变换后化为 31000 21210 04121 Ab 则方程组一般解中自由未知量的个数为 A A 1 B 2 C 3 D 4 15 线性方程组 9 3 31 11 2 1 x x 满足结论 C A 无解 B 只有 0 解 C 有唯一解 D 有无穷多解 16 设矩阵Am n Bs m Cn p A BA B BC C AB D CB 则下列运算可以进行的是 A 17 设线性方程组 AX b 的增广矩阵通过初等行变换化为 0000 91100 5310 2071 则 此线性方程组解的情况是 A A 有唯一解 B 有无穷多解 C 无解 D 解的情况不定 18 若线性方程组的增广矩阵为 012 21l A 则当l A 时线性方程组 有无解 A 2 1 B 0 C 1 D 2 19 线性方程组 0 1 21 21 xx xx 解的情况是 A A 无解 B 只有 0 解 C 有唯一解 D 有无穷多解 三 解答题 1 设矩阵 110 211 321 B 110 111 132 A 求AB 解 因为BAAB 2 21 22 1 1 010 211 232 110 111 132 32 A 0 110 1 1 0 321 110 211 321 B 所以002 BAAB 2 计算 723 016 542 132 341 421 231 221 321 解 723 016 542 740 0127 7197 723 016 542 132 341 421 231 221 321 1423 0111 2155 3 设矩阵 011 12 421 lA 确定l的值 使 Ar最小 答案 当 4 9 l时 2 Ar达到最小值 4 求矩阵 32114 02471 34585 12352 A的秩 答案 2 Ar 5 解矩阵方程 AX X B 其中 A 33 12 B 30 21 解解 由AXXB 得 AXXB 即 AI XB 故 1 XAIB AI I 000111111141 300303411111 1 41 31 AI 4112411 310339 X 6 设矩阵 32 21 53 21 BA 求解矩阵方程BXA 答案 X 11 01 7 求下列矩阵的逆矩阵 1 111 103 231 A 答案 943 732 311 1 A 2 设矩阵 A 112 124 3613 求 1 A 解解 13 63100114107114107 421010421010001012 211001211001211001 A I 114107114107110141 0172013 0172013 010271 001012001012001012 100130 010271 001012 所以 1 130 271 012 A 3 已知 A 543 322 011 B 244 213 001 求 1 BA 解解 010 111 103 AB 010100103001 111010111010 103001010100 AB I 103001103001103001 012011010100010100 010100012011002111 331 100 103001 222 010100010100 111111 001001 222222 所以 1 331 222 100 111 222 AB 4 设矩阵 A 02 20 11 B 210 321 计算 BA 1 解解 11 123 02 012 20 BA 53 42 5310111111111111 4201420102450245 BA I 3 1111101 2 5 5012 012 2 2 所以 1 3 1 2 5 2 2 BA 7 求解下列线性方程组的一般解 1 0352 023 02 4321 4321 431 xxxx xxxx xxx 答案 432 431 2 xxx xxx 其中 21 x x是自由未知量 0000 1110 1201 1110 1110 1201 3512 2311 1201 A 所以 方程的一般解为 432 431 2 xxx xxx 其中 21 x x是自由未知量 2 51147 242 12 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 答案 5 3 5 7 5 3 5 4 5 6 5 1 432 431 xxx xxx 其中 21 x x是自由未知量 3 5532 342 2 4321 4321 421 xxxx xxxx xxx 解解 因为增广矩阵 1104211042 1214301181 2315501113 1 A 11042 01181 00050 101121 01181 00010 10101 01101 00010 所 以 一 般 解 为 13 23 4 1 1 0 xx xx x 其中 3 x为自由未知量 8 当