8插值多项式的误差.doc

第6章 实验五插值多项式的误差实验目的：明确插值多项式逼近函数是有误差的，了解误差的分布，哪些地方误差大些，哪些地方误差小些。我们应该如何控制这些误差。6.1 插值误差余项多项式举例说明多项式插值误差情况，用上的5个等距点对函数进行插值估计，插值多项式是通过以下给定的数据点的四次多项式：误差定义为：其中是插值余项，是5个数据点的拉格朗日插值多项式。图6.1是函数和误差的图形，可以观察到误差曲线是震荡的，它的值在接近端点的区间上最大，这种误差特性在等距多项式插值中十分典型，误差分布形状上的变化还取决于被插函数的性质及插值区间的大小。 图6.1 函数和误差曲线的图形清单6.1 （是作图6.1的程序）clear clcx=-pi,-pi/2,0,pi/2,pi; % 插值节点横坐标y=cos(-pi),cos(pi/2),cos(0),cos(pi/2),cos(pi); % 插值节点纵坐标x1=-pi:0.001:pi; % 绘图点的横坐标y1=Lagran_(x,y,x1); % 绘图点的纵坐标e=cos(x1)-y1; % 插值误差y2=e;plot(x,cos(x),.,x1,cos(x1),b,x1,y2,r) % 绘出两个函数曲线图形xlabel(x);ylabel(cos(x) e(x)text(1.2,0.6,cos(x),fontsize,18)text(-1.1,-0.1,e(x)=cos(x)-y,fontsize,18)一般分析插值的误差： 如果当被插值是一个阶或更低阶多项式，则=0，即误差为零。否则，右端给出了对任意的误差上界估计，右端的分布完全由决定，多项式函数分布曲线由程序清单6.2给出，分布图形由图6.2（a）、（b）、（c）、（d）分别给出。清单6.2clear,clf,hold onx=-pi:pi/2:pi; f=(x+pi).*(x+pi/2).*(x-0).*(x-pi/2).*(x-pi)./120; x1=-pi:0.01:pi;y2=1/30.*(x1+pi).*(x1+pi/2).*(x1-0).*(x1-pi/2).*(x1-pi)./120; axis(-pi,pi,-0.01,0.01);subplot(2,2,1),plot(x,f,.,x1,y2,r),title(a)xlabel(x);ylabel(1/30*g(x);xp=-pi:pi/4:0; f1=(xp+pi).*(xp+3*pi/4).*(xp+pi/2).*(xp+pi/4).*(xp-0)./120;xp1=-pi:0.01:0;yp1=(xp1+pi).*(xp1+3*pi/4).*(xp1+pi/2).*(xp1+pi/4).*(xp1-0)./120;axis(-pi,pi,-0.01,0.01);subplot(2,2,2),plot(xp,f1,.,xp1,yp1,r),title(b)xlabel(x);ylabel(g(x);xq=-pi:pi/4:pi; fq=(xq+pi).*(xq+3*pi/4).*(xq+pi/2).*(xq+pi/4).*(xq-0).*(xq-pi/4).*(xq-pi/2).*(xq-3*pi/4).*(xq-pi)./362880;xq1=-pi:0.01:pi;yq2=5*(xq1+pi).*(xq1+3*pi/4).*(xq1+pi/2).*(xq1+pi/4).*(xq1-0).*(xq1-pi/4). .*(xq1-pi/2).*(xq1-3*pi/4).*(xq1-pi)./362880;axis(-pi,pi,-0.01,0.01);subplot(2,2,3),plot(xq,fq,.,xq1,yq2,r),title(c)xlabel(x);ylabel(5*g(x);xr = -3.0939 -2.7207 -2.0194 -1.0745 0.0000 1.0745 2.0194 2.7207 3.0939;fr=(xr+3.0939).*(xr+2.7207).*(xr+2.0194).*(xr+1.0745).*(xr-0).*(xr-1.0745).*(xr-2.0194).*(xr-2.7207).*(xr-3.0939)./362880;x1=-pi:0.001:pi; yy=20*(x1+3.0939).*(x1+2.7207).*(x1+2.0194).*(x1+1.0745).*(x1-0).*(x1-1.0745).*(x1-2.0194).*(x1-2.7207).*(x1-3.0939)./362880; axis(-pi,pi,-0.01,0.01); subplot(2,2,4),plot(xr,fr,.,x1,yy,r),title(d)xlabel(x);ylabel(20*g(x); 图6.2 图6.2（a）显示了等距五点插值多项式的图形，结合图6.1，可以发现误差峰值出现在端点附近的区间里。如何减小插值多项式的误差呢？对作一分析，就会得出两个结论： 减小插值区间长度就可减少误差。例如，将原始插值区间减小一半，即变为，此时近似等于1/30，如图6.2（b）所示。 增加数据点个数就可减少误差。例如图6.2（c），是原始插值区间内的9个点的插值多项式图形，此图与图6.2（a）比较，误差减小大约1/40。另一种降低误差的途径是采用非等距点的插值点，即Chebyshev插值点，如图6.2（d）所示。 总结： 建议尽可能在小区间上使用多项式插值； 只能在一定范围内依靠增加节点个数提高插值精度，如果插值节点个数过多往往会适得其反。使用Chebyshev点不仅可以使误差值减小，另一个主要的优点是其误差不会像等距节点时那样被放大。6.2 Chebyshev多项式和Chebyshev点Chebyshev多项式的公式为： =0，1，2，3，5，8时Chebyshev多项式的图形为图6.3，作图的程序为清单6.3。 图6.3 Chebyshev(n=0,1,2,3,5,8)多项式曲线清单：6.3clear;clf x=-1:0.05:1;c0=Cheby_pw(0); axis(-1,1,-1.5,1.5)subplot(3,2,1),plot(x, polyval(c0,x),title(T0(x) c1=Cheby_pw(1); axis(-1,1,-1.5,1.5) subplot(3,2,2),plot(x, polyval(c1,x),title(T1(x) c2=Cheby_pw(2); axis(-1,1,-1.5,1.5) subplot(3,2,3),plot(x, polyval(c2,x),title(T2(x) c3=Cheby_pw(3); axis(-1,1,-1.5,1.5) subplot(3,2,4),plot(x, polyval(c3,x),title(T3(x) c5=Cheby_pw(5); axis(-1,1,-1.5,1.5) subplot(3,2,5),plot(x, polyval(c5,x),title(T5(x) c8=Cheby_pw(8); axis(-1,1,-1.5,1.5) subplot(3,2,6),plot(x, polyval(c8,x),title(T8(x) axis(-1,1,-1.5,1.5) axis on幂级数形式Chebyshev多项式的系数可用程序Cheby_pw计算。它的调用格式是： p=Cheby_pw(n)其中n是Chebyshev多项式的阶数，p是多项式系数的行数组。Chebyshev多项式的根可用如下命令计算： sort(roots(Cheby_pw(n)其中sort的作用是使所有根按升序排列。例如，当n=5时，上述命令得到： c= Cheby_pw(5) r=sort(roots(Cheby_pw(j)结果c = 16 0 -20 0 5 0r =-0.95105651629515 -0.58778525229247 0 0.58778525229247 0.95105651629515k阶Chebyshev多项式还可用如下形式表达： （6.1）表达式（6.1）有k个根，它们都属于-1,1。由公式 （6.2）可计算Chebyshev多项式的根。由公式（6.2）计算得到根与程序Cheby_pw(n)计算的根相同。如果插值区间是a,b，则可通过如下映射：映射到区间-1,1。清单6.4：% 幂级数形式的Chbeshev多项式% 功能：将Chbeshev多项式展开为幂级数形式% 调用格式：c=Cheby_pw(n)% c:数组形式的幂系数% n:Chebyshev多项式的阶数% Cheby_pw.m function pn=Cheby_pw(n) pbb=1;if n=0,pn=pbb;return;end pb=1,0;if n=1,pn=pb;return;end for i=2:n; pn=2