平稳过程5-平稳过程的谱分解.pdf

5 5 平稳过程的谱分解平稳过程的谱分解平稳过程的谱分解平稳过程的谱分解 主讲人主讲人主讲人主讲人 李伟李伟李伟李伟主讲人主讲人主讲人主讲人 李伟李伟李伟李伟 西安电子科技大学数学与统计学院西安电子科技大学数学与统计学院西安电子科技大学数学与统计学院西安电子科技大学数学与统计学院 2013年秋季年秋季年秋季年秋季 一一一一 平稳过程平稳过程平稳过程平稳过程相关函数相关函数相关函数相关函数的谱分解的谱分解的谱分解的谱分解 1 相关函数的谱分解相关函数的谱分解相关函数的谱分解相关函数的谱分解 定理定理定理定理1 维纳维纳维纳维纳 辛钦定理辛钦定理辛钦定理辛钦定理 设设设设 X t t 是均方连续的平稳过程是均方连续的平稳过程是均方连续的平稳过程是均方连续的平稳过程 则则则则 其相关函数可以表示为其相关函数可以表示为其相关函数可以表示为其相关函数可以表示为 1 j ReFd 2 X j X ReFd 若 则令 0 X X R f R X R 连续 非负定 0 1fff 则连续 非负定 且 E 0 j Wj X X R feedG R r v W G s t f 是某个的特征函数 即存在分布函数 0 j XX RRedG 2 0 1 2 j X edRG 2 0 XX RGF 取 1 1 2 j XX RedF 即得 2 0 XX RGF 容易验证满足定理中各条件 称函数称函数称函数称函数FX 为平稳过程为平稳过程为平稳过程为平稳过程 X t X t X t X t t 的的的的谱函数谱函数谱函数谱函数 1 2 j XX RedF 称 为平稳过程为平稳过程为平稳过程为平稳过程 X t t 相关函数的相关函数的相关函数的相关函数的谱展开式谱展开式谱展开式谱展开式 或或或或谱分解式谱分解式谱分解式谱分解式 定义定义定义定义 若平稳过程的相关函数绝对可积若平稳过程的相关函数绝对可积若平稳过程的相关函数绝对可积若平稳过程的相关函数绝对可积 则存在函数则存在函数则存在函数则存在函数 SX 使得使得使得使得 XX FSd 则称则称则称则称SX 为平稳过程为平稳过程为平稳过程为平稳过程 X t t 的的的的谱密度谱密度谱密度谱密度 设设设设 X t t 是均方连续的平稳过程是均方连续的平稳过程是均方连续的平稳过程是均方连续的平稳过程 且且且且RX 绝对可积绝对可积绝对可积绝对可积 即即即即 X Rd XXX FFS 则可微 且 证明证明证明证明 由维纳由维纳由维纳由维纳 辛钦公式有辛钦公式有辛钦公式有辛钦公式有 1 2 j XX RSed 1 2 X j X ReFd X R 与 的谱分解式比较 证明证明证明证明 由维纳由维纳由维纳由维纳 辛钦公式有辛钦公式有辛钦公式有辛钦公式有 XX FS 定理定理定理定理3 设设设设 Xn n 0 1 2 是平稳时间序列是平稳时间序列是平稳时间序列是平稳时间序列 则其则其则其则其 相关函数可以表示为相关函数可以表示为相关函数可以表示为相关函数可以表示为 1 0 1 2 XX j m edmRmF X F 其中 是在 上非负 有界 单调不减 对离散参数集上的平稳时间序列对离散参数集上的平稳时间序列对离散参数集上的平稳时间序列对离散参数集上的平稳时间序列 有相类似的结果有相类似的结果有相类似的结果有相类似的结果 020 X X R XX 其中 是在 上非负 有界 单调不减 右连续 且F F 称称称称FX 为平稳时间序列为平稳时间序列为平稳时间序列为平稳时间序列 Xn n 0 1 的谱函数的谱函数的谱函数的谱函数 称式为平稳时间序列相关函数的谱展开式 或谱 分解式 谱密度SX 和谱函数的有关系 XX FSd 例例例例5 5 1设 设设设 X t t 求求求求 X t t 的谱密度和谱函数的谱密度和谱函数的谱密度和谱函数的谱密度和谱函数 22 4 4 X S 谱密度解解解解 2 22 4 4 e 即F XX FSd 谱函数 22 4 2arctan 42 d 举例举例举例举例 设设设设X Y是两个相互独立的实随机变量是两个相互独立的实随机变量是两个相互独立的实随机变量是两个相互独立的实随机变量 EX 0 DX 1 Y的分布函数为的分布函数为的分布函数为的分布函数为F y 令令令令 jtY Z tXet 试求试求试求试求 Z t t 的谱函数的谱函数的谱函数的谱函数 解解解解 因为因为因为因为 Z t t 是平稳过程是平稳过程是平稳过程是平稳过程 2 Z FF 解解解解 因为因为因为因为 Z t t 是平稳过程是平稳过程是平稳过程是平稳过程 1 2 2 jj Z Rt tedFedF 二二二二 平稳过程平稳过程平稳过程平稳过程的谱分解的谱分解的谱分解的谱分解 回顾回顾回顾回顾 对确定信号对确定信号对确定信号对确定信号x t 满足满足满足满足Dirichlet条件且绝对可积条件且绝对可积条件且绝对可积条件且绝对可积 则则则则x t 存在频谱存在频谱存在频谱存在频谱 j t x Fex t dt 1 2 j t x x teFdt 则 2 x 则 说明说明说明说明 x t 可分解为一些复谐波的无限叠加可分解为一些复谐波的无限叠加可分解为一些复谐波的无限叠加可分解为一些复谐波的无限叠加 本节将给出在很一般的条件下平稳过程也可以表示本节将给出在很一般的条件下平稳过程也可以表示本节将给出在很一般的条件下平稳过程也可以表示本节将给出在很一般的条件下平稳过程也可以表示 为无穷多个复谐波的叠加为无穷多个复谐波的叠加为无穷多个复谐波的叠加为无穷多个复谐波的叠加 不失一般性不失一般性不失一般性不失一般性 本节总假定本节总假定本节总假定本节总假定 mX 0 定理定理定理定理1 复平稳过程的谱分解复平稳过程的谱分解复平稳过程的谱分解复平稳过程的谱分解 设设设设 X t t 是零均值均方连续的平稳过程是零均值均方连续的平稳过程是零均值均方连续的平稳过程是零均值均方连续的平稳过程 其其其其 谱函数为谱函数为谱函数为谱函数为FX 则则则则X t 可以表示为可以表示为可以表示为可以表示为 j t X tedZt 其中其中其中其中 11 l i m j t T e ZX t dt l i m 2 TT ZX t dt jt 称之为称之为称之为称之为 X t t 的的的的随机谱函数随机谱函数随机谱函数随机谱函数 且具有性质且具有性质且具有性质且具有性质 1 E 0Z 12342143 2 0E ZZZZ 2 122121 1 3 2 XX E ZZFF 定理的实际意义定理的实际意义定理的实际意义定理的实际意义 j t X tedZ 由 l i m T j t TT X tedZ 即 TT 将 等分为2N个子区间 由均方积分定义 1 1 l i ml i m k N jtT N TN KN kTkT X teZZ NN 1 kTkT 即即即即 平稳过程可看成是振幅为平稳过程可看成是振幅为平稳过程可看成是振幅为平稳过程可看成是振幅为 1 kTkT ZZ NN 角频率为角频率为角频率为角频率为 kT N 的谐波分量的的有限叠加和的均方极限的谐波分量的的有限叠加和的均方极限的谐波分量的的有限叠加和的均方极限的谐波分量的的有限叠加和的均方极限 X t 是谐波分量谐波分量谐波分量谐波分量 j t edZ 无限叠加和无限叠加和无限叠加和无限叠加和 定理定理定理定理2 实平稳过程的谱分解实平稳过程的谱分解实平稳过程的谱分解实平稳过程的谱分解 设设设设 X t t 是零均值均方连续的是零均值均方连续的是零均值均方连续的是零均值均方连续的实实实实平稳过程平稳过程平稳过程平稳过程 其其其其 谱函数为谱函数为谱函数为谱函数为FX 则则则则X t 可以表示为可以表示为可以表示为可以表示为 12 00 cos sin X ttdZtdZt 其中其中其中其中 1sin l i m T t ZX t dt 1 l i m TT ZX t dt t 2 11 cos l i m T TT t ZX t dt t 称为实平稳过程称为实平稳过程称为实平稳过程称为实平稳过程 X t t 的的的的随机谱函数随机谱函数随机谱函数随机谱函数 且具有性质且具有性质且具有性质且具有性质 12 1 E E 0ZZ 1234 2143 2 then 0 1 2 iijj ij orji E ZZZZi j 12 22 3 ijij 时 独立增量 时 正交增量 22 12112221 E ZZE ZZ 21 1 XX FF 定理定理定理定理3 复平稳随机序列的谱分解复平稳随机序列的谱分解复平稳随机序列的谱分解复平稳随机序列的谱分解 设设设设 Xn n 0 1 2 是零均值的平稳时间序列是零均值的平稳时间序列是零均值的平稳时间序列是零均值的平稳时间序列 其其其其 谱函数为谱函数为谱函数为谱函数为FX 则则则则Xn可以表示为可以表示为可以表示为可以表示为 0 1 2 j n n XedZn 其中其中其中其中 0 0 11 2 j n n e ZXX jn 0 2 n jn 称为平稳时间序列称为平稳时间序列称为平稳时间序列称为平稳时间序列 Xn n 0 1 的的的的随机谱函数随机谱函数随机谱函数随机谱函数 且具有性质且具有性质且具有性质且具有性质 1 E 0Z 12342143 2 0E ZZZZ 2 122121 1 3 2 XX E ZZFF 定理定理定理定理4 实平稳随机序列的谱分解实平稳随机序列的谱分解实平稳随机序列的谱分解实平稳随机序列的谱分解 设设设设 Xn n 0 1 2 是零均值的实平稳时间序列是零均值的实平稳时间序列是零均值的实平稳时间序列是零均值的实平稳时间序列 其其其其 谱函数为谱函数为谱函数为谱函数为FX 则则则则Xn可以表示为可以表示为可以表示为可以表示为 12 00 cos sin 0 1 2 n XndZndZn 其中其中其中其中 10 1sin n ZXX 10 0 n n