最小二乘多项式的数值不稳定现象.doc

实验目的：观察最小二乘多项式的数值不稳定现象实验内容：在区间取个等距节点，计算出以相应节点上的值作为数据样本，以为基函数，作出次的最小二乘多项式，画出之间的曲线。其中，A是确定最小二乘多项式系数的矩阵。计算出不同多项式的最小偏差实验结果：设拟合多项式为对于不同的值，求得对应的多项式系数及偏差列入表中表1 次最小二乘多项式系数及偏差30.995549 0.997579 0.540351 0.1769993.1369e-0451.00004 1.00002 0.499247 0.166497 0.0437538 0.008681892.2457e-0871 1 0.500006 0.166668 0.0416364 0.00832885 0.00143851 0.0002045694.0116e-1391 1 0.5 0.166667 0.0416669 0.00833336 0.00138832 0.000198349 2.54781e-005 2.82241e-0062.2582e-18111 1 0.5 0.166667 0.0416667 0.00833333 0.00138889 0.000198415 2.47955e-005 2.75328e-006 2.81444e-007 2.62514e-0087.5119e-24131 1 0.5 0.166667 0.0416667 0.00833332 0.00138889 0.000198457 2.4809e-005 2.67551e-006 2.68608e-007 9.43772e-008 4.54045e-009 -2.26726e-0089.0515e-23151 1 0.5 0.166667 0.0416667 0.00833314 0.00138883 0.00019952 2.49759e-005 -4.03381e-007 -9.85804e-009 4.79823e-006 2.31787e-007 -3.62885e-006 -7.18691e-008 1.08975e-0063.4205e-21图1 关系曲线从图中可以看出，随着拟合多项式的次数增大，A的条件数迅速增大，确定最小二乘多项式系数的方程组的病态程度也随之增加。这也在偏差中反映出来，刚开始时次数增大使得偏差减小，而当次数达到13及以上时，偏差反而增大。Matlab程序x=-1:2/19:1;y=exp(x);acond=zeros(1,7);delta=zeros(1,7);fp=fopen(c.txt,w);for l=3:2:15 A=zeros(l+1); B=zeros(l+1,1); for i=1:l+1 for j=i:l+1 A(i,j)=x.(i-1)*(x.(j-1); A(j,i)=A(i,j); end B(i,1)=x.(i-1)*y; end c=(AB); yf=0; for i=1:l+1 yf=yf+c(i)*x.(i-1); end delta(l-1)/2)=sum(yf-y).2); fprintf(fp,%d:n,l); fprintf(fp,%g ,c); fprintf(fp,n); acond(l-1)/2)=cond(A);