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巧用组合数公式求数列的和吴少华 夏茂权（吉林省德惠市实验中学 130300）组合数与和式有着密切的内在联系，从某个角度看，组合数是完成某件事的方法种数，如果我们将完成此事件的方法按一定规则进行分类，由不同的分类方法可得到不同的组合数公式，而用这些公式求某些数列的和是非常方便和简捷的。下面我们给出两个重要的组合数公式。公式1 += 此公式可由下面方法推得从个不同元素中取出个不同元素的组合数为先将其分为个元素中不含其中一个元素的和含元素的两类而这两类的组合数分别为与即得=+，依此再将组合数分为两类可得=+，不断将组合数上标为的项进行如此分类即得公式1。公式2 .+.+.+= 此公式可由下面方法推得。从放在一个盒中的m个不同黑球与n个不同白球中任取出k的球的方法种数为，将取出的k个球按所含白球数分类，分为含白球数为0个，1个，2个.k个共k+1类，取法种数分别为.，.，.，即得公式2。下面举例说明以上两个公式在数列求和方面的应用。例1 =12+23+34+. +n(n+1) 求解：12+23+34+. +n(n+1)= 2(+)=2=例2 求=12+22+32+n2解：= 2=n2+n 2（+）=+2=+ 得=+整理得=例3求=13+23+33+n3解：= 6=n3+3n2+2n6（+）=+3+2 6=+3+2 解出并整理得= 用类似的方法可求出an=n4，an=n5，的和。例4 一盒内有大小相同的黑球M个，白球N个，从中任取m个球（mM，mN），求含有白球的个数的数学期望。解：由题意的所有可能取值为0，1，2，.，m。分布列为：012m-1mpE=（+2+（m-
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