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方程式与方程应用题第一讲 方程基础知识一、等式:表示相等关系的式子叫做等式。例：7+2=9 153=32+13等式的性质：1：等式两边同时加上或减去相等的数或式子，两边依然相等。 若a=b 那么有a+c=b+c 例1：7+2=9 （7+2）+15=9+15 例2：153=45 153-（12+2）=45-（12+2）2：等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等 若a=b 那么有ac=bc 或ac=bc（c0）例1：7+2=9 (7+2) 5=95例2：153=45 (153) (35)=45(35) 3：等式两边同时乘方（或开方），两边依然相等 若a=b 那么有ac=bc 或(c次根号a)=(c次根号b) 例1：3+2=1+4 (3+2) 2=(1+4)2例2：32+17=60-11 (初中阶段知识) _ _32+17= 60-11 二、方程概念 方程：含有未知数的等式叫方程。即：（1）方程中一定有含一个或一个以上未知数；（2）方程式一定要是等式。但等式不一定是方程。例：5x+4=84 2.5 x=60 上述两式，既含有未知数，又含有等式，所以是方程。3.2X+28（含未知数但不是等式，不是方程） 67-32=35（是等式而不含未知数，不是方程）未知数：通常设x.y.z为未知数，也可以设别的字母，全部小写字母都可以。 一道题中设多个未知数时，不能设为一样的字母！“次”：方程中次的概念指的是含有未知数的项中，未知数次数最高的项。而次数最高的项，就是方程的次数。方程的解： 使方程左右两边相等的未知数的解叫做方程的解解方程：求方程解的过程，（或求方程中未知数的值的过程），叫解方程。方程类型：例：4x+18=30（一元一次方程式） X+y=8（二元一次方程式） 3x2+5=17 （一元二次方程式） 三、解方程基本思路：1. 根据加、减、乘、除法各部分间的关系解方程。这种思路适合解比较简单的方程。2. 根据“等式的性质”解方程，即在方程两边同时加上（或减去）同一个数，方程两边仍然相等。同理，在方程两边同时乘（或除以）相同的数，方程两边仍然相等。注意：0除外。3. 根据“移项变号”的原则解方程，即从方程一边移到另一边，加号变成减号，乘号变除号。四、解一元一次方程式的步骤：1、去括号：有括号就先去掉2、去分母：有分母先去分母3、移项：将含未知数的项移到左边，常数项移到另右边。移项时要注意变号。4、合并同类项：将原方程化为ax=b(a0)的形式。5、系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数。 例1：7（x - 2)=2x+6 例2：0.1(x+6)=3.30.4 解：7x -14=2x+6 (去括号) 解：0.1x+0.6=3.30.4 （去括号） 7x -2x=6+14 (移项) 0.1x=3.30.4-0.6 （移项） 5x=20 （合并同类项） 0.1x=0.72 （合并同类项） x=4 （系数化为1） x=7.2 （系数化为1） 例3：解：6-2x(2x-4)=-(x-7)6-4x+8=-x+74x-x=6+8+73x=7x=7/3上述三例，都只含有一个未知数，未知数次数是1，所以都是一元一次方程。三、列方程解应用题1、解题步骤审题，弄清题意即全面分析已知数与已知数、已知数与未知数的关系弄清概念术语，如同向，相向，增加到，增加了等。设未知数用x表示所求的数量或有关的未知量小学阶段一般只需要直接把要求的数量设为未知数。找出数量间的等量关系，列出方程。解方程，计算出未知数的值。检验并写出答案。检验时，一是要将所求得的未知数的值代太原方程，检验方程的解是否正确；二是检查所求得的未知数的值是否符合题意，不符合题意的要舍去，保留符合题意的解。2、案例：一百馒头一百僧，大僧三个更无争。小僧三人分一个，大僧小僧各几丁?分析：由题意可知，大和尚和小和尚总人数为100个，馒头总数也是100个。设大僧x人，则小僧为100-x人。大和尚每个分3个馒头，共分得馒头数为3X。小和尚三人分一个馒头，共分得馒头数为(100-x)/3。大和尚所分得的馒头数和小和尚分得的馒头数加起来共100个。由此可列出方程： 3x+(100-x)/3=100 解：9x+100-x=300 (两边同乘以3，去掉分母，去掉括号) 8x=200 (合并同类项) x=25 100-25=75（人） 答：略。 小学数学应用题常见的等量关系1、每份数份数=总数 总数每份数=份数 总数份数=每份数2、1倍数倍数=几倍数 几倍数1倍数=倍数 几倍数倍数=1倍数3、速度时间=路程 路程速度=时间 路程时间=速度4、单价数量=总价 总价单价=数量 总价数量=单价5、工作效率工作时间=工作总量工作总量工作效率=工作时间 工作总量工作时间=工作效率6、小学数学图形计算公式1.正方形周长=边长4 C=4a 面积=边长边长S=aa2、长方形周长=(长+宽)2C=2(a+b) 面积=长宽 S=ab7、三角形面积=底高2 s=ah2 三角形高=面积2底三角形底=面积2高8、平行四边形面积=底高 s=ah9、梯形面积=(上底+下底)高2 s=(a+b)h28、圆形(1)周长=直径=2半径C=d=2r(2)面积=半径半径 9、和差问题的公式总数总份数=平均数(和+差)2=大数(和-差)2=小数10、和倍问题和(倍数-1)=小数小数倍数=大数(或者和-小数=大数)11、差倍问题差(倍数-1)=小数小数倍数=大数(或小数+差=大数)12、植树问题：1)非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:如果在非封闭线路的两端都要植树，那么：株数=段数+1=全长株距-1 全长=株距(株数-1)株距=全长(株数-1)如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树，那么：株数=段数=全长株距全长=株距株数株距=全长株数如果在非封闭线路的两端都不要植树，那么：株数=段数-1=全长株距-1全长=株距(株数+1)株距=全长(株数+1)2)封闭线路上的植树问题的数量关系如下株数=段数=全长株距全长=株距株数株距=全长株数13、盈亏问题：(盈+亏)两次分配量之差=参加分配的份数(大盈-小盈)两次分配量之差=参加分配的份数(大亏-小亏)两次分配量之差=参加分配的份数14.相遇问题：相遇路程=速度和相遇时间相遇时间=相遇路程速度和速度和=相遇路程相遇时间15、追及问题：追及距离=速度差追及时间追及时间=追及距离速度差速度差=追及距离追及时间16.流水问题：顺流速度=静水速度+水流速度 逆流速度=静水速度-水流速度静水速度=(顺流速度+逆流速度)2水流速度=(顺流速度-逆流速度)217.浓度问题：溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量溶质的重量