高职高等数学 第二章 导数与微分第三节 隐函数及参数方程确定的函数的求导法则.pdf

沈阳工程学院 第三节 隐函数及参数方程确定的函数求导法则 Rule of Finding Derivative for Implicit Function and Function Defined by Parametric Equations 教学目的 掌握隐函数和参数方程确定的函数的求导方法 内容 1 隐函数的求导法则 2 参数方程确定的函数的求导法则 3 初等函数的导数 教学重点 隐函数求导 教学难点 幂指函数的求导方法 教具 多媒体课件 教学方法 精讲多练 教学过程 1 引入新课 类如 y exy 的函数的导数如何来计算 本节介绍这类函数的求导法则 2 教学内容 一 隐函数的求导法则 定义 定义 0F x y 由方程所确定的函数 yy x 称为隐函数 形式称为显函数xfy 0 yxF xfy 隐函数的显化 问题 隐函数不易显化或不能显化如何求导 隐函数求导法则 用复合函数求导法则直接对方程两边求导 例 1 隐函数求导法则 用复合函数求导法则直接对方程两边求导 例 1 求由方程 222 xyR 所确定的隐函数的导数 dy dx 解解 将方程的两边同时对x求导 根据复合函数求导法则得 222 xyR 220 dy xy dx 沈阳工程学院 解得 dyx dxy 例 2例 2 求由方程sinln1yxy 所确定的隐函数的导数 x y 解解 将方程两边同时对x求导 得 1 sincos0 xx yxyxy y 解得 2 cos 1sin x yx y yx 对数求导法 对数求导法 观察函数 4 sin 1 23 x x x yyx xx 方法 先在方程两边取对数 然后利用隐函数的求导方法求出导数 对数求导法 适用范围 方法 先在方程两边取对数 然后利用隐函数的求导方法求出导数 对数求导法 适用范围 的情形数多个函数相乘和幂指函 xv xu 例 3例 3 求函数 41 23 x x y xx 的导数 解解 将等式两边取对数得 1 lnlnln1ln2ln3 4 yxxxx 两边对x求导得 11 1111 4123 x y yxxxx 所以 4 1111 4123 111111 423123 x y y xxxx x x xxxxxx 例 4例 4 0 sin yxxy x 求设 解解等式两边取对数得xxylnsinln 求导得上式两边对x x xxxy y 1 sinlncos 1 1 sinln cos x xxxyy sin ln cos sin x x xxx x 沈阳工程学院 一般地一般地 0 xuxuxf xv ln lnxuxvxf 1 lnxf dx d xf xf dx d 又 ln xf dx d xfxf ln xu xuxv xuxvxuxf xv 例 5例 5 求指数函数 0 1 x yaaa 且的导数 解解 把 x ya 改写成logaxy 两边对x求导得 logaxy 1 1 ln x y ya lnln x x yyaaa 即 ln xx aaa 当ae 时 xx ee 例 6例 6 证明 2 1 arcsin 1 x x 证明 设arcsinyx 则sinxy 两边对x求导得 1cos x y y 即 22 111 cos 1 sin1 x y y yx 类似可证明 2 1 arccos 1 x x 2 1 arctan 1 x x 沈阳工程学院 2 1 arccot 1 x x 可得反函数的求导法则 如果函数 xy 在某区间 y I内单调 可导且 0y 那么它的反函数 yf x 在对应区间 x I 内也可导 且有 1 fx y 即反函数的导数等于直接函数导数的倒数即反函数的导数等于直接函数导数的倒数 二 参数方程确定的函数的求导法则 数由参数方程所确定的函 称此为间的函数关系与确定若参数方程xy ty tx 例如 2 2 ty tx 2 x t 消去参数t 22 2 x ty 4 2 x xy 2 1 问题 消参困难或无法消参如何求导 中在方程 ty tx 1 xttx 具有单调连续的反函数设函数 1 xy 0 ttytx 且都可导再设函数 由复合函数及反函数的求导法则得 dx dt dt dy dx dy dt dx dt dy1 t t dt dx dt dy dx dy 即 例 7例 7 求由参数方程 cos sin xat ybt 确定的函数的导数 沈阳工程学院 解解sin cos dxdy atbt dtdt Q cos cot sin dy dybtb dt t dx dxata dt 例 8例 8 求曲线 2 t t xe ye 在点 2 1处的切线方程和法线方程 解解对应于点 2 1的参数0t 所以 0 11 22 t t x t t t ey ky xe 故切线方程为 1 12 2 yx 即240 xy 法线方程为 122yx 即230 xy 三 初等函数的导数 1 常数和基本初等函数的导数公式1 常数和基本初等函数的导数公式 xxx xx xx C tansec sec sec tan cos sin 0 2 xxx xx xx xx cotcsc csc csc cot sin cos 2 1 ax x aaa a xx ln 1 log ln x x ee xx 1 ln 2 2 1 1 arctan 1 1 arcsin x x x x 2 2 1 1 cot 1 1 arccos x xarc x x 2 函数的和 差 积 商的求导法则2 函数的和 差 积 商的求导法则 设 uu xvv x 可导 则 沈阳工程学院 1 vuvu 2 cucu c 是常数 3 uvvuuv 4 0 2 v v uvvu v u 3 复合函数的求导法则3 复合函数的求导法则 xufxy dx du du dy dx dy xfyxuufy 或 的导数为则复合函数而设 4 参数方程确定的函数的求导法则4 参数方程确定的函数的求导法则 0 xt yxttt yt t dy dy dt dx dx dt 若参数方程确定 与 间的函数 其中都可导 且 为参数 则 5 反函数的求导法则5 反函数的求导法则 如果函数 xy 在某区间 y I内单调 可导且 0y 那么它的反函数 yf x 在对应区间 x I 内也可导 且有 1 fx y 课堂练习 求