量子力学8.doc

河南科技大学物理工程学院教案（李同伟） 第二章 波函数和薛定谔方程2-8 方形势阱一、一维无限深势阱通常把势能分区均匀的位势称为方形位势，或者梯形位势。一维无限深方势阱是方形势阱中最简单的一种特殊情况，它是量子力学中少数几个可以得到解析解的问题之一。1能量本征方程一个质量为的粒子处于如图所示的一维无限深方势阱中，其势能的表达式为沿轴可以将势能分为三个区域，分别用分别用、来表示。粒子在三个不同的定态薛定谔方程如下在和区，势能皆为无限大，通常把这种高度无限大的势垒称为刚性壁，即使粒子具有波粒二象性，它也完全不能透过这种刚性壁，于是在刚性壁中的波函数为零。在区，方程的解有三种写法 由于一维无限深势阱属于束缚定态情况，所以波函数通常不用复数形式，因此可以采用后面两中的任意一种形式。方程的解为其中的实数由下式决定2能量本征值由于在和区势能为无限大，故不必使用波函数一阶导数在处连续的条件。由波函数的连续性要求可知，在处，波函数分别满足 由此得 其中，。两式相减得 在上式中，的取值本应从0开始，但若，则，进而使得三个区域的波函数皆为零，这在物理上是不合理的，故将其弃之。另外，由于与实际上同一个角度，故只取正值。如果一定要顾及波函数一阶导数连续的条件，则由波函数一阶导数连续条件将得到同样的结果，说明波函数一阶导数连续的条件并不贡献新的物理内容，这是因为间断点处有一边的势能为无穷大所造成的。换句话说，若在间断点处有一边的势能为无穷大，则不必顾及波函数的一阶导数在此间断点处连续。在势能间断点处边界条件的实质是，要求概率密度连续和概率流密度连续，多数情况下，这种要求可以简化为波函数连续和波函数的一阶导数连续，在一些特殊情况下，例如，无限深势阱和函数位势，它们的波函数一阶导数并不连续，但是，概率流密度却是连续的。容易得到能量本征值 能量本征值（或能级）与整数有关，将整数称为量子数。由此可知，无限深势阱中的粒子的能量本征值是断续（量子化）的。显然，这种力学量取值量子化是量子力学的必然结果。最后，让我们来考察相邻能级间距的相对值随量子数的变化。当量子数较小时，例如，若，则，当量子数很大时，例如，若，则。上述结果表明，此时的能级间隔相对能级本身来说是非常小的，换句话说，能级可以视为连续的，即在所谓大量子数极限情况下，量子力学过渡到经典力学，此即玻尔的对应原理。3能量本征函数因为所以再利用波函数的归一化条件求出归一化常数，不管是奇数还是偶数，都有则归一化常数归一化后，对应能量本征值的本征波函数为4讨论（1）对称势阱和态的宇称波函数也可以按的奇偶不同写为如下形式为偶数为奇数可以看出，波函数要么为偶宇称，要么为奇宇称。这正符合前面讲过的一位定态的性质7。（2）非对称势阱若宽度为的无限深势阱的形式为非对称的，即用类似方法可求得能量本征值与相应的本征函数为 由于该势能不具有空间反演对称性，故波函数无确定的宇称。（3）与自由粒子的比较处于无穷深势阱中的粒子，也可以理解为一个“自由粒子”被限制在一定的区域内运动。自由粒子的能量本征值是连续取值的，而无限深方势阱中的粒子的能量的取值是断续的。由（6）式可知，随着的增大，能级的间距将逐渐变小，以致变成连续取值，此即由断续到连续的过渡的过程，也就是说，当势阱的宽度趋于无穷大时，该“自由粒子”就变成真正的自由粒子。（4）与箱中“自由粒子”的比较前面曾讨论过自由粒子的箱归一化问题，并给出了量子化的能量本征值的表达式，即表现出量子限域效应。将箱中的“自由粒子”与无限深方势阱中的粒子作比较，会发现两者是同一个物理问题的两种不同表述，细心的读者会发现，两种不同的处理方法得到的能量本征解是不同的。产生这个问题的原因在于，做箱归一化时，事先作了箱内的波函数仍为平面波的假定，以致不能保证波函数在边界上连续的条件。实际上，箱归一化是处理上述物理问题的一种近似，而无限深方势阱的结果才是严格的。二、方形势阱如图所示的方形势阱也是较为简单的一维位势。下面先求解一般的方形势阱的定态问题，然后，再考察它的特殊情况（对称方势阱）。1通解一个质量为的粒子处于如图所示的一般方势阱中，其势能表达式为 （13）其中，和为正实数。讨论的情况。势能沿轴可分为三个区域，每个区域的势能都是一个常数。于是，可以在三个不同的区域内分别写出相应的薛定格方程当时，可以改写为其中 、皆为实数。在三个不同的区域中，方程的解分别是 2定解 下面根据波函数的各种要求来确定能量本征值与常数、。 首先，由波函数的有限性可知，于是 其次，由波函数及其一阶导数连续的要求可知，在处，波函数满足的边界条件为 由前两式得由后两式得注意，角度与分别处于第一、三象限和第二、四象限。利用三角函数的定义可知 于是，得到 其中，。将上面两式相减，则可得到能量本征值所满足的超越方程其中，。将、的表达式代入上式，可得的明显表达式显然，上述超越方程只能进行数值求解，能量本征值求出之后，将其代回波函数的表达式中，利用边界条件消去四个常数中的三个，剩下的一个由归一化条件决定。对于简单问题可以得到解析的结果，例如，上面提到的无限深势阱；对于较复杂的问题则必须进行数值求解或者图解法求解。3方形势阱的三个特例（1）对称方势阱当两边势垒的高度相等（）时，构成对称方势阱，其能量本征值所满足的方程简化为 （20）（2）无限深方势阱当两边势垒的高度皆为无穷大（）时，即所谓无穷深势阱，则上式变成更简单的形式 此结果与前面导出的无限深势阱结果相同。（3）半壁无限深势阱 对于半壁无限深势阱（），则有小 结一、求解方势阱中粒子能量本征值和本征函数的方