er以前的.doc

代数中的若干问题代数的出现及发展一 萌芽和发展代数学的基本特征是解方程，即对未知数进行运算。代数学的起源可以追溯到巴比伦的泥板和埃及的草书。在巴比伦的泥板中不仅有一次方程问题，而且还有二次方程和二元二次方程联立的问题。由于当时没有复数的概念，所以巴比伦只取正根。在埃及人阿梅斯的草书中也有一次和二次方程的问题，他们对代数问题的解法都是用语言来叙述，使得解题过程很繁琐，在数学史上称为文字代数。代数与算术的区别除了一个是对未知数进行运算，另一个是对已知数进行运算外，主要的区别还在于代数中数的概念已由算术中的正有理数扩大到负数、无理数乃至实数。而中国和印度则在相当早的时期就有了负数的概念，其几何问题大多化归为代数问题解决，为代数学的发展做出了重要的贡献。负数在西方得到承认则是近代数学时期的事。代数学从数学中开始分化起于罗马时期，定型于阿拉伯时期，而完成于16世纪，中间经过了一千余年的演变。欧洲在罗马帝国时期，数学思想有了很大的转变。曾被希腊人几何化了的代数开始从几何中分化，为以后代数学的发展奠定了基础。这一分化主要体现在尼克马修、 丢番图和花拉子模等人的工作中。代表罗马帝国时期数学特点和代数发展高峰的是丢番图，有人称他为代数学的鼻祖。他对数学的贡献主要有两个：一个是关于代数不定方程的整数解的研究，由此奠定了今天数学中的丢番图分析。二是在代数中采用成套的符号是丢番图的重要贡献。二 符号的产生 符号在数学中的重要性是显然的，在一定意义上说，没有优越的符号就不可能有近代和现代数学。系统采用了数学的符号的代数的产生构成了近代数学的一个开端。在符号代数的形成过程中，韦达做出了重要的贡献。韦达对数学的两个主要贡献：一是用元音字母表示未知数，辅音字母表示已知数，后者意义很大，说明人们对数量关系认识的提高。二是韦达第一次把代数与算术作了明确的区分：代数是关于类或形式的计算技术，算术则是关于具体数字的计算技术。韦达在研究方程问题的过程中创立符号代数，他系统地利用字母来表示方程中的量：用辅音字母B、C、D等表示已知量，用元音字母A等表示未知量，用Aquadratus表示A2，Acubus表示A3。并将这些量的运算称为“类的运算”，与用于确定数目的“数的运算”相区别。对这种类，韦达借用欧几里得几何原本中对量所做的规定，即“整体等于部分之和”、“等量加等量其和相等”等公理及其某些运算性质，使类的运算法则等同于通常的数的运算法则。这样，一方面，使他的方法对数和几何量在使用上是一致的，另一方面，使这种“类”成为任意的数的代表。表类的字母就成为一般意义下的数学符号。由此，人类迈出了符号代数的决定性的一步，代数成为研究用数学符号表示的一般的类的学问。从这一点出发，韦达给出方程的一个定义：一个方程是一个未知量与一个确定量的比较。并以此对一些传统的几何学问题作了一些新的探讨，例如，把尺规作图问题与二次方程问题联系起来，把求某一几何量转化为求某一相应方程转化的未知量。韦达的这些工作极大地推动了代数学的发展，因此，他在西方被称为“代数学之父”。继韦达之后，笛卡尔再次对韦达等建立的字母系统作了改进，用英文字母表中最前面的字母a、b、c等表示已知量，而靠后的字母x、y、z等表示未知量，终于使字母表示数的地位在代数学上确立起来。德国著名数学家克莱因指出：“代数学上的进步是引进了较好的符号体系，这对它本身和分析的发展比十六世纪技术上的进步远为重要。事实上，采取了这一步，可使代数有可能成为一门科学”。代数简介代数是更古老的算术的推广和发展。在古代当算术积累了大量的关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数。代数是由算术演变而来的，这是毫无疑问的。至于什么年代产生的就很不容易说清楚了。用符号表示方程的技巧，则是在十六世纪才发展起来的。如果我们对代数符号不是要求像现在这样简练，那么，代数学的产生可上溯到更早的年代。西方人将公元前三世纪古希腊数学家丢番图看做是代数学的鼻祖。在中国，用文字来表达的代数问题出现的就更早了，而且，代数的内容和方法也在古代就产生了，比如九章算术中就有方程问题。从“九章算术”卷八说明方程以后，在数值代数的领域内中国一直保持了光辉的成就。“九章算术”方程章首先解释正负数是确切不移的，正像人们学习初等代数时从正负数的四则运算学起一样，负数的出现便丰富了数的内容，古代的方程在公元前一世纪的时代已有多元方程组、一元二次方程及不定方程几种。一元二次方程是借用几何图形而得到证明。不定方程的出现在二千多年前的中国是一个值得重视的课题，这比人们所熟知的希腊丢番图方程要早三百多年。具有和形式的三次方程，中国在公元七世纪的唐代王孝通“缉古算经”已有记载，用“从开立方除文”而求出数字解答（可惜原解法已失传了），不难想象王孝通得到这种解法时的愉快程度，他说谁能改动他著作内的一个字可酬以千金。十一世纪的贾宪已发明了和霍纳（17861837）方法相同的数字方程解法，人们也不能忘记十三世纪中国数学家秦九韶在这方面的伟大贡献。在世界数学史上对方程的原始记载有着不同的形式，但比较起来不得不推中国天元术的简明了。四元术是天元术发展的必然产物。级数是古老的东西，二千多年前的“周髀算经”和“九章算术”都谈到算术级数和几何级数。十四世纪初中国元代朱世杰的级数计算应给予很高的评价，他有些工作欧洲在十八、九世纪的著作内才有记录。十一世纪时代中国已有完备的二项式系数表，并且还有这表的编制方法。历代文献揭示出在计算中有名的盈不足术是由中国传往欧洲的。内插法的计算，中国可上溯到六世纪的刘焯，并且七世纪末的僧一行有不等间距的内插法计算。十四世纪以前，属于代数方面许多问题的研究，中国是先进国家之一。到十八九世纪由李锐（17731817），汪莱（17681813）到李善兰（18111882），他们在这一方面的研究上也都发表了很多的名著。初等代数的中心内容是解方程，因而长期以来都把代数学理解成方程的科学，数学家们也把主要精力集中在方程的研究上。它的研究方法是高度计算性的。要讨论方程，首先遇到的一个问题是如何把实际中的数量关系组成代数式，然后根据等量关系列出方程。所以初等代数形成了整式、分式和根式这三大类代数式。代数式是数的化身，因而在代数中，它们都可以进行四则运算，以区别于只包含四种运算的算术运算。在初等代数的产生和发展的过程中，通过解方程的研究，也促进了数的概念的进一步发展，将算术中讨论的整数和分数的概念扩充到有理数的范围，使数包括正负数、正负分数和零。有了有理数，初等代数能解决的问题就大大的扩充了。但是，有些方程在有理数范围内仍然没有解。于是，数的概念再一次扩充到了实数，进而又进一步扩充到了复数。那么到了复数的范围内是不是仍然有方程没有解，还必须把复数再进行扩展呢?数学家们说：不用了。这就是代数里的一个著名的定理代数基本定理。这个定理简单地说就是几次方程有几个根。1742年12月15日瑞士数学家欧拉曾在一封信中明确地做了陈述，后来另一个数学家，德国的高斯在1799年给出了严格的证明。初等代数的内容大体上相当于现代中学设置的代数课程内容，但又不完全相同。不如，严格地说是，数的概念、排列和组合应归入算术的内容；函数是分析数学的内容；不等式的解法有像解方程的方法，但不等式作为一种估算数值的方法，本质上是属于分析数学的范围；坐标法是研究几何的这些都只是历史上形成的一种编排方法。初等代数是算术的继续和推广，初等代数研究的对象是代数式的运算和方程的求解。初等代数学进一步的向两个方面发展，一方面是研究未知数更多的一次方程，另一方面是研究未知数次数更高的高次方程。这时候，代数学已有初等代数向着高等代数的方向发展了。初等代数学是指19世纪上半叶以前的方程理论，主要研究某一方程组是否可解，怎样求出方程所有的根（包括近似根）以及方程的根所具有的各种性质等。代数学可分为初等代数学和抽象代数学两部分。初等代数学是更古老的算术的推广和发展，而抽象代数学则是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进一步讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续向前发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线性方程组的同时还在研究次数更高的一元方程组，发展到这个阶段，就叫做高等代数。高等代数是代数学发展到高级阶段的名称，它包括许多分支，现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数类似的运算特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁琐。集合时具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。向量空间中的运算对象已经不是数，而是向量了，其运算性质也有了很大的不同。代数的应用 产生于实际 服务与实际代数在近代有了巨大的发展，形成了完整的理论体系。尤其是符号的应用，大大简化了代数的形式，为代数的实际应用提供了基础，使得代数知识在实际中的运用更加方便，更加具有可操作性和可读性。到了现代，随着计算机的出现，为进行大量运算提供例了基础，再加上代数中更加先进的计算方法，计算机已经能够为我们干跟多的事情。借助于计算机，代数的在实际生活中的应用已更加广泛。小到单个商品的定价、一块土地的规划，大到天气的模拟天气预报、宏观经济调控模型。可以说代数的应用无处不在，因为一切事物都在发生变化，并遵守量变到质变的规律，而凡是研究量的大小，量的变化，量与量之间关系以及这些关系的变化，就少不了代数知识。所以，宇宙之大，粒子之微，光速之快，世事之繁，。无处不用代数，它已渗透到我们生活的各个领域一 简单的应用一、商品价格问题例1 西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克.为了促销，该经营户决定降价销售.经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？分析：销售数量销售利润固定成本=盈利. 设每千克小型西瓜的售价降低x元,由表中分析得到经营户每天盈利:(3-x-2) (200+40x/0.1)-24,又由经营户每天盈利200元列出方程即可.批发价(元/千克)售价(元)销售利润(元)销售数量(千克)盈利(元)23-0.13-0.1-2200+0.11040(3-0.1-2)(200+0.11040)-2423-0.23-0.2-2200+0.21040(3-0.2-2)(200+0.21040)-24223-x3-x-2200+40x/0.1(3-x-2) (200+40x/0.1)-24解：设应将每千克小型西瓜的售价降低元，根据题意得解之得答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.2元或0.3元.点评：本题考查一元二次方程解应用题及分析问题和解决实际问题的能力，随着市场经济的日益繁荣，市场竞争更是激烈因此，“商品价格问题”还将是人们关注的焦点，还会被搬上中考试卷，让同学们真正体会到数学的宝贵价值二、旅游消费问题例2（2007四川眉山）黄金周长假推动了旅游经济的发展下图是根据国家旅游局提供的近年来历次黄金周旅游收入变化图(1)根据图中提供的信息请你写出两条结论；(2)根据图中数据，求2002年至2004年的“十一”黄金周全国旅游收入平均每年增长的百分率(精确到01)分析：本题主要考查在阅读、理解、读图的基础上用一元二次方程解决实际问题的能力。认真观察变化图从中获取有用的信息是解题的关键。解：（1）历年春节旅游收入低于“五一”和“十一”旅游收入；黄金周旅游收入呈上升趋势。（2）设平均每年增长的百分率为x，则300（1x）2400，解得：1，1（不合题意，舍去），所以，10.155，答：平均每年增长的百分率为15.5%。点评：本题考查通过统计图获取信息的能力及用方程的思想解决实际问题的能力第（2）小题求年平均增长率，因此属增长率问题三、环保资源问题例3（2007安徽省）据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增长率。(取1.41)分析：环境保护是当今社会的一个热点点问题。在解答这类题时应该掌握其基本关系式：结果量（增长率）n基础量解：设我省每年产出的农作物秸杆总量为a，合理利用量的增长率是x，由题意得：30%a（1x）2=60%a，即（1x）2=2x10.41，x22.41(不合题意舍去)。x0.41。即我省每年秸秆合理利用量的增长率约为41%。点评：此例不仅考查了同学们解答实际应用问题的能力，还对同学们发扬节约精神、增强环保意识起到潜移默化的作用希望同学们把近几年中考试题中有关此内容的题目集中研究一下，以备无患。四、设计方案问题例4有一块长16m，宽12m的矩形荒地上要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。你能设计方案吗？解析：设计方案实际上是探索一种解决问题的方法。此方法可能有多种，同时又与实际问题紧密相连，属于开放型问题，因此在解题时要认真审题，分清条件和要求的结论，展开想象，结合实际背景创造和探索更多更好的解决方案。解一：如图1，花园四周是宽度相等的小路。设小路的宽为xm：则整理得：，解得：由于荒地的宽为12m，因此它不是实际问题的解应舍去。取，小路的宽为2 m。 二.存在性问题例2 将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由分析: (1) 设其中一个正方形的边长为xcm,则另一个正方形的边长为.则两正方形的面积表示分别为,运用两个正方形的面积之和等于17 cm2建立方程而求解; (2)同(1) 运用两个正方形的面积之和等于12 cm2建立一元二次方程而求解,计算其判别式判断方程是否有根.解:(1)设这段线路被分成两段后,围成正方形.其中一个正方形的边长为xcm,则另一个正方形的边长为依题意列方程得:解方程得: 因此这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm、16cm.(2)两个正方形的面积之和不可能等于12.解法1:理由: 由(1)可知: ,化简后得:=0.方程无实数解,所以两个正方形的面积之和不可能等于12.解法2:设两个正方形的面积和为y,则:a=20,当,y的最小值=12.512.两个正方形的面积之和不可能等于12.点拨:几何图形问题，一般是从面积(或体积)等方面找相等关系,要整体掌握有关面积(或体积)公式.三.方案选择问题例3 “五一”黄金周期间，某高校几名学生准备外出旅游，有两项支出需提前预算：备用食品费：购买备用食品共花费300元，在出发时，又有两名同学要加入（不再增加备用食品费），因此，先参加的同学平均每人比原来少分摊5元.现在每人需分摊多少元食品费?租车费:现有两种车型可供租用,座数和租车费如下表所示:车型座数租车费(元/辆)A7500B5400请选择最合算的租车方案(仅从租车角度考虑),并说明理由.分析: 根据出发前每人分摊的食品费比出发时每人分摊的食品费多5元设未知数,然后找到出发后人数比出发前人数多2人为等量关系,列方程求解. 由可计算旅游人数为12,可只租A型车2辆,只租B型车2辆,或租A型车 B型车各一辆三种方案,分别求出每种方案的租车费用,从而选择最合算的方案.解: 设现在每人需分摊x元食品费,则原来每人需分摊(x+5)元食品费.依题意的得去分母,整理得解得:经检验都是原方程的根.但不合题意,舍去,所以x=25.答:现在每人需分摊25元食品费.由可计算旅游人数是:30025=12(人).方案一:租两辆A型车,费用是:5002=1000(元).方案二:租两辆B型车,费用是:4003=1200(元).方案三:租一辆A型车,租一辆B型车,费用是:500+400=900(元).所以选择方案三最合算.四.增长率问题例4 某地2004年外贸收入为2.5亿元,2006年收入达到4亿元,若平均每年的增长率为x,则可以列出方程为( )A. B. C. D.分析:每年的增长率相同,2005年的外贸收入为2.5(1+x), 200年的收入为2.5(1+x)(1+x)= .于是得到方程,故选A.点拨:平均增长(或降低)率问题,其基本关系式为其中a是增长(或降低)的基础量,x是平均增长(或降低)率,n是增长(或降低)的次数,b为增长(或降低)后的数量,增长为降低为.例5 小资料：财政预计，三峡工程投资需2039亿元，由静态投资901亿元、贷款利息成本a亿元、物价上涨价差（a360）亿元三部分组成但事实上，因国家调整利率，使贷款利息减少了15.4%；因物价上涨幅度比预测要低，使物价上涨价差减少了18.7%2004年三峡电站发电量为392亿度，预计2006年的发电量为573亿度，这两年的发电量年平均增长率相同若发电量按此幅度增长，到2008年全部机组投入发电时，当年的发电量刚好达到三峡电站设计的最高年发电量从2009年起，拟将三峡电站和葛洲坝电站的发电收益全部用于返还三峡工程投资成本葛洲坝年发电量为270亿度，国家规定电站出售电价为0.25元/度（1）因利息调整和物价上涨幅度因素使三峡工程总投资减少多少亿元？（结果精确到1亿元）（2）请你通过计算预测：大约到哪一年可以收回三峡工程的投资成本？分析: （1）由三峡工程投资=静态投资+贷款利息成本+物价上涨价差,求出贷款利息成本a亿元,把a值代入三峡工程总投资减少资金代数式:15.4a18.7（a360）即可.（2）每年的增长率相同,04年发电量为392亿度,06年达到573亿度,从而求得平均增长率,然后求出2008年的发电量和2009年起三峡电站和葛洲坝电站的年发电总收益,最后求得收回成本的年数来对结果进行预测.解：由题意可知：901a（a360）2039 .解得：a389.三峡工程总投资减少的资金为：15.4a18.7（a360）0.1543890.187（389360）199.969200（亿元）设2004年到2006年这两年的发电量平均增长率为x，则依题意可知：392（1x）2573 .解得：x121，x22.21（应舍去）2008年的发电量（即三峡电站的最高年发电量）：573（121）2839（亿度）2009年起，三峡电站和葛洲坝电站的年发电总收益为：（839270）0.25277.25（亿元）收回三峡电站工程的投资成本大约需要的年数：6.6（年）.到2015年可以收回三峡电站工程的投资成本.一元二次方程应用新题型一、条件探求型例1要建一个面积为150m2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一面墙，墙长为am，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35m（1）求鸡场的长与宽各是多少？