量子无穷多粒子系统.doc

量子无穷多粒子系统的时间不可逆性霍裕平郑州大学物理工程学院，郑州，河南450001摘要：充分多粒子系统随时间演化不可逆性的微观动力学起源是一个长期悬而未决的基本物理问题。本文试图探讨量子无穷多粒子系统(QSINP)演化的时间不可逆性。我们首先建立了QSINP 的力学量集合，定义其间的代数运算，构造了力学量 *-代数R。进而定义QSINP的态矢及其间的线性运算，构造了态矢空间(线性空间)P。P由无穷多个不等价的Hilbert空间构成。本文分析了力学量*-代数R的局域表示(GNS构造)。结果表明，与量子有限格点场不同，QSINP的力学量*-代数R有无穷多个不等价、不可约的GNS构造, 其中每个GNS构造都直接与一个等价纯态矢类集（是P的一个子Hilbert空间）相联系。其次，证明了量子无穷多粒子系统的动力学运动完全限于由初始纯态矢决定的GNS构造中，而时间反演变换则使得体系的初始纯态矢及其动力学演化，从一个GNS构造变换到另一不等价的GNS构造中。因此，在由初纯态矢决定的GNS构造中，QSINP的动力学运动是时间不可逆的。由于刘维算子在GNS构造中的谱连续，可以应用形式散射理论及算子代数方法讨论刘维方程解的长时间渐近行为。得到带有耗散项的Master方程。所得的Master方程形式上与初态，或相应的GNS构造无关，因而也就是在R上描述QSINP运动的算子方程，有可能沿用通常量子多体理论的方法来近似处理。本文还初步讨论了在量子无穷多粒子系统中，时间反演不变自发破缺的物理含义。PACC:关键词：时间不可逆性；*-代数；量子无穷多粒子系统；GNS构造；刘维方程；Master方程1引言充分多粒子系统中时间不可逆性的动力学基础一直是一个悬而未决的问题，也是热力学第二定律的微观起源。一百多年来，人们先后尝试在不同理论的框架下讨论该问题，以期给出答案，如各态历经理论、混性系统的讨论、非线性振子系的混沌轨道、非线性系统的混沌行为等等 1-4，但这些理论都不能够说明为什么所有宏观系统的运动过程都是耗散(时间不可逆)的。为研究所有宏观系统运动的时间不可逆性问题，人们也试图从多粒子系统动力学理论出发，引入特定的“统计假设”，从而得到系统趋向平衡。众所周知，任何有限多粒子系统的动力学方程都满足时间反演不变。仅由某种“假设”或“热力学极限”的引入，就能够使时间可逆的结果变为时间不可逆是难以令人信服的。一些“统计假设”的物理含义也十分不清楚。因而，至今尚无人公开、认真地宣称自己解决了“热力学第二定律的微观基础”问题。另一方面，很多人认为，从无穷多粒子系统出发，直接讨论其动力学的演化行为，可能是解决无穷多粒子系统时间演化过程不可逆性的有效途径。在量子场论中的Haag定理5-7也间接支持了这种推测。藉助于量子场理论或量子多体理论，量子统计物理发展了一套近乎完整的理论框架，其中包括：量子多粒子系统的Fock空间 HF = nH1n ；引入产生和消灭算子；构造HF上的线性算子(力学量)集合；引入刘维方程，dA / dt= -i L A，或时间演化算子exp(-iLt)；格林函数方程链及各种切断近似或在相互作用表象中取部分无穷微扰级数求和等等8。这里H1是单粒子态的Hilbert空间，H1n则是n个粒子的Hilbert空间， L是系统的量子刘维算子，A是有限个粒子的力学量。但是，我们知道，Fock空间包含无穷多个H1的乘积(即可以有无穷多个粒子)，因而它可能不再是Hilbert空间。如何分析非Hilbert空间的结构、如何处理在其上线性算子以及量子刘维算子等，都是当前尚未完全解决的问题。如果坚持在“热力学极限”意义下理解Fock空间，那就只能认为，它仍是Hilbert空间，由此引出的“量子多体理论”也不可能真正解决多粒子系统“守恒律自发破缺”等问题8。从上世纪三十年代开始，人们就试图利用C*-代数理论描述无穷多自由度系统9-10。但由于从一开始就将C*-代数定义成 *-Banach代数，因而仅能用于Hilbert空间上的线性算子集合，只能讨论某些特殊情况，如：无相互作用粒子系统、平衡态统计物理中的KMS态等 9-10。这大概就是C*-代数理论长期不为大多数物理学家所熟知的主要原因。本文在非相对论框架下讨论“量子无穷多粒子系统”（简称QSINP）中时间反演不变性的自发破缺问题。包括以下三部分内容：（1）建立描述量子无穷多粒子系统动力学的代数理论框架。其基本要点是：用无穷空间中的无穷格点点阵上的量子场来描述QSINP；无穷格点量子场的力学量集合可以由在有限多格点上的格点场算子(在每个格点上的产生或消灭算子)作为生成元构造而成；定义力学量之间的代数运算，所有的力学量全体构成 *-代数R 12。我们进而定义QSINP的“全纯态矢” 、“纯态矢” 以及全纯态矢或纯态矢之间的等价关系；定义了态矢间的线性运算，构造态矢空间(线性空间)P。P由无穷多个不等价的Hilbert空间构成。由于粒子数目为无穷，不论在R上或P上都不可能定义“模”或“度规”。可以证明12，由任一全纯态矢出发，可以构造 *-代数R的不可约“表示”N,H (称之为GNS构造)。这里H是Hilbert 空间，N是H上的线性算子集；N与R同构。根据Stone-von Neumann定理11，量子有限多粒子系统的力学量全体构成C*-代数，存在唯一一个不等价不可约表示。而量子无穷多粒子系统所有力学量全体构成的 *-代数R有无穷多个不等价、不可约的GNS构造，这些GNS构造是由不同的、相互不等价的全纯态矢出发所构成。 （2）刘维算子L是R上的线性厄米算子，由于GNS构造中N 与R同构，刘维算子L也是N上的线性厄米算子。刘维方程描述的是N 组元在N中的运动，整个量子无穷多粒子系统的动力学过程完全在由全纯初态矢出发构造的GNS构造中。但的时间反演态矢T将产生另一与 N ,H 不等价的不可约表示 NT ,HT 。因此，动力学运动是时间不可逆的。（3）在一个给定的GNS构造中，时间只能是单向（t0）。刘维算子具有实的连续谱，因而可以用形式散射理论处理刘维方程形式解的长时间渐近行为，从而得到带有耗散项的Master方程。由于GNS构造 N ,H 的时间单向性已反映在Master方程中，Master方程形式上与或 N ,H 无关。因此，通常的量子场论或量子多体理论方法都有可能用于求 Master方程的近似解。2.量子无穷多粒子系统力学量 *-代数R及其表示。以下，我们将讨论非相对论“量子无穷多粒子系统”（简写为“QSINP”）。由于空间任何点上粒子数密度有限，无穷多粒子必然分布在无穷空间中。因此可以认为，任何有限空间范围内没有系统的边界。QSINP应该用分布在无穷空间中复场函数(x)表述, 其中x是三维空间矢量。复的场函数(x)不再是Hilbert空间(非L2函数空间)的组元。(x)应平滑分布在无穷空间中，属于C0函数空间。我们都知道，目前还没有能够讨论无穷空间C0类量子场的数学工具，此外也由于量子粒子不能看成是空间无穷小的点（测不准关系），因此类似于当今量子场理论（QCD理论），应该用无穷空间格点场(I)来描述QSINP。格点I可以用三个整数标记，记作I=i1, i2, i3,，N表示所有无穷格点标记的集合。网格距x应足够小。对无穷格点的玻色场，二次量子化条件是； (I) , * (I) = x3I,I （1） (I) , (I) = 0 （2）格点I上的粒子数密度算子是： N(I) =* (I) (I) （3）(费米场则用反对易关系)。由于不同格点I和I的格点场算子可交换，每个格点都可视为QSINP的一个独立自由度，每个自由度对应一对共轭格点场算子 *(I),(I)。可以将格点I的三个整数指标重组并列成一个正整数序列：Nk,k=0,1,2,.，则QSINP可以看成是一个有可数、可列无穷自由度的体系。由此可以直接建立代数理论。这里我们要强调，用无穷空间中格点场(I)I来表述QSINP是有实际物理意义的，当然在目前也是最好的选择，原因如下：1) 由于要求在无穷空间任一有限区域内的粒子数有限，采用小格点间距的格点场来描述和近似计算QSINP的特性和行为是必要的。2) 从量子场的观点看，粒子也应该有有限的大小。在传统的量子场理论中，如果不取格点场近似，为了消除在动量空间微扰论计算出现的“紫外发散”，往往需要采用正规化手续，切除大动量的贡献。3) 整个问题应满足空间平移不变的要求，不能要求量子场构成“可度量的空间”。至少以小格距为移动单位，格点场是可以满足平移不变要求的。对任一格点I,以格点场算子*(I),(I)作为生成元，可以生成该格点场所有力学量，以及由格点力学量构成的C*-代数R(I)。根据Stone-von Neumann定理11，R(I)只有唯一的不等价、不可约表示 N(I) ,H(I)。这里H(I)是Hilbert空间，其中存在正交完备归一基组：(I,n)n (I)(I,0)= 0, *(I)(I)(I,n)= n(I,n), (I,n),(I,n)= 1, n =0,1,2, （4）H(I)中任一组元，称为格点态矢(I)，都可用(I,n)展开： (I) = n=1 cn(I,n) （5） N(I)是由H(I)上的所有线性算子构造的C*-代数，与R(I)同构。N(I)中还可加入“格点单位算子E（I）”：并有 E（I）E（I）= E（I）；E（I）A（I）= A（I），A（I）e R（I）。根据C*-代数理论，I格点上的“态” (I) 定义为R(I)上的正线性泛函，记为(A(I),(I)| 对所有A(I)R(I) ，并有 (A*(I)A(I),(I) 0 （6）所有R(I)上态(I)构成的态空间PI 是一个凸集，其中的极态(Extreme State) P(I) 是由H(I)中归一的格点态矢(I)所决定：(A(I), P (I)= (I),A(I)(I), (I) e H(I) （7）P (I)就是通常量子力学中的“纯态”。对任何两个格点态矢1(I)、2(I)，总可以在R(I)中(或N(I)中)找到格点算子A12(I)，使得 1(I)= A12(I)2(I) 。 PI中的混合态则是纯态的凸线性组合，可以用密度矩阵表示。在QSINP中，有限个自由度构成子系统的力学量是有限的，是可以计算的,或者说，观测者一次只能改变有限个自由度的力学量。QSINP的力学量集合R应该由所有“有限多自由度子系统力学量集合”构成。由于不同格点的场算子(I),(I)可交换，QSINP的任一力学量AS都可表示为一个无穷“格点力学量”叙列：AS = AA（I）Is，E（I）JsN ，其中只在有限个格点列Is上是非E（I）的“格点力学量A（I）e R(I)”，而在其它无穷多格点列Js上都是“格点单位算子：E（I）”。由于R的不同组元可能在不同的有限格格点列上有非E（I）格点算子，我们必须在R中重新定义加法与乘法。若有两个不同的As，At e R，它们的非E（I）有限格点列分别是Is，It 。若有限格点列Ist是Is与It的和集，Jst是在N中Ist的补无穷格点列。As及At在Ist的格点上仍取其原格点算子(As(I)，At(I)或E(I)，在无穷格点列Jst上都是E(I)。则加法如下定义： As + At = 2( As(I)+ At(I)/2Ist，E(I) Jst；乘法定义为： As At = ( As(I) At(I)Ist，E(I) Jst 。显然，加法及乘法定义都满足通常代数运算的交换律及结合律等要求。 简言之，QSINP力学量都是由有限个格点子集的格点场算子(*(I),(I)代数组合而成，都可表示为无穷格点算子列:AS = A（I）IS，E（I）JSN ，其中只在有限格点列集Is上是非E(I)的格点算子。所有QSINP力学量集合在引入加法及乘法及共轭运算后构成 *-代数R 。但由于QSINP 具有无穷多自由度，在R中无法定义“度规”(不可度量)，因此R并不是类似于有限多粒子系统的C*-代数。借助各格点上的“格点态矢”，我们可以定义QSINP的态矢。N是由所有格点组成的无穷格点列。QSINP的“全纯态矢”r ,是在无穷格点列N上的无穷格点态矢列n(I)N ,其中的每个格点I上的n(I)都是旧一化的格点态矢。若两个全纯态矢r，r1只在有限个格点上的归一化格点态矢不同（其它无穷多格点上的归一化格点态矢都相同），则称r与r1等价。所有与r等价的全纯态矢也彼此相互等价，它们构成全纯态矢r的等价类：Dr 。若无穷格点态矢列rf只在有限个格点上与全纯态矢r有不同的格点态矢（但不一定归一），则称为与r等价的“纯态矢”。两个分别与r等价的纯态矢rf1与rf2也彼此等价。所有与r等价的纯态矢构成集合Hr。Hr包含Dr。Hr中的任一组元rf都是在N上的无穷格点态矢列，并在无穷格点子列Jf上具有与r相同的旧一格点态矢：n(I) Jf，Js在N中只有唯一有限多格点补列：If ，其上的格点态矢可以与r的相应归一格点态矢不同 f(I)If: rf = f(I)If，n(I)JfN 。在与r(或与r相等价的其它的全纯态矢)相联系的Hr中可定义加法。若rf1与rf2是Hr的组元，在有限格点列If1与If2上的分量与r不同，或者可以说在If1与If2的和集If12上的格点态矢“可以”和r的相应分量不同。Jf12是If12在中的无穷补格点集。则有： r =n(I)N ，rf1=f1(I)If12 ，n(I)Jf12N ，rf2 =f2(I)If12 ，n(I)Jf12 N 。定义加法： rf1+rf1= 2(f1(I)+ f2(I)/2If12 ，n(I)Jf12N ，则(rf1+rf1) 仍在Hr中。建立上述线性运算的Hr是线性空间。我们进而应用格点Hilbert空间H(I)中格点态矢的内积定义，可以在Hr中定义纯态矢rf1与rf2的内积：(rf2 , rf1)= (If12(f2(I),f1(I) (Jf12(n(I),n(I) = (If12(f2(I),f1(I) (9)其中(n(I),n(I)=1,If12是有限格点列，(rf2 , rf1)取有限值，满足内积的要求。由此还可在Hr中定义Hr 组元的模： rf12 = (rf1, rf1) =(If1 (1f1(I),f1(I)。 (10)考虑到Hr中任一组元只在有限格点列上的分量与r不同，具有有限内积和模运算的Hr是Hilbert空间。根据C*-代数理论，Hilbert空间Hr上所有线性变换全体Nr 是C*-代数。讨论QSINP力学量*-代数R与Hilbert空间Hr的关系。R的组元: AS = AS（I）IS，E（I）JSN 只在有限多格点列若上有非E(I)的格点力学量，Hr中的纯态矢rf1=f1(I)If1 ，n(I)Jf1N 。若取Isf1是有限格点列Is与If1的和集，Jsf1 是Isf1 在N中的无穷补格点列，则可定义: AS rf1= ASf1(I)Isf1 ，n(I)Jsf1N 。AS作用到rf1上，只在有限多格点列Isf1上的分量才有变化，其它无穷格点列上分量不変，仍与r的相应分量相同。R中任一组元As作用到Hilbert空间Hr中任一组元rf上，结果Asrf仍在Hr中。AS可以看成是Hr上的线性变换：AS e Nr。根据Stone-Van Neumann定理，R与Nr同构。Nr , Hr是R的一个表示。尽管力学量*-代数R整体上不可度量，但可以从一个全纯态矢r出发构造*-代数R的不可约表示，我们称之为与全纯态矢r关联的GNS构造Nr , Hr。这是我们前面建立QSINP代数结构后得到的第一个重要结果。由于得到的表示是与确定的全纯态矢类Dr 联系在一起的，而Dr只是无穷多亇不等价的全纯态矢类中的一个，GNS构造Nr , Hr应该被看成是某种“局域表示”。根据QSINP的全纯态矢定义，两个不等价的全纯态矢r1与r2 应该至少在一个无穷格点列T上有不同的归一格点态矢： r1 =1(I)T ,c(I)PT , r2 =2(I)T , c (I)PT ,PT是T在N中的余格点集（有限或者无限），归一格点态矢1(I)与2(I)不同。考虑两者的内积:(r2 ,r1 )= (TI(2(I),1(I) (PTI(I),(I)。(11)不论PT是有限还是无穷格点列，由于所有(I)都已归一, (PTI (I),(I)=1。在所有无穷格点列T上，r2 ,r1的格点态矢都是独立选取，两个不同归一格点态矢的内积都小于1: (2(I),1(I) 0 (14)(A, xmix)| A e R =Sa fa (A,xfa ),A e R (15)其中a是纯态的标志。显然这样定义的混合态也是R上的正线性泛函。对照传统的量子力学，我们不再关心是否还有其它类型的将“态”，而R上所有的上述纯态及混合态全体，构成QSINP的态空间P。P是凸空间，纯态是P的“极值态”。P是R的对偶空间，但R的每个组元都只由有限个格点列上非E(I)的场算子代数组合而成，而P的每个态 x 都涉及所有无穷多格点上的格点态矢(I)N 。这种不对称性是QSINP的力学量 *-代数R的表示及其结构与有限多粒子系统力学量C*-代数的表示及其结构完全不同的主要原因。尽管QSINP的 *-代数R或其态空间P在整体上无法度量，但由于R的特殊结构，以及由于纯态矢空间Pf包含无穷多个相互正交的Hilbert空间Hrr，亦即无穷多个不等价纯态矢集合，使得在每个Hr上所有线性算子构成的C*-代数Nr都分别与R同构。因此，QSINP的 *-代数R具有无穷多不等价、不可约的表示（GNS构造 Nr,Hr），这些表示分别与不同的全纯态矢类相关联。在与初始全纯态矢r相关联的GNS构造 Nr,Hr中,建立QSINP动力学过程的定量描述是完全有可能的。若纯态 xa 对应的纯态矢 rfa属于GNS构造Nra,Hra的Hilbert空间Hra，我们可以在Nra,Hr a中计算 (rfa, Arfa )，从而得到： ( A, xmix)= Sa fa (rfa, A rfa ) （16）人们可能更感兴趣的是定义在R上的半群gt，这里时间t可取连续实值。为求 (gtA, x mix)= Sa fa( gtA, xa )= Sa fa(rfa, gtArfa ),也必须先由纯态xa出发，得到相应的纯态矢rfa所属的GNS构造 Nra, Hra，然后在其中具体计算 ( gtA, xa ) 。如果gtA的算子运算与具体GNS构造 Nra, Hra无关，则和通常量子统计类似，最终结果是gtA直接对混合态xmix求平均。3 量子无穷多粒子系统的动力学和时间反演变换。这里只考虑具有短程二体相互作用的量子无穷多粒子系统。在QSINP的格点场理论中，格点(I=i1,i2,i3)上的动量密度算子为：P1(I) = i(（*( I)(i1+1,i2,i3 )- (i1-1,i2,i3) +(*(i1+1, i2, i3 )- *(i1-1 i2, i3)( I)）/4x4， （17）动能密度算子为：Ho(I) = j=13（*(I)(ij+2)+(ij-2)-2(I)） +(*(ij+2)+*(ij-2)-2*(I)(I)/8mx5 （18）系统总哈密顿量可形式上写成： H = Ho + H = I Ho (I) x3 + I | J I | 0，不存在与任何可观测过程时间反向的过程。正是在此意义下，在由初始全纯态矢出发构造的GNS构造N,H内,力学规律的时间反演不变律自发破缺，动力学过程不可逆。由于在每个纯态矢 xa 对应的GNS构造 Na ,Ha 中都只有t0时间单向运动，而观测应该是在每个 Na ,Ha 中进行，因此，混合态 xmix = Sa fa xa ,也只能表现出t0时间单向运动。总之，QSINP力学量的 *-代数R有无穷多不等价的、不可约表示：GNS构造。无穷多粒子量子系统力学运动只限于由初始全纯态矢相联系的GNS构造 N,H中，但时间反演变换T却产生由一个GNS构造N,H到另一不等价不可约GNS构造 NT ,HT 过渡，因而在一个GNS构造中，力学运动过程是时间不可逆的。这就是宏观时间不可逆性产生的根本原因。4 局域描述和Master方程。以上给出了QSINP运动的代数框架。和通常量子多体理论不同，不仅*-代数R具有无穷多不等价、不可约表示, 而且系统力学运动完全局限于与初始全纯态矢相关联的GNS构造N,H中，运动是时间不可逆的。在GNS构造N,H中，时间演化算子(22)是个半群，但半群的特性不是由表达式(22)所显示，而是与GNS构造 N,H直接相联系。因此，虽然也有Hilbert空间H和Hilbert空间上的线性算子代数N及通常形式的刘维方程，但还不能应用已发展多年的量子多体理论技巧，来定量讨论无穷多粒子量子系统的运动。必须将时间不可逆性直接包含到时间演化算子T(t)的计算中，给出半群的显式。为了论证量子多粒子系统为何趋向平衡，Van Hove13,14及Prigogine等15-17从传统的量子多体理论(量子多体刘维方程及Fock空间)出发，对预先确定的时间正向，讨论并得到了刘维方程形式解的长时间渐近表述式。在假设刘维算子具有连续谱后，得到了显含耗散算子的量子Master方程。但是在Fock空间中的刘维方程是时间可逆的，应该不能仅在一个时间方向上取长时间渐近解。更重要的是，量子有限粒子系统刘维算子的谱是分立的，不能应用形式散射理论的计算方法，也就无法得到带有耗散项的半群生成元。因此，这些作者都承认，他们并未完全解决宏观系统趋向平衡问题。前面已指出，对QSINP，在由其全纯初始态矢出发构造的GNS构造N,H中，力学运动是时间不可逆的，可以考虑取刘维方程时间单向(t0)的长时间渐近解。此外，根据Hilbert空间算子谱理论，定义在N上刘维算子的谱在复平面实轴上连续。因此，我们可以合理地应用形式散射理论方法来处理GNS构造N,H中的刘维方程。 在由量子气体全纯态矢生成的GNS构造 N,Hp 中,体系的哈密顿量仍可以形式上写成： H = Ho + H= i (Hoi + jVij ) (19) 其中i对所有格点求和。对固定i， Vij 中j只取i附近有限个值。H，Ho 及 H 都不属于C*-代数N，但对i形式求和中每一项仍可以看成是N中的组元。由前面讨论可知，L仍是N上的厄米算子,刘维方程在GNS构造 N,Hp 中的时间演化算子T(t) 仍可形式上由发散级数定义并由公式（23）给出: T(t) = k=0 (-iLt)k /k!) = Exp(-iLt) 。 (23)其中对k求和中的每一项仍是N上的变换。在上述发散级数无穷求和的意义下可引入预解式： R(z) = 1/(z-L) (24)其中z是复变量。由于L的谱都在实轴上，而在 N , Hp 中，只有t 0的时间正向，则有: T(t) = C+i0 Exp(-izt) R(z)dz (25) 其中回路C+i0由图1所示。 图1 积分回路。这里积分回路沿着实轴上方和下半复平面无穷远处。如果将QSINP更一般地看成是是无穷自由度系统，尽管刘维方程描述了所有这些自由度的运动，但实际上可计算的只能是少数几个自由度在其它无穷多自由度影响下的运动。 这些少数自由度往往都与宏观可观测量相联系，并构成R中的子空间RS 。引入在N上的投影算子P : P2 =P , Q =1-P , Q2 = Q ,及 A = PA + QA, A R(或 N),其中P将R中的任一组元投影到RS中，Q是将R投影到RS的补空间。在R（或N）上的算子都可以分解成四部分：L = PLP + PLQ + QLP + QLQ ,T(t)= P T(t) P + P T(t)Q + Q T(t)P + Q T(t)Q , R(z)= P R(z)P + P R(z)Q + Q R(z)P + Q R(z)Q 。由方程（25）,得到: PR(z)P = (1/(z - PLP - E(z)P (26)其中， E(z) = PLQ( 1/(z-QLQ) )QLP (27)E(z)可以看成是PR(z)P中由于相互作用PLQ、QLP 所引起的“类自能修正” 。由于T(t)及R(z)的表达式中只含有唯一的厄米算子L，因此，可以将(29)式中被积函数分母中的L看成是算子L在实轴上的本征值集。量子有限多粒子系统只占有有限的空间，刘维算子L的谱完全分立。但对无穷多粒子系统，根据泛函分析的谱理论，由于算子发散级数 (r-L)-1对任一非零实数r无界，则刘维算子L谱完全连续，在复平面实轴上分别延伸至正、负无穷，以原点z=0为分支点。因此，图1中的实轴，除z=0外，是复平面上被积函数的割线。应用通常的复变函数理论，(29)式中回路积分的结果是第二黎曼面下半平面所有奇点残数的贡献。第二黎曼面下半平面的极点由下列方程式确定：z - PLP - E(z) = 0 (28)如果我们只关心QSINP宏观时间尺度的运动，则要考虑的是T(t), t0 的长时间渐近行为。因而只需要计及第二黎曼面下半面最靠近原点z=0的极点 z0 = PLP + E(z0 )的贡献。在弱耦合情况下，极点近似可写成： z0= PLP+E(PLP-i0)= PLP+PLQ(-i0-(QLQ)-1QLP (29)而P部分的时间演化算子则为： TP (t)= PT(t)P = Exp( -iz0 t) (30)至此，(29)、(30)都是定义在N 上的算子，而N则是由初始全纯态矢出发构造的Hilbert空间H上的线性算子集。但由于各不等价的GNS构造中的N都与R同构，如果采用Heisenberg 表象，则在算子运算过程中，刘维算子L及投影算子P和Q都可以看成是定义在R上的算子，时间演化算子(29)与(30)形式上也都与全纯初始态矢及相应的GNS构造 N,Hp 无关。在以下算子代数的运算中，(29)与(30)可以直接就是R上的时间演化算子。只是在最后要求数值估算时，才需实际回到与初始全纯态矢相联系的GNS构造 N,Hp 中。以上讨论使得我们可以实际具体计算QSINP的时间不可逆性。对有限多粒子系统，L的谱是分布在实轴上可列可数的点谱，不论点谱多密，积分回路不能解析开拓到第二黎曼面中去，必须计算这无穷多个点谱上的残数贡献。这当然和求解完整刘维方程是同等复杂的。对QSINP， L定义在N上，预解式由发散级数(25)定义, 因而对实的非零z值无界。根据Hilbert空间谱理论，L的谱在实轴上连续，以零为分支点。由于GNS构造N,H中的时间单向性已反映在复变积分(26)中取积分迥路是C+i0。因此，需要计算的只是预解式在第二黎曼面下半平面上极点的贡献。这些极点在实轴以下，描述了体系的耗散性。存在“耗散”过程的所谓“耗散条件” 应该是： z0 = PLP+PLQ(-i0-(QLQ)-1QLP （31）存在非正定的虚部。对于具有短程二体作用的无穷多粒子量子系统，可以把z0 表示为x-i，其中x与都是厄米算子： x = PLP+PLQ P (1/(QLQ)QLP (32) = PLQ d(QLQ)QLP (33)这里P 表示积分取主值， d(QLQ)显示算子QLQ过程前后能量守恒。由(30)、(32)、(33)可以得到时间演化算子： TP (t)= PT(t)P = Exp( -ixt-t) (34)Tp(t),t0是一个半群。厄米算子x 描述宏观自由度的运动，可以统称为色散算子。容易看出，厄米算子是一个非负算子，若其存在零本征值，则相应本征矢对应于平衡态。算子描述了趋向平衡过程。（34）式还可改写成Master方程： dTP(t)/dt = (-ix-)TP(t) (35)需要强调的是，(35)式是在力学量 *-代数R上的算子方程，已经与初态无关。投影算子P的选择是与所需讨论QSINP的宏观行为相联系的。例如要讨论气体的热导，P应该与热流算子相关。由于只有很少几个宏观描述参数（与微观自由度相比），适当的不同P的选择只会带来较小的不同。这种可能性正好显示了无穷多自由度系统的宏观描述与微观描述的不同特点。5 总结1) 有两种不同的途径来讨论充分多粒子量子系统的运动。在传统的量子多体理论中，人们总是先讨论有限个粒子的运动，再取总粒子数趋向无穷的极限(热力学极限)。这种讨论过程可以压缩表达在Fock空间理论框架内。在上世纪三十年代，为了讨论无穷多粒子量子系统的动力学问题，发展了C*-代数理论。本文直接从无穷多粒子体系出发，研究有限个粒子在其它无穷多粒子背景影响下的运动。有限个粒子可以是充分多，但在其外始终存在无穷多粒子的背景，这是与以往“热力学极限”的根本不同处。可以说，正是由于“无穷多粒子背景”的存在，动力学手段无法实现整个系统的“时间反演”。本文理论的宏观观测者始终处于体系的内部，无法直接了解系统“边界”的状态（这就是系统无穷大的含义），只能求得系统的局部强度量（如局部温度、压力、热导率等等）的变化。2) 严格讲，只有有限系统才能作定量描述。无穷多粒子量子系统作为一个整体是不能度量的。因此，本文引入量子无穷多粒子系统的力学量代数R只能是 *-代数。由于R中的每个组元都只涉及有限多个自由度，则以前发展起的C*-代数中的GNS构造理论，自然就有可能成为无穷大体系与局部有限体系描述之间的桥梁。这里的局部并不表示一个有限空间孤立的子系统，而是指态空间P中的局部（或者说，是不同“外部状态类”中择其一）。照此思路，在由量子气体初态出发构造的GNS构造中，时间反演对称的自发破缺就比较容易理解了。3)本文发展了直接处理无穷多粒子量子系统动力学问题的途径。并成功地建立了最简单的无穷多粒子量子系统微观动力学描述与宏观演变过程描述之间的联系。参考文献 1 P. Ehrenfest and T. Ehrenfest, The Conceptual Foundation of the Statistical Approach to Mechanic (Cornell University Press, Ithaca, New York, 1959).2 J. R. Dorfman, An Intr