2012届高考复习：圆锥曲线焦点三角形与对称问题.doc

圆锥曲线与方程题型归纳小结一、焦点三角形问题【例1】 已知双曲线的焦点在轴上，离心率为2，为左右焦点， P是双曲线上一点，且 ，求双曲线的标准方程.【解析】设双曲线方程为 令，在中，由余弦定理，所以，双曲线标准方程为.【评析】（1）由两焦点和曲线上一点形成，我们把这种三角形叫焦点三角形. 焦点三角形问题的主要类型有：周长、面积、角度等，通常会用到圆锥曲线的定义、正弦定理、余弦定理、面积公式等.（2）焦点三角形的面积主要有两种求法：；（3）涉及到焦点、顶点、曲线上点（顶点以外）等问题，抓住几个特征三角形，举一反三.这是一个考察重点，容易出现离心率的值（或范围）的运算.【变式1】（复习参考题B组第1题）已知点P是椭圆上一点，且在轴上方，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF2的斜率为，求的面积.【解析】椭圆即，所以右焦点直线PF2为，代入椭圆方程，消去得因为，所以，即点的纵坐标，所以.三、中点弦问题（对称问题）【例1】已知双曲线方程.(1) 求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程；(2) 过点B(1,1)能否作直线，使与所给双曲线交于Q1、Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由【解析】(1)即设的中点弦两端点为，则有关系又据对称性知，所以是中点弦所在直线的斜率，由、在双曲线上，则有关系两式相减是： 所求中点弦所在直线为，即（法二）当直线斜率不存在时，A不是弦的中点；设直线斜率为，则直线方程为，代入曲线方程，得，（*）设的中点弦两端点为，则所以，.代入（*）式，知，所以，所求中点弦所在直线为，即(2)可假定直线存在，而求出的方程为，即方法同(1)，联立方程，消去y,得然而方程的判别式，无实根，因此直线与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线不存在【评析】（1）通过将弦端点的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减这里，代点相减后，适当变形，出现弦的斜率和中点坐标，是实现设而不求（即点差法）的关键两种解法都要用到“设而不求”，它对简化运算的作用明显，用“点差法”解决弦中点问题更简洁.（2）实际上，若给的定点P在椭圆内或抛物线内、双曲线内（含焦点的区域），则，即一定存在以P为中点的弦；若定点P在双曲线外，则有可能不存在以P为中点的弦.【变式1】在抛物线上恒有两点关于直线对称，求的取值范围【解析】解法一：设、关于直线对称，直线方程为，代入得，设、，中点，则 点在直线上，代入，得，即解得解法二：设，关于对称，中点，则相减得：，则 在抛物线内部，化简而得，即，解得【变式2】已知椭圆方程为，试确定实数的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称。 解法一：设、是椭圆上关于直线对称的相异的两点，中点为。则有由点差法得，所以，点坐标为。而是中点，点在椭圆内部。解得。解法二：该 问题等价于存在直线，使得这直线与椭圆有两个不同的交点、，线段的中点落在直线上。由消去得直线与椭圆有两个不同交点。 由韦达定理得：，。故中点为 又在直线上， 由知【例2】在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，-3）为的直角顶点，已知，且点B的纵坐标大于零.（1） 求向量的坐标；（2）求圆关于直线OB对称的圆的方程；（3）是否存在实数a，使抛物线上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求a的取值范围.【解析】（1）设，则由，得.解得，或.，得，故.（2）由，得B（10，5），于是直线OB的方程为.由题设可知圆的标准方程为，所以圆心（3，-1），半径为.设圆心（3，-1）关于直线OB的对称点为（x，y），则，解得.故所求圆的方程为.（3）设为抛物线上关于直线OB对称的两点，则：，整理得：，即为方程的两个相异实根.于是由，得.故当时，抛物线上总有关于直线OB对称的两点.【点拨】关于直线的对称圆的半径不变，只有圆心不同，所以欲求对称圆方程，只需求其圆心，即已知圆圆心的关于直线的对称点即可；若曲线上存在关于直线OB的对称两点，则该两点的连线与曲线有两相异交点，即判别式大于零，由此即可求出a的取值范围.【变式】已知直线l过定点A(4,0)且与抛物线交于P、Q两点，若以PQ为直径的圆恒过原点O，则p的值等于_.【解析】2.【总结提升】1.设而不求的应用“设而不求”是解决直线和圆锥曲线位置关系的主要手段，代数结构恒等变形与转化能力，驾驭方程组的基本能力.设直线，圆锥曲线C：， 联立 ，消去，总可以整理得到关于的一元二次方程： 其判别式（1）位置关系的判定 与C相离；与C相交；与C相切（2）弦长问题 设与C相交于 A（），B（），直线的斜率为，则弦长|AB|=这里必须注意隐藏了条件“”及韦达定理（3）中点问题 设与C相交于A（），B（），线段AB的中点为C那么（4）解析几何问题中的向量结构注意两个应用方向,一是利用向量的几何性（中点、定比分点等），二是将想了结构坐标化（即将向量方程转化为代数方程组、将向量不等式转化为代数不