椭圆--02教.doc

考点一：椭圆的定义考点二：椭圆的标准方程考点三椭圆的几何性质例(1)如果椭圆的离心率是，那么实数k的值为_(2)椭圆(ab0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆M，若过点P所作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为_ 思路 (1)分椭圆的焦点在x轴或在y轴两种情况讨论(2)通过相切关系和几何图形得出a、c之间的关系 解析 (1)当焦点在x轴上时，a2k80，b29，所以c2a2b2k10，所以k1，且e，解得k4；当焦点在y轴上时，a29，b2k80，c2a2b21k0，所以8kb0)，A(2,0)为长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且0，|2|，则其短轴长为()A. B. C. D.(2)2012葫芦岛联考 设斜率为的直线l与椭圆(ab0)交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.解析 (1)依题意知，B、C关于原点对称，ACBC，且|BC|2|AC|，而|BC|2|OC|，所以|OC|AC|，所以点C在线段OA的中垂线上又因为ACBC，所以AOC是等腰直角三角形，结合A(2,0)，于是得点C坐标为(1,1)或(1，1)设椭圆方程为1(b0)，将点C坐标代入，求得b，所以2b.故选B.(2) 依题意知，直线l过原点，所以直线l的方程为yx，当xc时，yc，所以点在椭圆1(ab0)上，所以1，考虑a2b2c2，e，可得2e45e220，解得e22(舍去)或e2，所以e.考点四 椭圆的综合问题例. 已知点P(3, 4)是椭圆1 (ab0) 上的一点，F1、F2是它的两焦点，若PF1PF2，求：(1) 椭圆的方程；(2) PF1F2的面积解：（1）法一：令F1(C，0)，F2(C，0) PF1PF2， 1即，解得c5 椭圆的方程为 点P（3，4）在椭圆上， 解得a245或a25 又ac， a25舍去.故所求椭圆的方程为.法二：利用PF1F2是直角三角形，求得c5(以下同方法一)（2）由焦半径公式：| PF1 |aex334| PF2 |aex332 | PF1 | PF2 |4220变式题 2011安庆三模 如图，已知椭圆M：(ab0)的左、右焦点分别为F1(2,0)、F2(2,0)，在椭圆M中有一内接ABC，其顶点C的坐标为(，1)，AB所在直线的斜率为.(1)求椭圆M的方程；(2)当ABC的面积最大时，求直线AB的方程思路 (1)利用椭圆定义求出a，于是可以求出b；(2)设出直线AB的方程，代入椭圆方程，利用根与系数的关系和弦长公式求出|AB|，再求出点C到直线AB的距离，于是可求出面积的表达式，再利用不等式求最值(1)由椭圆的定义知2a.解得a26，所以b2a2c22.所以椭圆M的方程为1.(2)由题意设直线AB的方程为yxm，由得2x22mx3m260.因为直线AB与椭圆M交于不同的两点A，B，且点C不在直线AB上，所以解得2m2，且m0.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x2m，x1x2，y1x1m，y2x2m.所以|AB|2，点C(，1)到直线yxm的距离d.于是ABC的面积S|AB|d|m|，当且仅当|m|，即m时，“”成立所以m时，ABC的面积最大，此时直线AB的方程为yx，即xy0.点评 本题以椭圆为载体，考查了椭圆的定义和标准方程，直线与椭圆的位置关系，涉及函数与方程思想以及不等式求最值的方法与椭圆有关的综合问题，常涉及以下几点：椭圆与直线的位置关系，解决方法是方程与函数思想；与解三角形相联系，解决方法是使用三角函数的相关性质和方法；最值问题，使用函数方法或不等式法求最值例 已知椭圆方程，长轴端点为，焦点为，是椭圆上一点，求：的面积（用、表示）分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限由余弦定理知： 由椭圆定义知： ，则得 故 五 规律总结 方法提炼1求椭圆的标准方程主要有定义法、待定系数法，有时还可以根据条件用代入法2有关椭圆范围的不等式axa、byb，在求一些量的范围或最值时，是不可忽略的前提条件3求椭圆的离心率，应将e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式，从而求得e的值或取值范围a、b、c、e的关系：e21，从而.4如图所示的椭圆包含了椭圆的定义和简单几何性质：例如：ecosOF1B2；|OB2|2|OF2|2|B2F2|2，即b2c2a2.例8 已知椭圆及直线（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程解：（1）把直线方程代入椭圆方程得 ，即，解得（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，由（1）得，根据弦长公式得 ：解得方程为说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程1 若ABC的两个顶点坐标分别为A(4,0)、B(4,0)，ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程。1 (y0)2 已知椭圆1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m_8_3 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若ABF2是等腰直角三角形，求这个椭圆的离心率14 已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值解：方程变形为因为焦点在轴上，所以，解得又，所以，适合故5 已知椭圆的中心在原点，且经过点，求椭圆的标准方程分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况根据题设条件，运用待定系数法，求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程解：当焦点在轴上时，设其方程为由椭圆过点，知又，代入得，故椭圆的方程为当焦点在轴上时，设其方程为由椭圆过点，知又，联立解得，故椭圆的方程为6 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程解：设两焦点为、，且，从椭圆定义知即从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，可求出，从而所求椭圆方程为或7 F是椭圆的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。（1）的最小值为 （2）的最小值为 分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径或准线作出来考虑问题。解：（1）4- 设另一焦点为，则(-1,0)连A,P 当P是A的延长线与椭圆的交点时, 取得最小值为4-。（2）作出右准线l，作PHl交于H，因a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e=，当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为8. 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解（2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程解： （1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点因，有，故其方程为（2）设，则 由题意有代入，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）例6、已知椭圆过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、B、C、D、设f(m)=,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统”，A在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x轴上，立即可得防 此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。解：（1）椭圆中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点F1(-1,0)则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-（2）当m=5时， 当m=2时，点评：此题因最终需求，而BC斜率已知为1，故可也用“点差法”设BC中点为M(x0,y0),通过将B、C坐标代入作差，得，将y0=x0+1，k=1代入得，可见当然，解本题的关键在于对的认识，通过线段在x轴的“投影”发现是解此题的要点。4 已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程 分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解：设弦两端点分别为，线