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8 Sylow定理引言由Lagrange定理知道，有限群G的任意一个子群H的阶|H|，一定是群G的阶|G|的因数.但是对一般有限群G来说，对|G|的任一个因数m，G未必有m阶子群.例如，n次交错群An（n5），An不含阶子群，否则An将有一个指数为2的子群，从而含有一个正规子群.这与An是单矛盾.第6节，定理3指出，有限群G的阶|G|的每个素因数p，G必有p阶子群.定义1 设G是一个有限群，其阶|G|=psm，其中p是素数，s是非负整数，(p,m)=1，则称G的ps阶子群为G的一个Sylow p子群.Sylow p子群简称Sylow子群.例如，三次对称群S3的阶|S3|=23，当p2，3时，S3的Sylow p子群就是S3的p0=1阶子群，即（1）.S3的Sylow 2子群（p=2）有3个，它们分别为H1=(1)，(12)，H2=(1)，(13)，H3=(1)，(23).S3的Sylow 3子群（p=3）只有一个H4=(1)，(123)，(132).定义2 设H和K为群G（不一定有限）的两个子群，对，则称子群为群G关于子群H，K的一个重陪集.简称HxH为G关于子群H的一个重陪集.引理1 对群G的任两个重陪集HxK和HyK，若，则HxK=HyK.证明 因为HxKHyK，所以存在设,.于是，所以对，则.因此，.由就得到,类似地可以证明.所以，.证毕.引理1说明，G关于子群H，K的任意两个重陪集和，要么，要么.令，对，显然，所以.又因为，.因此G的子集族A是G的一个划分.也就是说，给出群G的两个子群H和K，就可以把G做一个重陪集分解，其中由于，所以重陪集HxK是一切形如Hxk的H右陪集之并，同时也是一切形如hxK的K的左陪集之并. 因此, 群G的重陪集分解, 实际上是G的普通左陪集或右陪集的分解接某种方式的重组.引理2 在群G的重陪集HxK中, 含H的右陪集的个数等于(K:Kx-1Hx); 含K的左陪集的个数等于(H:HxKx-1).证明 令,做集合S到集合T之间的对应法则如下:对注意到,因此,=,所以是映射,而是单射.对,使得,所以是满射.因此是双射, 所以|S|=|T|, 即HxK中H的右陪集数|S|,等于子群在群K中的指数.同理可证HxK中子群K的左陪集数等于().定理1 (第一Sylow定理存在性和包含性定理)设G是有限群,|G|=psm, 其中p是素数,s是正整数,(p,m)=1,则对G的每个阶子群,总存在G的pi+1阶子群K,使HK.证明 先设G有pi阶子群，并设G关于子群H的重陪集分解为.设H在HxjH的右陪集有tj个，则由引理2知，,.因为|H|=pi,所以由Lagrange定理得，因此.由式还有,.,因为所以，由，就有，而，即 .反之，若，则，从而，所以，因此，即.因此，于是中的个数，就是含在N(H)中的个数.因为对于，由于G，则HH=H，所以若,这就是说，若，则.但由，所以含在N（H）中的个数等于集合中元素的个数，而，因此中值等于1的个数为.由Lagrange定理得，从而，所以，由式知（G：H）=（N（H）：H）+，其中，h.因此，注意到，因此，故.由第6节教材105页的定理可知，商群N(H)/H中有p阶子群K/H，其中HK，而|K|=|K/H|H|=ppi=pi+1由于群G中阶子群总存在，从而由上述证明过程知阶子群总存在，而且其中的pi阶子群是pi+1阶子群的正规子群.特别地，其中有ps阶子群，即G存在Sylow P子群，证毕.推论1 有限群G的每个p子群都包含在G的某个Sylow p子群中.定理2 （第二Sylow 定理共轭性定理）设G是有限群，p是素数，若p|G|，则G的所有Sylow p子群恰好是G的一个共轭子群类.证明 令|G|=Psm，(p,m)=1，设H和K是G的任意两个Sylow p子群，则|H|=|K|=ps.令G关于子群H和K的重陪分解为设重陪集HxiK中含H的右陪集个数为ti，则由本节引理2知，.于是,.由于知，p不能整除(G:H).又因为，所以.因此，每个都是p的非负整数的方幂，因为p不能整除(G:H)，所以由式知，至少存在一个使p不能整除 ，否则将有 p| (G:H)，所以=1.由=1有1=，从而，所以，注意到，所以，故K和H共轭，因此，G的全体Sylow p子群恰好是G的一个共轭子群类.证毕.推论2 有限群G若只有一个Sylow p子群，则该子群必是G的正规子群.证明 设H是G的Sylow p子群，对也是G的一个Sylow p群，由题设G.证毕.定理3 （第三Sylow 定理计数定理）设G是有限群，|G|=psm，p是素数，(p,m)=1,若G的Sylow p子群共有k个，则k|G|，且k=1(mod p)证明 设H是群G的一个Sylow p子群，由第二Sylow 定理知，G中的每一个Sylow p子群都与H共轭，由6教材第105页推论已知，G中与H共轭的子群共有（G:N（H）个，所以k=(G:N(H).由Lagrange定理可知，|G|=|N(H)|(G：N(H)，所以k|G|.设G的子群H的重陪集分解为由这一节的引理2知道，中含子群H的右陪集数.于是,.由定理1的证明过程知道：中共有个1，其余的都是p的正整数方幂.于是由式知道,.由于，所以,由式和式得p|（k-1）.（N（H）：H）,.因为，所以p不能整除(G：H)，从由式知道p不能整除(N(H)：H).所以再由式知P |（k-1），即.证毕.定理4 设G是有限群，|G|=pq，其中p，q是互异的素数，且p不能整除（q-1），q 不能整除（p-1），则G是一个循环群.证明 设G中共有k个Sylow p子群，则由第三Sylow 定理知，k | pq，且p| (k-1)，所以（k ，p）=1.于是k | q，由q是素数，故k=1或k=q，因为p不能整除 (q-1)，p | (k-1).所以，因此k=1，即G只有一个Sylow p子群，设它为P，则.同理，G只有一个Sylow q子群Q，且QG.由于|P|=p，|Q|=q，且p和q都是素数，从而P和Q都循环群.设P=，Q=，因为PQP，PQQ，由Sylow 定理知，|PQ|p，|PQ | q ，所以 |PQ|（p，q），因此|PQ|=1，故PQ=e，所以ab=ba，因此 |ab|=|a| |b|=pq，故G=，即G为由ab生成的循环群.证毕.例 200阶群都不是单群.证明 设G是任意一个200阶群，由| G |=200=2352，令G共有k个Sylow 5子群，则k | 2352，且5 | (k-1).而k| 23，于是k=1.所以G的这个Sylow 5子群是G的一个25阶正规子群.因此G不是单群.证毕.定理5 设G是有限群，且|G|=为标准分解式，则G是其Sylow pi子群的内直积的充要条件是，每个Pi都是G的正规子群.证明 必要性 若G是其Sylow pi子群Pi（i=1,2,m）的内直积，即，依内直积的定义，.充分性，若G的每个Sylow pi子群pi都是G的正规子群，.因为，所以G.又因，由Lagrange定理知，且，故，从而.于是=.所以G=P1P2Pm.对，从而，其中因为，且，所以|x|，从而由于故|x|=1，即x=e，所以，因此.推论3 任何有限交换群都是其所有Sylow子群的内直积.证明 设G是任一个n阶（n2）有限交换群.并设n的标准素因数分解为|G|=n= |，由第一Sylow定理知道，G有Sylow pi子群Pi，.因为G是交换群，所以PiG，由定理5知，G是P1，P2，Pm的内直积，