华南理工大学数学分析试题集锦(2001-2012年).pdf

325325 华南理工大学 2004 年攻读硕士学位研究生入学考试试卷 试卷上做答无效 请在答题纸上做答 试后本卷必须与答题纸一同交回 科目名称 数学分析 适用专业 计算数学 应用数学 运筹学与控制论 共 页 第 1 页 本试卷满分 150 分 1 10 分 求极限 xx xex x xsintan 2cos2 lim 2 0 2 10分 设 x y yxarctan ln 2 1 22 求 2 2 d d x y 3 10分 设1 1 ax 2 1 1 1 L n x xa x n n n 试证 n x收敛 并求 n x x lim 4 10分 设C为单位圆周 逆时针为正向 求 C yx yxyxxy 22 9 d d 9 5 10分 求 n n x nn n 1 1 2 的收敛区间 并求级数的和 6 10分 设S为单位球面的上半部分 外侧为正向 计算 S yxzxzyzyxdddddd 222 7 15分 令 0 0 0 0 0 22 3 yx yx x yx yxf 是 yx平面上的 任一单位向量 1 求 yxf在 0 0 沿 的方向导数 第 2 页 2 试讨论 yxf在 0 0 处的连续性和可微性 8 15分 设 xf连续 x tttxfxy 0 d sin 试证 xy满足 0 0 0 yyxfyy 9 15分 设 xf在 1 1 上三次可微 0 0 0 1 fff 1 1 f 试证 1 1 x 使3 3 xf 10 15分 试讨论无穷级数 1 2 1 1 n xn xf在 0 上的一致收敛 性 以及 xf在 0 上的有界性 11 15分 设0 xf在 上 连 续 1d xxf 1 x fxf 试证明 对每个有界连续函数 x 有 0 d lim 0 xxfx 12 13 任选一题做 12 15分 证明 4 12 1 2 d 1 1 ln 2 1 2 1 0 n n x x x x 13 15分 设 thtgtf为 0 上连续非负函数 满足 0 0 tdsshsgtftg t 0 tf 0 6 10 X n 1 sin 1 3n 1 3nxn 7 10 x y z ln 2 x0 y0 z0 x0 0 y0 0 z0 0 3 1 8 10 Z C ydx x 1 dy x 1 2 y2 C x2 y2 3 9 10 I Z Z P ds q x2 y h 2 z2 X x2 y2 z2 R2 R 6 h 0 10 15 w x y z 1 xyz 11 15 f x lim x f x f x 12 15 f x a b Fn x n 2 f x 1 n f x 1 n x a b n 1 2 Fn x a b 13 15 u x y v x y w xy z zxx 2zxy zyy 0 w w u v 2 625 华南理工大学 2008 年攻读硕士学位研究生入学考试试卷 请在答题纸上做答 试卷上做答无效 试后本卷必须与答题纸一同交回 科目名称 数学分析 适用专业 基础数学 计算数学 概率论与数理统计 应用数学 运筹学与控制论 共 3 页 第 1 页 一 求解下列各题 每小题 10 分 共 60 分 1 若0lim ax ax n n n 证明 axn n lim 2 设 为无理数当 为有理数当 x xx xf 0 cos 证明在点 xf 2 1 kxk 为任意整数 连续 而在其它点不连 续 k 3 若函数 2 1 1 2 afaf af afxf af afxf x 求 a 及 a 4 证明函数项级数在上绝对收敛且一致收 1 1 1 xx n n n 1 0 敛 但不绝对一致收敛 5 设 为自然数 在区间n 0上定义函数 第 2 页 2 sin2 2 12 sin x xn xDn 计算 dxxDn 0 6 计算曲面 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b y a x c z b y a x 所围成的体积 二 15 分 计算极限 222 sin1 2 sin 2 1sin 1 1lim n n n n nnnn n L 三 15 分 计算 C y dyxxxydxxyxx yx e Icossincossin 22 其中取逆时针方向 1 22 yxC 四 15 分 计算 S dxdy zhdzdxygdydzxf S Shgf为连续函数其中 为平行六面体 czbyax 0 0 0 的边界 指向外侧 五 15 分 讨论广义积分 0 0 sin sin pdx xx x p 第 3 页 的敛散性 对于收敛情况判别在何种情况是条件或绝对收敛 六 15 分 设为闭区间 xf ba 上的连续函数 且满足下列条 件 b a k nkdxxfx 2 1 0 0 L 用数学归纳法证明在内至少有 xf ba1 n个不同的零点 七 15 分 设常数满足 且线性变换 CBA 0 2 BAC yxyx 21 把方程 02 2 22 2 2 y u C yx u B x u A 变换为方程 0 2 u 证明 21 为方程的两个不同实根 02 2 ABC 625 2009 2 1 10 f x a bx a bx x x a f 0 2 10 0 x y xsinx 2cosx x 3 10 x 0 y 0 f x y x2y 4 x y 4 10 f x Rx 0 du Ru2 0 arctan 1 t dt x 1 cosx lim x 0 f x 5 10 I c xdy ydx c x 2y 2 3x 2y 2 1 6 10 ZZ S x y dxdy x y z dydz S x2 y2 1 z 0 z 3 7 15 f x sin x f x 0 1 远程教育网 w w w 1 9 p i n g c o m v 5 美眉社区 w w w v 5 m m c o m 8 15 I ZZ D min x2y 2 dxdy D x y 0 x 4 0 y 3 9 15 I y Z 0 e x 2 sin2xy dx 10 15 f x y xy2 x2 y2 x2 y26 0 0 x2 y2 0 i f x y ii fx fy iii f x y 11 15 x0 6 xn 1 6 x n n 0 1 2 P n 0 3 x n 12 15 f x i lim x f x 0 f x 0 ii lim x f x 0 f x 0 2 远程教育网 w w w 1 9 p i n g c o m v 5 美眉社区 w w w v 5 m m c o m 625 华南理工大学 2010 年攻读硕士学位研究生入学考试试卷 请在答题纸上做答 试卷上做答无效 试后本卷必须与答题纸一同交回 科目名称 数学分析 适用专业 基础数学 计算数学 概率论与数理统计 应用数学 运筹学与控制论 共 3 页 第 1 页 一 求解下列各题 每小题 10 分 共 60 分 1 确定 与 使 0243lim 2 nnn n 2 讨论函数在 xgxf0 x处的可导性 其中 为有理数 为无理数 xx xx xf 和 为有理数 为无理数 xx xx xg 2 2 3 已知在 xf 0上连续 且满足 0 0 xxxf 设 L 2 1 0 11 nafaa nn 证明 1 收敛 n a 2 若lan n lim 则llf 4 判断下面级数的收敛性 0 1 1 1 1 2 x xxx x n n n L 5 讨论函数 yy yexeyxf cos 1 的极大值和极小值 第 2 页 6 计算 S dxdyzdzdxydydzx 333 32 其中为球面 S 2222 azyx 的外侧 二 15 分 设p为正常数 函数 证明 cos p xxf 当10 abdx x ee bxax 四 15 分 令 0 0 0 1ln x x x xy yxf 证明 在其定义域上是连续的 yxf 五 15 分 求积分 D dxdy b cy a cx I 其中由曲线D1 b cy a cx 和cycx 所围成 且 0 cba 六 15 分 设为定义在f a上的函数 在每一有限区间 上有界 且 ba 第 3 页 Axfxf x 1 lim 证明 A x xf x lim 七 15 分 设在 xgxf ba 连续 证明 b a ii n i i dxxgxfxgf lim 1 0 其中为 ba 的任一分割 110 x 5 10 R Lzdx 2xdy 3ydz L x2 y2 a2 a 0 z x 1 z 6 10 R R S y z 2dS S n x y z y2 z2 x 2 7 15 f x 1 x2 0 1 8 15 f