数字信号处理第二章第二节.pdf

第2章 离散傅里叶变换 第2章 离散傅里叶变换 引言引言 2 1 周期序列的离散傅里叶级数 周期序列的离散傅里叶级数 DFS 2 2 有限长序列离散傅里叶变换 有限长序列离散傅里叶变换 DFT 2 3 频域采样理论频域采样理论 2 4 利用利用DFT进行谱分析进行谱分析 第2章 离散傅里叶变换 用用DFT作频谱分析 只能处理有限时宽的信号 有限时作频谱分析 只能处理有限时宽的信号 有限时 2 4 1 对连续信号进行频谱分析 也是连续函数 对模拟信号进行数字处理 必须对模拟 信号 对连续信号进行频谱分析 也是连续函数 对模拟信号进行数字处理 必须对模拟 信号x t 如声音 图像 电压 电流等 其频谱如声音 图像 电压 电流等 其频谱X j 宽信号的时宽也称数据长度记为宽信号的时宽也称数据长度记为Tp 实际待处理的连续 信号 实际待处理的连续 信号xa t 作时域采样 得到作时域采样 得到 x n xa nT 其中时域 采样频率为 其中时域 采样频率为fs 1 T 第2章 离散傅里叶变换 在频率区间在频率区间 0 2 上的上的N点等间隔采样 其中数字域 上面的分析表明 对连续信号频谱进行数字处理时 既 会遇到时域采样 也要处理频域采样 如图 点等间隔采样 其中数字域 上面的分析表明 对连续信号频谱进行数字处理时 既 会遇到时域采样 也要处理频域采样 如图2 4 1所示 要利用 所示 要利用DFT对对x n 进行频谱分析时 又必须对进行频谱分析时 又必须对x n 作作 F fs N DFT 得到 得到X k X k 是是x n 的傅里叶变换的傅里叶变换X ej 频域采样间隔为频域采样间隔为2 N对应的模拟频域采样间隔为对应的模拟频域采样间隔为 第2章 离散傅里叶变换 图图2 4 1 用用DFT作频谱分析作频谱分析 与时域采样和频域采样有关的几个参数为 它们的关系为 频域采样间隔 与时域采样和频域采样有关的几个参数为 它们的关系为 频域采样间隔 F 时域采样间隔时域采样间隔T 频域采样点数 频域采样点数N 数据长度 数据长度Tp F fs N 1 NT 1 Tp 时域采样频率时域采样频率 fs 时域采样时域采样 DFT 频域采样频域采样 xa t x n X k 第2章 离散傅里叶变换 图图2 4 2示意了用示意了用DFT分析分析x t 频谱的情况 假设 频谱的情况 假设x t 是数据长度为是数据长度为Tp 最高频率为 最高频率为fm的信号 的信号 0 x t t Tp 0 X j m m t T xs t 0 Xs j m m s 2 s 2 s 第2章 离散傅里叶变换 图图2 4 2 用用DFT分析分析xa t 频谱的情况频谱的情况 0 1 2 X k k x n n NT 0 t T Xs j m m s 2 s 2 s xs t 第2章 离散傅里叶变换 1 混叠效应 混叠效应 2 4 2 频谱分析中的几个问题 从上面的讨论可知 连续信号频谱进行数字处理时 频谱分析中的几个问题 从上面的讨论可知 连续信号频谱进行数字处理时 x n X k 均为有限长序列 而傅里叶变换理论指出 一般时宽有限的信号 其频宽是无限的 例如单个矩形 脉冲信号的频谱 反之亦然 即从理论上说 没有有 限时宽的限带信号 而由处理技术的可实现性 实际上 只能处理有限时宽信号 均为有限长序列 而傅里叶变换理论指出 一般时宽有限的信号 其频宽是无限的 例如单个矩形 脉冲信号的频谱 反之亦然 即从理论上说 没有有 限时宽的限带信号 而由处理技术的可实现性 实际上 只能处理有限时宽信号 第2章 离散傅里叶变换 用预滤波方法滤除一定的高频成分 使待处理信号的 对不同的场合要求 可以有不同的逼近程度 从工程 角度讲这是允许的 为了减小频谱混叠效应 可以采 因此对频宽无限的信号采样后 在频域中会出现混叠 形成频谱失真 不能反映原信号的全部信息 这就是 混叠效应 所以用 用预滤波方法滤除一定的高频成分 使待处理信号的 对不同的场合要求 可以有不同的逼近程度 从工程 角度讲这是允许的 为了减小频谱混叠效应 可以采 因此对频宽无限的信号采样后 在频域中会出现混叠 形成频谱失真 不能反映原信号的全部信息 这就是 混叠效应 所以用DFT作频谱分析是近似分析 当然 有效带宽 作频谱分析是近似分析 当然 有效带宽 fm小于折叠频率 小于折叠频率 第2章 离散傅里叶变换 2 栅栏效应 数据量少 栅栏效应 数据量少 计算量小 为了进一步减小混叠效应 除了采用预滤波法外 通 计算量大 计算量小 为了进一步减小混叠效应 除了采用预滤波法外 通 计算量大 fs 在单位时间内采样点数少 要存储的 通常采样频率取 在单位时间内采样点数少 要存储的 通常采样频率取fs 3fm 6fm fs 在单位时间内采样点数多 要存储的数据量大 在单位时间内采样点数多 要存储的数据量大 第2章 离散傅里叶变换 所以称为所以称为 栅栏效应栅栏效应 如果 如果 x t 是非周期信号 它具有连续频谱 采样后 就象是在栅栏的一边 通过缝隙观看另一边的景象 如果 是非周期信号 它具有连续频谱 采样后 就象是在栅栏的一边 通过缝隙观看另一边的景象 如果 x t 是周期信号 它只具有离散频谱 采样后是周期信号 它只具有离散频谱 采样后 x n 的的DFT的运算的频谱就是它的离散谱 被 的运算的频谱就是它的离散谱 被 栅栏栅栏 挡住 是看不见的 所以这使得频谱较稀疏 为了得到高密度的频谱 最简单的方法是在 挡住 是看不见的 所以这使得频谱较稀疏 为了得到高密度的频谱 最简单的方法是在x n 后补零 后补零 x n 的的DFT的运算的频谱是的运算的频谱是X ej 上的若干点 上的若干点 第2章 离散傅里叶变换 x n 后面再补后面再补4个零值个零值 N 8 F fs 12 F fs 8 F fs 12 N 8 F fs 8 fs F 81116542 30109712 2 fs F 817654230 2 第2章 离散傅里叶变换 因为因为 T Tp N 1 fs 所以 所以 fs N T p Tp是数据长度 同理 是数据长度 同理 T Tp N 1 f s 所以 所以 f s N T p 例 设例 设Tp 1s 则 则 TpN fs N F N 1 而而 TpN f s N F 1 N 情况下仅增加采样率是不能改变频谱密度的 如果不是在采样样本后面加零 在数据长度 情况下仅增加采样率是不能改变频谱密度的 如果不是在采样样本后面加零 在数据长度 Tp一定的一定的 第2章 离散傅里叶变换 可以看到可以看到0 1Hz的情况 可以看到 的情况 可以看到0 1 2 3Hz的情况 频率间隔同例的情况 频率间隔同例1 例 例1 Tp 1s 2点 点 T 0 5s 所以 所以 fs 1 0 5 2Hz 取样取样 例例2 Tp 1s 4点 点 T 0 25s 所以 所以 f s 1 0 25 4Hz 取样取样 fs N F 2 1Hz 2Hz 4 f s N F 1Hz 4Hz 第2章 离散傅里叶变换 此时 频率间隔是例此时 频率间隔是例1的的1 2 情况同 情况同1 可以看到 可以看到0 0 5 1 1 5Hz的情况 补两个零 的情况 补两个零N 4 例 例3 Tp 1s 2点 点 T 0 5s 所以 所以 fs 1 0 5 2Hz 取样取样 fs N F 4 0 5Hz 2Hz 第2章 离散傅里叶变换 如例如例x n R2 n N 2 N 3 的频谱 通过此例可见增加采样率改变的是频谱观察范围 而不 能改变频谱观察密度 时比较 的频谱 通过此例可见增加采样率改变的是频谱观察范围 而不 能改变频谱观察密度 时比较X1 k X2 k 情况 情况 X2 k 就是频率间隔较密就是频率间隔较密 第2章 离散傅里叶变换 10 1 x n R2 n n X1 k k X ej 2 fs 2 01 第2章 离散傅里叶变换 X2 k X ej k fs 2 2 34 3 10 1 x n R2 n n 2 2 0 1 21 1 第2章 离散傅里叶变换 3 截短效应 序列 相当于不断地用矩形窗乘以该序列 矩形函数 分 所以截短函数也称窗函数 截短效应 序列 相当于不断地用矩形窗乘以该序列 矩形函数 分 所以截短函数也称窗函数 DFT处理的是有限时宽序列 实际问题中的处理的是有限时宽序列 实际问题中的x n 可能是 的作用像一扇 可能是 的作用像一扇 窗窗 透过此窗只能 透过此窗只能 看看 到到x n 的一部 非常长 处理时需要截短 要将 的一部 非常长 处理时需要截短 要将x n 分为若干分为若干N点的 设 点的 设 x n X ej 第2章 离散傅里叶变换 截短窗口截短窗口 函数函数 w t W j 0 1 w t 2 2 t Sa 2 0 2 2 频谱函数的卷积 使得加频谱函数的卷积 使得加 窗窗 序列的频谱与原频谱不 同 序列的频谱与原频谱不 同 x n w t X ej W j 2 1 x n 被截短后 被截短后 第2章 离散傅里叶变换 不同的原因是有频谱不同的原因是有频谱 泄漏泄漏 举例说明泄漏的影响 后的频谱 例 举例说明泄漏的影响 后的频谱 例2 4 1 已知已知 x t cos 0t 绘出其采样以及被截短 解 绘出其采样以及被截短 解 x t cos 0t X j 0 0 0 X j 0 0 第2章 离散傅里叶变换 x n cosn 0T X ej X ej T X ej X ej T 0 T 0 0 s s 2 2 Xa j jm m 1 TT 2 第2章 离散傅里叶变换 x n w t X ej Sa 2 2 1 Sa 2 0 2 2 X ej Sa 2 2 1 2 0 0 0 s s 0 0 s s X ej X ej T 第2章 离散傅里叶变换 可见 频率上都为非零值 可见 频率上都为非零值 一个周期内只有两个非零值频率 现在几乎所有的 求极限 为 一个周期内只有两个非零值频率 现在几乎所有的 求极限 为 Sa 2 的连续频谱 我们说的连续频谱 我们说X ej X ej T 的 频率分量从 的 频率分量从 0 处处 泄漏泄漏 到其它频率处了 原来在到其它频率处了 原来在 泄漏泄漏 是由矩形窗函数带来的 令是由矩形窗函数带来的 令 对 对 Sa 2 原来在 原来在 0处的一根谱线 变成了以 处的一根谱线 变成了以 0为中心 形状为中心 形状 limSa 2 2 第2章 离散傅里叶变换 可使泄漏减小至零 而可使泄漏减小至零 而 就意味着无限加宽窗 函数 等于对不截短 所以不能用无限加宽窗口来减少 占有一定宽度 为了尽量减少泄漏 需要寻找频域中窗 函数 就意味着无限加宽窗 函数 等于对不截短 所以不能用无限加宽窗口来减少 占有一定宽度 为了尽量减少泄漏 需要寻找频域中窗 函数W j 接近接近 即旁瓣小 主瓣窄的窗函数 泄漏 泄漏的产生是由于 即旁瓣小 主瓣窄的窗函数 泄漏 泄漏的产生是由于W j 具有旁瓣 并且主瓣也具有旁瓣 并且主瓣也 X ej Sa 2 2 1 limX ej W j 2 1 lim X ej X ej 第2章 离散傅里叶变换 由图由图2 4 6可见 频谱泄漏在主谱线两边形成的旁瓣 引起不同频率分量间的干扰 也称谱间干扰 谱间 干扰会影响频率分辨 尤其是强信号的旁瓣有可能 淹没主信号的主谱线 或被误判为另一信号的谱 线 这是在实际应用中要注意的问题 具体窗函数的设计在第五章介绍 可见 频谱泄漏在主谱线两边形成的旁瓣 引起不同频率分量间的干扰 也称谱间干扰 谱间 干扰会影响频率分辨 尤其是强信号的旁瓣有可能 淹没主信号的主谱线 或被误判为另一信号的谱 线 这是在实际应用中要注意的问题 具体窗函数的设计在第五章介绍 第2章 离散傅里叶变换 2 4 3 DFT参数选择 用 参数选择 用DFT对连续信号进行频谱分析时 要考虑两个方面 一是频谱分析范围 二是频率分辨率 样点数多 要存储的数据量大 计算量就大 通常要求 对连续信号进行频谱分析时 要考虑两个方面 一是频谱分析范围 二是频率分辨率 样点数多 要存储的数据量大 计算量就大 通常要求fs 2fm 但采样频率 但采样频率fs高 在单位时间内采 频谱分析范围由采样频率 高 在单位时间内采 频谱分析范围由采样频率fs决定 为了减少混叠失真 决定 为了减少混叠失真 第2章 离散傅里叶变换 要分析信号频谱 频率分辨率是十分重要的概念 它 反映了将两个相邻谱峰分开的能力 是谱分析中分辨 两个不同频率分量的最小间隔 因此通常将频域采样 以频率分辨率实际还与截短窗函数以及其时宽相关 号频谱进行数字处理时的截短 如图 要分析信号频谱 频率分辨率是十分重要的概念 它 反映了将两个相邻谱峰分开的能力 是谱分析中分辨 两个不同频率分量的最小间隔 因此通常将频域采样 以频率分辨率实际还与截短窗函数以及其时宽