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1 历年总结历年总结 GCT考试GCT考试数学基础复习资料 数学基础复习资料 第一部分 算术 内容综述 1 数的概念 整数 分数 小数 百分数等等 2 数的运算 1 整数的四则运算 2 小数的四则运算 3 分数的四则运算 3 数的整除 整除 m l k m n 倍数 约数 奇数 偶数 质 素 数 合数 质因数 公倍数 最小公倍数 11 1 1 mnnm m n m n 公约数 最大公约数 互质数 最简分数 4 比和比例 比例 d c b a 正比例关系 k b a 反比例关系等kab 典型例题 一 算术平均数 平均值 问题 例 某书店二月份出售图书 3654 册 比一月份多出售 216 册 比三月份少出售 714 册 第二季 度的出售量是第一季度出售量的5 1倍 求书店上半年平均每月出售图书多少册 分析 4775 6 71421636543 2 5 6 7143654 3654 2163654 2 3 7143654 3654 2163654 又如前 10 个偶数 奇数 素数 合数等的平均值问题 二 植树问题 1 全兴大街全长 1380 米 计划在大街两旁每隔 12 米栽一棵梧桐树 两端都栽 求共栽梧桐 多少棵 分析 232 1 12 1380 2 2 将一边长为 2 米的正方形木板沿其边用钉子固定在墙上 为了安全 钉子的间距不能超过 30 厘米 且四角必须固定 求需要的最少钉子数 分析 根据要求 每边至少需要 7 个空 所以至少需要2874 个钉子 三 运动问题 1 相遇与追及问题 vts 2121 vvvvvv 21 sss 例 某部队以每分钟 100 米的速度夜行军 在队尾的首长让通信员以 3 倍于行军的速度将一命令 传到部队的排头 并立即返回队尾 已知通信员从出发到返回队尾 共用了 9 分钟 求行军部队队 列的长度 分析 设队伍长度为 l 则 2 9 100300100300 ll 解得 1200 l 2 顺流而下与逆流而上问题 例 两个码头相距 352 千米 一艘客轮顺流而下行完全程需要 11 小时 逆流而上行完全程需要 16 小时 求此客轮的航速与这条河的水流速度 分析 因为 16 352 11 352 水水 vvvv 所以 22 32 水 水 vv vv 解得 5 27 水 vv 3 列车过桥与通过隧道问题 例 一列火车全长 270 米 每秒行驶 18 米 全车通过一条隧道需要 50 秒 求这条隧道的长 分析 设隧道长为 l 则 5018270 l 所以 630 l 四 分数与百分数应用问题 例 某工厂二月份产值比一月份的增加 0 0 10 三月份比二月份的减少 0 0 10 那么 A 三月份与一月份产值相等 B 一月份比三月份产值多 99 1 C 一月份比三月份产值少 99 1 D 一月份比三月份产值多 100 1 分析 设一月份的产值为 a 则三月份的产值为 a99 0 所以一月份比三月份产值多 99 1 99 0 99 0 a aa 五 简单方程应用问题 1 比和比例应用题 例 1 有东西两个粮库 如果从东库取出 5 1 放入西库 东库存粮的吨数是西库存粮吨数的 2 1 已 知东库原来存粮 5000 吨 求西库原来的存粮数 分析 设西库原来的存粮数为 x 则 5 5000 2 1 5 5000 5000 x 所以 7000 x 例 2 一件工程 甲独做 30 天可以完成 乙独做 20 天可以完成 甲先做了若干天后 由乙接着做 这样甲 乙二人合起来共做了 22 天 问甲 乙两人各做了多少天 分析 设甲 乙两人分别做了x天和y天 根据题意得 1 20 1 30 1 22 yx yx 解得 16 6 yx 3 2 求单位量与求总量的问题 例 搬运一堆渣土 原计划用 8 辆相同型号的卡车 15 天可以完成 实际搬运 6 天后 有两辆卡 车被调走 求余下的渣土还需要几天才能运完 分析 设要运完余下的渣土还需要x天 则 x 28 68158 所以 12 x 3 和倍 差倍与和差问题 例 把 324 分为 A B C D 四个数 如果 A 数加上 2 B 数减去 2 C 数乘以 2 D 数除以 2 之后得 到的四个数相等 求这四个数各是多少 分析 根据题意得 2 1 222 324 DCBA DCBA 解得 144 36 74 70 DCBA 样题与真题 一 数的运算 1 设直线方程 0 abbaxy 且x的截距是y的截距的 2 倍 则a与 2 1 谁大 C A a B 2 1 C 一样大 D 无法确定 分析 因为b a b 2 所以 2 1 a 2 方程 0 1 2 1 2 1 1 2 xxx 的根的个数为 A A 0 B 1 C 2 D 3 分析 因为 1 3 1 2 1 2 1 1 22 x xx x 所以0 1 2 1 2 1 1 2 xx x 的根的个数为 0 3 设mba 均为大于零的实数 且 ab 则 mb ma 与 b a 谁大 A A 前者 B 后者 C 一样大 D 无法确定 分析 因为0 mbb abm b a mb ma 所以 mb ma 比 b a 大 注 特殊值代入法 4 某人左右两手分别握了若干颗石子 左手中石子数乘3加上右手中石子数乘4之和为29 则 左手中石子数为奇数 还是偶数 A A 奇数 B 偶数 C 无法确定 D 无石子 分析 因为2943 yx 所以x为奇数 5 2003 已知 2004 2003 2003 2002 2002 2001 cba 则 4 A cba B acb C bac D abc 注 考虑 xx x xf 1 1 1 6 2003 11 1 1 11 1 1 i i i i i A 10 B 11 C 12 D 13 注 661211 2 1 1121 7 设nS n n 1 1 4321 则 20052004 SS B A 2 B 1 C 0 D 1 分析 由于 1002 20042003 43 21 2004 S 2005 20042005 SS 所以 1200521002 20052004 SS 8 2005 11111111 11111111 23456789 0 10 20 30 40 50 60 70 80 9 的值是 A 2 81 B 2 9 C 9 2 D 81 2 分析 分子 9 1 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 分母 2 9 10 987654321 所以正确选项为 A 9 2006 64 1 77 32 1 66 16 1 55 8 1 44 4 1 33 2 1 2211 C A 16 15 308 B 32 31 308 C 64 63 308 D 128 127 308 分析 64 63 308 2 1 1 2 1 1 2 1 87 2 1 11 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 7654321 11 64 1 77 32 1 66 16 1 55 8 1 44 4 1 33 2 1 2211 6 5432 10 2006 某型号的变速自行车主动轴有 3 个同轴的齿轮 齿数分别为 48 36 和 24 后轴上有 4 个同轴的齿轮 齿数分别是 36 24 16 和 12 则这种自行车共可获得 A 种不同的变速比 5 A 8 B 9 C 10 D 12 分析 本题是算术题 考查两个数的比的大小 由于 16 24 24 36 24 24 36 36 12 24 24 48 12 36 16 48 所以这种自行车共可获得8412 种不同的变速比 二 平均值问题 1 从生产的一批灯泡中任意抽取5个 测的寿命 小时 分别为95 100 107 110 113 若用它们 来估计这批灯泡的平均寿命应为 C A 103 B 104 C 105 D 106 分析 105 5 95100107110113 2 张某以51 10元 股的价格买进股票20手 又以8 9元 股买进30手 又以47 11元 股买进50手 他要不赔钱 至少要卖到什么价钱 元 股 1手 100股 D A 02 11 B 32 10 C 98 9 D 78 10 分析 78 10 10000 500047 1130008 9200051 10 3 2003 记不超过 10 的素数的算术平均数为M 则与M最接近的整数是 A 2 B 3 C 4 D 5 分析 425 4 4 7532 三 植树问题 1 2003 1000 米大道两侧从起点开始每隔 10 米各种一棵树 相邻两棵树之间放一盆花 这样 需 要 A 树 200 课 花 200 盆 B 树 202 课 花 200 盆 C 树 202 课 花 202 盆 D 树 200 课 花 202 盆 分析 共需树202 1 10 1000 2 共需花200 10 1000 2 2 2004 在一条长 3600 米的公路一边 从一端开始等距竖立电线杆 每隔 40 米原已挖好一 个坑 现改为每隔 60 米立一根电线杆 则需重新挖坑和填坑的个数分别是 D A 50 和 40 B 40 和 50 C 60 和 30 D 30 和 60 分析 40 和 60 的最小公倍数是 120 在 120 米的距离内需挖一个新坑和填掉原来的两个坑 故 需重新挖坑和填坑的个数分别是 30 和 60 四 运动问题 2004 在一条公路上 汽车 A B C 分别以每小时 80 70 50 公里的速度匀速行驶 汽 车 A 从甲站开向乙站 同时车 B 车 C 从乙站出发与车 A 相向而行开往甲站 途中车 A 与车 B 相 遇两小时后再与车 C 相遇 那么甲乙两站相距 D A 2010 公里 B 2005 公里 C 1690 公里 D 1950 公里 分析 设甲乙两站相距l公里 则 5080 2 7080 ll 解得 1950 l 五 简单方程应用问题 1 单位量与总量问题 1 2004 某校有若干女生住校 若每间房住 4 人 则还剩 20 人未住下 若每间住 8 人 则 仅有 间未住满 那么该校有女生宿舍的房间数为 C A 4 B 5 C 6 D 7 分析 设女生宿舍的房间数为x 则xxx8204 1 8 解得6 x 6 注 选项验证法 2 2005 某项工程 8 个人用 35 天完成了全工程量的 3 1 如果再增加 6 个人 那么完成剩余 的工程还需要的天数是 A 18 B 35 C 40 D 60 分析 设完成剩余的工程还需要的天数是x 则x 68 2 1 358 故40 x 即正确选项为 C 2 和倍 差倍 和差问题 小明今年一家四口人 全家年龄之和为69岁 父亲比母亲大一岁 姐姐比小明大两岁 四年前 全家年龄之和为54岁 则父亲今年多少岁 D A 28 B 29 C 30 D 31 六 分数 比 百分数应用问题 1 2003 某工厂产值三月份比二月的增加 0 0 10 四月份比三月的减少 0 0 10 那么 A 四月份与二月份产值相等 B 四月份比二月份产值增加 99 1 C 四月份比二月份产值减少 99 1 D 四月份比二月份产值减少 100 1 分析 设二月份的产值为 a 则四月份的产值为 a99 0 所以四月份比二月份产值少 100 199 0 a aa 2 2004 甲 乙两种茶叶以 x y 重量比 混合配制成一种成品茶 甲种茶每斤 50 元 乙 种每斤 40 元 现甲种茶价格上涨 10 乙种茶价格下降 10 后 成品茶的价格恰好仍保持不变 则yx 等于 C A 1 1 B 5 4 C 4 5 D 5 6 分析 由于yxyx 1 04040 1 05050 4050 所以 5 4 y x 3 2005 2005 年 我国甲省人口是全国人口的c 其生产总值占国内生产总值的d 乙省人 口是全国人口的e 其生产总值占国内生产总值的f 则 2005 年甲省人均生产总值与乙省人均 生产总值之比是 A cd ef B ce df C cf de D de cf 分析 设全国人口为 p 国内生产总值为 h 则甲省人均生产总值为 cp dh 乙省人均生产总值为 ep fh 所以甲省人均生产总值与乙省人均生产总值之比是 cf de 即正确选项为 D 4 2006 一个容积为 10 升的量杯盛满纯酒精 第一次倒出a升酒精后 用水将量杯注满并搅 拌均匀 第二次仍倒出a升溶液后 再用水将量杯注满并搅拌均匀 此时量杯中的酒精溶液浓度为 49 则每次的倒出量a为 B 升 A 2 55 B 3 C 2 45 D 4 7 分析 根据题意 49 0 10 10 10 10 a a a 即49 10 2 a 解得3 a 七 其他问题 1 一顾客去甲商店买价格为48元的鞋子 给了甲店主一张50元钞票 因甲没有零钱 所以到乙 商店换钱 然后将鞋子和2元钱一起给了该顾客 顾客走后 乙店主发现那张50元钞票为假币 索 要甲店主一张50元真币 问甲店主赔了多少钱 A A 50元 B 48元 C 100元 D 98元 2 相同表面积的立方体和球 谁的体积大 B A 前者 B 后者 C 一样大 D 无法确定 3 2003 EDCBA 五支篮球队相互进行循环赛 现已知A队已赛过 4 场 B队已赛过 3 场 C队已赛过 2 场 D队已赛过 1 场 则此时E队已赛过 A 1 场 B 2 场 C 3 场 D 4 场 注 排除法 利用奇 偶数性质 4 2006 100 个学生中 88 人有手机 76 人有电脑 其中有手机没电脑的共 15 人 则这 100 个学生中有电脑但没有手机的共有 D 人 A 25 B 15 C 5 D 3 分析 根据题意 既有电脑又有手机的人数为731588 所以有电脑但没有手机的人数是 37376 解法 2 根据题意 24 个没有电脑的人中 15 个人有手机 因此既没手机又没有电脑的人只有 9 人 从而在 12 个没有手机的人中只有 3 人有电脑 第二部分 代数 内容综述 一 数和代数式 1 实数的运算 1 乘方与开方 乘积与分式的方根 根式的乘方与化简 xyyxxxxyx y x yxyx aabaaba a a aaa 2 绝对值aaababa aa a aa a 0 0 0 0 2 复数的运算及其几何意义 虚数单位 实部 虚部 共轭复数 模 幅角 ibaz 22 baz a b tan 1 2 i 8 212121222111 bbiaazzibazibaz biaz biaz 1111 sincos izz 2222 sincos izz sin cos 21212121 izzzz sin cos 2121 2 1 2 1 i z z z z 1 0 zz 3 几个常用公式 和与差的平方 和与差的立方 平方差 立方和 立方差等 222 2 bababa 32233 33 babbaaba 32233 33 babbaaba 22 bababa 2233 babababa 2233 babababa 二 集合与函数 微积分 1 集合运算 交集 并集 补集 全集 运算律 摩根律 BABACABACBA CBACBAACABABA I 2 函数 1 概念 定义 两要素 图形 反函数 Dxxfyyx 1 xfy 2 简单性质 有界性 单调性 奇偶性 周期性 xfxxfxxfxxfxxfx a T xgb a T xafTbaxfbaxfxg 3 幂函数 指数函数 对数函数 含义 性质 常用公式 xyxyxyayxy a xa ln lg log a x xxyxyx y x yxxy b b a y log log log lnln lnlnln lnlnln ba 9 三 代数方程 1 二元一次方程组解的存在性 2 一元二次方程 1 求根公式 判别式 2 根与系数的关系 0 2 cbxax acb4 2 a c xx a b xx a acbb x 2121 2 2 4 3 二次函数的图像 开口 对称轴 顶点坐标 a bac a b xacbxaxy 4 4 2 2 22 四 不等式 1 不等式的基本性质及基本不等式 算术平均数与几何平均数 绝对值不等式 性质 0 0 kbkakbakbkakba cbdadbcadcba 基本不等式 abba 2 1 baba 2 几种常见不等式的解法 绝对值不等式 一元二次不等式 分式不等式 指数不等式 对数不等式等 0 2 cbxax 0 a axfaxfaxf 0 五 数列 1 数列的概念 数列 通项 前n项的和 各项的和 数列与数集的区别 21n aaa n k knn aaaaS 1 21 2 等差数列 1 概念 定义 通项 前n项的和 2 简单性质 中项公式 平均值 2 1 2 1 2 1 1 1 21 111 n n nknkn nnnnn aa n aaa aaa dnnnaSdnaadaaa 3 等比数列 1 概念 定义 通项 前n项的和 2 简单性质 中项公式 2 1 1 1 1 1 1 0 nknkn n n n n n n nn aaa q q aSqaaq a a aa 六 排列 组合 二项式定理 1 分类求和原理与分步求积原理 2 排列与排列数 1 定义 2 公式 1 2 1 mnnnnPm n 注 阶乘 全排列 mPm m 10 3 组合与组合数 1 定义 2 公式 m m m nm n m m m n m n P P CPCP 3 基本性质 n n k k n m n m n m n mn n m n CCCCCC2 0 1 1 4 二项式定理 n k knkk n n baCba 0 七 古典概率问题 1 基本概念 必然事件 不可能事件 和事件 积事件 互不相容事件 对立事件 2 概率的概念与性质 1 定义 非负性 规范性 可加性 2 性质 1 0 AP 0 P BAPBPAPBAP 3 几种特殊事件发生的概率 1 等可能事件 古典概型 n m AP 2 互不相容事件 BPAPBAP 对立事件 1 BPAP 3 相互独立事件 BPAPBAP 4 独立重复试验 如果在一次试验中某事件发生的概率为p 那么在n此独立重复试验中这个事件恰好发生k次 的概率为 knkk nn ppCkP 1 典型例题 一 数和代数式 1 若Cz 且122 iz 则iz22 的最小值是 B A 2 B 3 C 4 D 5 分析 1 22 22 iziz表示复数z对应的点在以点 2 2 为圆心 半径是1的圆周上 11 22 22iziz 最小 是指复数z对应的点到点 2 2 的距离最短 此最短距离为3 2 如果 1 x整除1 223 axxax 则实数 a D A 0 B 1 C 2 D 2 或1 分析 1 x能够整除1 223 axxax说明 1 x是1 223 axxax的一个因子 因此当1 x 时 1 223 axxax的值应为0 即 011 2 aa 解得 2 a或 a1 二 集合和函数 1 已知0 a 函数dcxbxaxxf 23 的图像关于原点对称的充分必要条件是 D A 0 b B 0 c C 0 d D 0 db 分析 函数dcxbxaxxf 23 的图像关于原点对称的充分必要条件是函数 xf为奇函数 故其偶次项的系数为0 即0 db 注 也可利用 1 1 0 0 ff f 求得0 db 再说明当0 db时 xfy 的图像关于原点对 称 2 设0 0 ba 且abba7 22 那么 3 1 lnba B A ln ln 2 1 ba B ln 2 1 ab C ln ln 3 1 ba D ln 3 1 ab 分析 由于0 0 ba 所以选项 A C 不正确 根据 9 2 ln 2 1 3 1 ln 2 1 3 1 ln 22 2 abba baba 及abba7 22 可知 3 1 lnba ln 2 1 ab 三 代数方程和简单的超越方程 1 设0 c 若 21 x x是方程0 2 cbxx的两个根 求 2 1 1 2 21 2 2 2 1 x x x x xxxx 3 2 3 1 xx 分析 根据韦达定理可知 cxxbxx 2121 所以 cbxxxxxx22 2 21 2 21 2 2 2 1 12 cbxxxxxxxx42 2 21 2 2 2 1 2 2121 c cb xx xx x x x x2 2 21 2 1 2 2 2 1 1 2 2 221 2 121 3 2 3 1 xxxxxxxx 2 指数方程组 632 1624 yx yx 的解 A A 只有一组 B 只有两组 C 有无穷多组 D 不存在 分析 在方程组 632 1624 yx yx 中每个方程的两端取对数 得 6ln3ln2ln 16ln2ln4ln yx yx 由于x与y的系数不成比例 所以此方程组只有一组解 四 不等式 已知集合 32 xxA 集合 0 1 2 axaxxB 若AB 求a得取值范围 分析 2 11 2 4 1 1 2 2 1 aaaaa x 当1 a时 1 xaxB 当1 a时 1 axxB 所以当1 a时 不会有AB 当1 a时 若AB 则5 a 五 数列 1 设 n a是一等差数列 且64 111032 aaaa 求 76 aa 和 12 S 分析 由于 76 aa 112103 aaaa 所以 76 aa 32 2 111032 aaaa 192 6 7612112112 aaaaaaS 2 设 n a是一等比数列 且48 12 53 aa 求 101 a a和 62a a 分析 设数列 n a的公比为q 则4 2 3 5 q a a 所以 13 3 4 12 2 3 1 q a a 153623 99 110 qaa 或 1536 2 3 99 110 qaa 5764812 5362 aaaa 六 排列 组合 二项式定理 1 5 个男生和 2 个女生拍成一排照相 1 共有多少种排法 7 7 P 2 男生甲必须站在一端 且两女生必须相邻 有多少种排法 2 2 5 5 2 2 PPP 2 100 件产品中 只有 3 件次品 从中任取 3 件 1 恰有一件次品的取法有多少种 2 97 1 3C C 2 至少有一件次品的取法有多少种 3 97 3 100 CC 3 至多有两件次品的取法有多少种 3 3 3 100 CC 3 求 9 21 x 展开式中所有无理项系数之和 分析 无理项指的是x的指数是非整数的项 根据二项式定理可知要求的和为 9 9 97 9 75 9 53 9 31 9 22222CCCCCS 七 古典概率问题 1 在 100 件产品中 只有 5 件次品 从中任取两件 1 两件都是合格品的概率是多少 2 100 2 95 C C 2 两件都是次品的概率是多少 2 100 2 5 C C 3 一件是合格品 一件是次品的概率是多少 2 100 1 95 1 5 C CC 2 甲 乙两人各投篮一次 如果两人投中的概率分别是6 0和5 0 1 两人都投中的概率是多少 5 06 0 2 恰有一人投中的概率是多少 5 04 05 06 0 3 至少有一人投中的概率是多少 5 04 01 3 将 10 个球等可能地放到 15 个盒子中去 求下列事件的概率 1 某指定的 10 个盒子中各有 1 个球 10 15 10 2 正好有 10 个盒子中各有 1 个球 10 10 15 15 10 C 14 样题与真题 一 基本概念 1 求阶乘不超过200的最大整数 A 3 B 4 C 5 D 6 2 2004 实数cba 在数轴上的位置如下图表示 图中 O 为原点 则代数式 ccaabba A A ca23 B caba2 C ba2 D a3 分析 因为cab 0 所以 cacacbabaccaabba23 3 2004 zarg表示z的幅角 今又 21arg 2arg ii 则 sin D A 5 4 B 5 3 C 5 4 D 5 3 分析 由于 5 1 cos 5 2 sin 5 2 cos 5 1 sin 所以 5 3 sincoscossin sin 注 排除法 4 2005 复数 2 1 ziz 的模 A 4 B 22 C 2 D 2 分析 因为21 i 所以21 1 2 2 ii 即正确选项为 C 5 2006 复数 i z 1 的共轭复数z是 A A i B i C 1 D 1 O b a c 15 分析 由于i i z 1 所以iz 二 函数运算 1 设函数 1 x x xf 1 0 xx 则 1 xf f A A x 1 B x 1 1 C 1 x x D 1 x 分析 x x x x x xf xf xf f 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 xx 三 乘方运算 1 在连乘式 5 4 3 2 1 xxxxx展开式中 4 x前面的系数为 C A 13 B 14 C 15 D 16 分析 4545 15 54321 5 4 3 2 1 xxxxxxxxx 2 2003 已知实数x和y满足条件1 99 yx和1 100 yx 则 101101 yx 的值是 A 1 B 0 C 1 D 2 根据条件 得 1 1 yx yx 或 1 1 yx yx 解得 1 0 y x 或 0 1 y x 3 2005 设p为正数 则 2 99 xpx A 9 11 xx B 9 11 xx C 9 11 xx D 9 11 xx 分 析 选 项 验 证 法 由 于9920 11 9 2 xxxx 992 11 9 2 xxxx 992 11 9 2 xxxx 9920 11 9 2 xxxx 根据题意便知正确选项为 C 4 2005 已知510 xyzy 且 则 222 xyzxyyzzx A 50 B 75 C 100 D 105 分析 由于10 5 yzyx 所以5 xz 从而 16 75 2 1 222222 xzyzyxzxyzxyzyx 故正确选项为 B 四 代数方程 一元二次函数 1 设30 x 则函数2 2 2 xy的最大值为 C A 2 B 1 C 2 D 3 分析 0 50 511 522 53 x 2 1 1 y 如图 最大值只可能在端点取到 2 2003 函数 0 2 acbxaxy在 0 上单调增的充要条件是 A 0 a 且0 b B 0 a 且0 b C 0 a 且0 b D 0 a 且0 b 分析 根据题意 抛物线 0 2 acbxaxy的开口朝上 对称轴在y轴左侧 故0 2 0 a b a 所以0 a 且0 b 3 2004 已知1 ab 且满足0320082 2 aa和0220083 2 bb 则 B A 023 ba B 032 ba C 023 ba D 032 ba 分析 由于 6 2420082008 4 2420082008 22 ba 且1 ab 所以 当 4 2420082008 2 a时 6 2420082008 2 b 当 4 2420082008 2 a时 6 2420082008 2 b 从而有032 ba 或根据0 32 200894 22 baba 也可以推出有032 ba 4 2006 方程20072006 2 xx 所有实数根的和等于 C A 2006 B 4 C 0 D 2006 分析 当0 x时 2 2007420062006 2 x 当0 x时 2 20074 2006 2006 2 x 17 所以方程20072006 2 xx的所有实数根的和等于0 5 2006 设二次函数cbxaxxf 2 的对称轴为1 x 其图像过点 2 0 则 1 1 f f D A 3 B 2 C 2 D 3 分析 根据题意024 1 2 cba a b 所以2 0 a b c 从而 3 1 3 1 1 1 1 a b a b ba ba f f 五 幂 指 对函数 比较 6 0 4 0与 4 0 6 0谁大 B A 前者 B 后者 C 一样大 D 无法确定 分析 考虑函数 6 0 6 0 x xgxxf 则 6 06 0 4 06 0 4 0 6 0 ff 6 04 0 6 06 0 6 0 4 0 gg 六 函数简单性质 1 函数 1ln 2 xxxf 是 B A 周期函数 B 奇函数 C 偶函数 D 单调减少函数 分析 1ln 1 1 ln 1ln 2 2 2 xfxx xx xxxf 注 排除法与特殊值代入法 0 12ln 1 0 12ln 1 ff 2 2003 函数 0 1 axafy与 2 xafy 的图形关于 A 直线0 ax对称 B 直线0 ax对称 C x轴对称 D y轴对称 分析 记 xafxhxafxg 由于 xhxafxafxg 所以曲线 xgy 上的点 xgx关于直线0 x的对称点 xhxxgx 在曲线 xhy 上 注 特殊值代入法 取特殊函数xxf 进行判定 七 不等式 2004 设cba 均为正数 若 ac b cb a ba c 则 A A bac B acb C cba D abc 分析 选项验证法 当bac 时 正分数 ac b cb a ba c 的分子依次增大 分母依次减小 18 所以 ac b cb a ba c 八 数列 1 2005 三个不相同的非 0 实数 a b c成等差数列 又bca 恰成等比数列 则 a b 等于 A 4 B 2 C 4 D 2 分析 根据条件可知abccab 2 2 从而 2 b c b a b c b c b c b a 2 2 由于1 b c 所以 2 b c 4 b a 即正确选项为 A 注 本题根据0 b a 0 b c 及 b c b a 2可直接用排除法得到正确选项 A 2 2006 设 n 为正整数 在 1 与 n 1 之间插入 n 个正数 使这 n 2 个数成等比数列 则所插入 的 n 个正数之积等于 A A 2 1 n n B n n 1 C n n 2 1 D n n 3 1 分析 本题是代数题 考查了乘方运算的性质 等比数列的概念和通项公式 设此等比数列的公比为q 则1 1 nqn 即 1 1 1 nnq 所以 2 1 2 1 32 1 n nn n nqqqqq 九 排列组合 1 5 棵大小不同的柳树 6 棵大小不同的杨树 载到 5 坑内 一坑一棵 5 个坑内至多载两棵柳 树 5 个坑都载了 有多少种载法 120281 5 5 3 6 2 5 4 6 1 5 5 6 PCCCCC A 281 B 200 C 81 D 275 十 古典概率 1 现有三张密封的奖券 其中一张有奖 共有三个人按顺序且每人只能抓走一张 问谁抓到奖 的概率最大 A 第一个人 B 第二个人 C 第三个人 D 一样大 2 袋中有 3 个黄球 2 个红球 1 个兰球 每次取一个球 取出后不放回 任取两次 都 取得 红球的概率是 A 15 1 B 30 11 C 3 1 D 3 2 分析 15 1 2 6 2 2 C C 或 15 1 56 12 3 2003 一批产品的次品率为1 0 每件检测后放回 在连续三件检测中至少有一件是次品的 概率为 A 271 0 B 243 0 C 1 0 D 081 0 分析 271 0 9 01 3 或 271 0 1 09 01 09 01 0 322 3 21 3 CC 4 2004 将 5 个相同的球放入位于一排的 8 个格子中 每格至多放一个球 则 3 个空格相连的 概率是 C 19 A 56 3 B 56 5 C 28 3 D 28 5 分析 将 5 个相同的球放入位于一排的 8 个格子中 共有 5 8 C种放法 3 个空格相连的放法有 6 种 1 6 C 所求概率为 28 36 5 8 C 5 2005 任取一个正整数 其平方数的末位数字是 4 的概率等于 A 0 1 B 0 2 C 0 3 D 0 4 分析 当所取正整数的个位数是 2 或 8 时 其平方数的末位数字就是 4 所有正整数的个位数只 有 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 等十种可能 所以要求的概率是2 0 10 2 即正确选项为 B 6 2006 桌上有中文书 6 本 英文书 6 本 俄文书 3 本 从中任取 3 本 其中恰有中文书 英 文书 俄文书各 1 本的概率是 A 91 4 B 108 1 C 455 108 D 455 414 答 C 分析 本题是概率题 考查了等可能事件的概率公式和简单的组合数公式 所求概率为 455 108 123 131415 663 3 15 1 6 1 6 1 3 C CCC p 第三部分 几何 与三角 内容综述 一 平面几何图形 1 三角形 1 三角形的各元素 边 角 高 中线 周长 面积 cbapcpbpappCabahs 2 sin 2 1 2 1 2 几种特殊三角形 直角 等腰 等边 222 bac 2 四边形 1 矩形 正方形 2 平行四边形 菱形 3 梯形hbas 2 1 3 圆和扇形 1 圆 周长 面积 弦 圆周角 圆心角 2 2RsRl 20 2 扇形 RlRls 2 1 4 平面图形的相似关系 注 正多边形的内角和 2 n 椭圆的面积ab 二 空间几何体 1 长方体 正方体 2 圆柱体 hRVRhs 2 2 侧 3 圆锥体 hRVRhRs 222 3 1 侧 4 球 32 3 4 4RVRs 三 三角函数 21 1 定义 符号 特殊角的三角函数值 sin 1 csc cos 1 sec sin cos cot cos sin tan cos sin xy 2 三角函数的图像和性质 微积分 3 常用的三角函数恒等式 同角恒等式 22 22 22 csccot1 sectan1 1cossin 两角和公式 1cos2sin21sincos2cos cossin22sin sinsincoscos cos sincoscossin sin 2222 诱导公式 sin sin sin 2 cos cos 2 sin 注 解斜三角形 正弦定理 余弦定理 4 反三角函数 x y yx 22 0 cotarc 2 2 arctan 0 arccos 2 2 arcsin xyxy xyxy 四 平面直线 1 直线方程 倾角 斜率 点斜式 斜截式 截距式 一般式 0 1 00 0 0 cbyax b y a x bkxyxxkyyk xx yy 2 两条直线的位置关系 相交 平行 垂直 0 cbyaxl 0 1111 cybxal 平行但不重合 111 c c b b a a 重合 111 c c b b a a 垂直 1 1 1 b a b a 3 点到直线的距离 0 cbyax 00 yx 22 00 ba cbyax d 注 直线与圆等平面图形的位置关系 五 圆锥曲线 1 圆 22 0 2 0 Ryyxx 2 椭圆 1 定义 到两定点距离之和为一常数的点的集合 2 方程 0 0 1 222 2 2 2 2 ccbac b y a x 3 图像 4 离心率 1 a c e 5 准线 c a x 2 3 双曲线 23 1 定义 到两定点距离之差的绝对值为一常数的点的集合 2 方程 0 0 1 222 2 2 2 2 ccbac b y a x 3 图像 4 离心率 1 a c e 5 渐近线 x a b y 6 准线 c a x 2 4 抛物线 1 定义 到一定点与到一定直线的距离相等的点的集合 2 方程 pxy2 2 2 0 2 p x p 3 图像 4 离心率 1 e 5 准线 0 0 0 0 0 0 22 22 baab ab baab ba edycxbyax 典型例题 1 已知 sintan 2 0 cossin xxxBxxxxA 求BA 分析 由于 4 5 4 2 0 cossin xxxxxxA 1 2 2 3 2 12 2 1 2 sintan kxkorkxkxxxxB 所以 24 BA 2 xx 2 设0 0 22 ba xbxaxf cossin 求 1 xf的最大值 2 0 xf时的x值 分析 由于 sin cossin cossin 22 2222 22 xba x ba b x ba a ba xbxaxf 所以 xf的最大值为 22 ba 当0 xf时 有 kx 即 1 kx 3 设三角形的三条边分别为cba 面积为S 已知35 5 4 Sba 求c 分析 根据CabSsin 2 1 及35 5 4 Sba可得 2 3 sin C 所以 2 1 cos C 当 2 1 cos C时 有21cos2 222 Cabbac 当 2 1 cos C时 有61cos2 222 Cabbac 4 如果 与 4 均是锐角 且 4 1 4 sin 5 2 sin 那么 4 sin 20 21152 分析 20 21152 4 1 5 21 4 15 5 2 4 sin cos 4 cos sin 4 sin 4 sin 5 已知直线0143 yxl 求点 0 2 A关于l的对称点 25 分析 设所求的点为 YXB 则直线AB与直线l垂直 且线段AB的中点在直线l上 所以 01 2 1 4 2 2 1 3 3 4 2 YX X Y 解得 5 8 5 4 YX 6 双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的右准线与两条渐近线交于BA 两点 若以AB为直径的圆经 过右焦点F 求该双曲线的离心率 分析 双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的右准线为 c a x 2 两条渐近线方程为x a b y 所以线 段AB的长度为 c ab 2 根据题意可知 c a c c ab 2 即 c b c ac c a c c ab 2222 所以ba 从而abac2 22 因此 2 a c e A F 26 7 写出抛物线xyy22 2 的焦点坐标和准线方程 分析 将xyy22 2 化为标准形式为 2 1 2 1 2 xy 所以焦点坐标为 1 0 准线方程为 1 x 样题与真题 一 平面几何 1 一张 圆形 饼平铺 若切三刀 最多切成几块 A 5 B 6 C 7 D 8 2 如图 弦长ba 则它们所对的圆周角哪个大 A B C 一样大 D 无法确定 3 如图 一个长为l的梯子AB A端只能在竖直墙面上滑动 B端只能在地面上滑动 则梯子 与墙面和地面所围成的面积最大时 角应为多大 A 30 B 45 C 60 D 75 4 如图 矩行与椭圆1 2 2 2 2 b y a x 相切 则椭圆面积与矩形面积之比和 4 相比较谁大 a b 27 A 前者 B 后者 C 一样大 D 无法确定 5 一个三角形的边长分别为7 5 4 则此三角形的面积为 A 63 B 64 C 34 D 33 6 两个相似三角形的相似比为2 1 则它们的面积比应为 A 2 1 B 3 1 C 4 1 D 无法确定 7 2003 如图 正方形ABCD的面积为1 E和F分别是AB和BC的中点 则图中阴影部分的 面积为 A 2 1 B 4 3 C 3 2 D 5 3 分析 如图 阴影部分的面积为 3 2 因为 G 是三角形 BCD 的中心 所以GCOG 2 1 从而三角形 DGC DHG DHA 的面积相等 都是 6 1 由于三角形 GFC 在底边 FC 上的高是三角形 DFC 在底边 FC 上 的高的 3 1 所以三角形 GFC 的面积是三角形 GCD 面积的一半 综上 阴影部分的面积为 3 2 6 1 2 1 8 2004 如图 直角ABC 中C 为直角 点 E 和 D F 分别在直角边 AC 和斜边 AB 上 且 AF FE ED DC CB 则 A A 8 B 9 C 10 D 12 A C B E D F C B E F G O H 28 分析 如图 根据条件可知 三角形 AFE FED DCB 都是等腰三角形 根据三角形的外角等于不相临的 两个内角和及对顶角相等 可知角 EFD 的大小为 2A 角 CED 的大小为 3A 角 BDC 的大小为 4A 所 以角 A 和角 B 之和为 5A 从而 10 A 或 9 2004 如图 长方形 ABCD 由 4 个等腰直角三角形和一个正方形 EFGH 构成 若长方形 ABCD 的面积为S 则正方形 EFGH 的面积为 A 8 S B 10 S C 12 S D 14 S 分析 设小正方形的边长是a 则 GC 的长度是a2 HB 的长度是a3 AD 的长度是a22 所以 22222 4 2 9 2 2 1 aaaaaS 从而Sa 12 1 2 注 SaaaBCAB 2 122223 10 2004 在圆心为 O 半径为 15 的圆内有一点 P 若 OP 12 则在过 P 点的弦中 长度为整数 的有 A 14 条 B 13 条 C 12 条 D 11 条 A B C G H B C A E D F 2A 3A 4A 4A A B C E D F 2A 3A 4A 4A D 29 分析 如图 过 P 且与直径垂直的弦的长度是1812152 22 这也是过 P 点的弦中长度最短的 由 于直径是过 P 点的弦中最长的一条 所以过 P 点的弦中长度为整数的有131730 条 注 按本题的问法 考虑到对称性 结果应为 24 条 但选项中没有这个选项 11 2004 ABC 中 AB 5 AC 3 xA 该三角形 BC 边上的中线长是x的函数 xfy 则当x在 0 中变化时 函数 xf取值的范围是 A 0 5 B 1 4 C 3 4 D 2 5 分析 如图 当xA 在 0 内变化时 BC 边上的中线长 f x 的变化范围是 4 1 12 2005 在四边形 ABCD 中对角线 AC BD 垂直相交于 O 点 若 AC 30 BD 36 则四边形 ABCD 的面积为 A 1080 B 840 C 720 D 540 分析 如 图 易 知 四 边 形ABCD的 面 积 等 于ABD 与CBD 的 面 积 之 和 其 值 为 5403630 2 1 2 1 BDAC 即正确选项为 D A B C D O P A A B C f x 3 5 30 13 2005 在ABC 中 AB 10 AC 8 BC 6 过 C 点以 C 到 AB 的距离为直径作一圆 该圆与 AB 有公共点 且交 AC 于 M 交 BC 于 N 则 MN 等于 A 3 3 4 B 4 4 5 C 1 7 2 D 1 13 3 分析 如图 根据条件可知ACB 是直角三角形 由于 是圆的直径 所以圆周角 和 都 是直角 从而 和 都是长方形 的对角线 所以 5 4 4 10 68 CPMN 故正确选项 为 14 2006 如右图所示 小半圆的直径 EF 落在大半圆的直径 MN 上 大半圆的弦 AB 与 MN 平行 且与小半圆相切 弦 AB 10 厘米 则图中阴影部分的面积为 B 平方厘米 A 10 B 12 5 C 20 D 25 分析 记大圆半径为R 小圆半径为r 则根据题意可知2552 22 rR 所以图中阴影部分的 面积为 5 12 2 25 2 1 2 1 22 rR 15 2006 已知长方形的长为 8 宽为 4 将长方形沿一条对角线折起压平如右图所示 则阴影 三角形的面积等于 B MN A B D 31 A 8 B 10 C 12 D 14 分析 如图 易知ABO 与CDO 全等 从而 222