数学竞赛的几种解题技巧.pdf

例 5计 算 1 一 4 3 1 44 3 1 3 解 原式 1 4 3 4 3 2 数 学竞赛 的几种解 题技巧 一 l 3 l 一 姒 于冗贫 日 J L 仰 肝飚 x J 拆 福建云霄 一 中 张绍庆6 例 化简 田 姥厶闷 l l 1 1 丽 而 数学竞赛是思维层次及智力水平的竞争 分析 先分母有理化 再合并同类二次根式 竞 赛 题题 型 新 且 活 难 度 较 大 解 决竞 赛 题 往 解原式 往 感到 不得 要 领 难 以一 FT 这 里 介 绍初 二 数 l i 一 一 i 一 吾 学竞赛的几种解题技巧 供参考 一 1 一 1 3 2 1 根式 二次根式 7巧 用化积 二 次根 式 是初二 数 学 的主要 内容 也是 初 例 7 化简 一 竞 赛的热 点 近几年 初 中数学竞赛 都 出 6 1 0 3 4 1 5 兕 分 析 将分 母先分组 前 两项一 组 后两项 1 1 复 合二 次 根 式 n 可 化为 两 个 简 单 根 一 组 式 的代 数 和 的公式 2 3 二 a a Z b 土 a 4 a萼 2 b3 4 g 4 又 l5 5 n D 一 士 分母可因式分解为 十 其中 n 一 6 k k为正数 冁式 分 母都 除 以 接配 七为 正 复厶二次 根式用直 2 3 3 5 文日 L J 七 K J L l 再 分 母 硎 妣廊 4 2 f 3 f 2 1 2 f 3 2 2 原式产l 2 3 再分母有理化达到目的 解 原 式 丽 等 丽 1 例1化简 舢 希 8 构成 望 杯 初二第 二试 例 8 己知 口 折 下 亍厂 下 三 求三 3 1 的 值 解原 式 生 I三 笔 兰 4 2 一 一 一 一 得 一1 a l 评析 本题连 续应用两 次复合二 次根 式化简 一 I n 2 一 一 1 2抓规 律 分母有 理化 原 317 二 f 一 1 1 3 1 1 1 2 3 3 2 4 维普资讯 二 的整 数部分 2 0 0 1 2 0 0 2 分析 观察分母 T 厕 而 有递增规律 可用分 母有理化抵 消有关项 解 分母有 理化 一 一 厕一 4 2 0 0 0 4 2 0 0 2 4 2 0 0 1 厕一 1 45 2 025 44 1 93 6 1 93 6 20 02 2 025 的整 数部分为 4 3 评析 注 意首项 末项及各抵 消后余下 的项 1 3 灵巧 换 元 例 3求值 2l 1 21 1 2 一 一 而 2 2 2 解设 a 2 2 2 则原式 口2 口4 口l O 丽 斗丽 口 l 2 口 I 4 口2 O 百 夏 专 击 3 a 9 斗 l l a l a l a l a l a a 了 a a a a l l l l l 2求 分式 的值 2 1根据 条件求 分式 的值 是分式 变形 的重要 内 容 其技 巧性 较 强 例 4 已知 口 6 c O 求 蕊1 1 一 a 22南 2 的 值 6 7 c 2 一 c 2 口 一 6 6 一 c 一 解由已知 口 b c O 得 口 6 C a2 b2 c 一 2a b 同 理 b 2 c 2 a 一 2 b c C2 口 一b 2 2a c 原式 一 一 一 0 2 b c 2 a c 2 a b 例 5 已知 a b c O 求 的值 一 一十一 I 1 目 2 a b c 2 b a c 2 c ab 解由 口 6 c 及 6 c 一 a 得 2 口 6 c 2 f 6 c 2 b c 2 b 5 6 c 2 c 2 6 c r 卜 2 c 6 6 c c 6 c b a c a 同理2 6 a c 口 一6 c b 原 式 n2 b 2 C 2 6 一 口 c a 一 6 c b 一 c 6 一c 口 c a2 b ab 一b2 C C2 a c2 b 口一6 6一c c a 一 a b a c b c a b c 乜 b b c c a 口一6 6一c c 一口 评析 本题利用 a 2 b c 及 b c 一 a 先把 第一式变形 再根 据轮换 对称 式规律对其 余二式 同理变形 使 公分母为 6 6 一c c a 实际上 在 竞赛 中 此类题 多出现在选择 填 空 中 可利 用 口 b c 0的条件 用 赋值法解答 轻 而 易举 如 例 4中 口 一 3 b l c 2符合 口 b c O的条件 则 脐 4 9 4 9 9 4 o l 一 一l l 一 例 5 中可 令 a l b 0 C 一l 则原式 去 o 去 1 2 2 活用公 式拆 项 公式 一 1 一 为正整 数 则 n n n n 1 l l l l l l x2 2 x3 3 x4 l I n 1 一 一 一 l 一 2 2 3 n l n n 例 6 詈 是 否 一 定 可 以 表 示 成 l 9 9 8 个 互不 相 同的真 分数的和 并且每 个真分 数的分 母 不超过 4 X 1 0 1 9 9 9年初二 希望杯 解 志 l 1 9 98 X 1 99 9 2 X 1 03 X 2 X l O3 4 X l O 25 维普资讯 此题 的结论 是 可 以 3 平几 面积 问题 初二学 生接 触平几只 一年多 知识面较 窄 竞赛题 出现 平几 问题须运 用基 础知 识及有 关 解题方法 加 以考 虑 面 积 问题 的基 本方法 是 1 直接运用 面积 公式 和性质运 算 2 等积变换 3 割补法 例 7如图 E F G H是正方形 A B C D的内接 四边 形 ZB EG与 C F H 都 是锐角 己知 EG 3 四边 形 E F GH 的面积 为 5 求正方 形 AB C D 的面积 2 0 0 0年全 国初 中数 学竞赛题 解如 图 在正方 形 AB C D 中 过 E F G 分别作对边 的垂线 得矩 形 PQ R 设 A BC D 得 边 长 为 a PQ b QR c 由勾 股 定 理 得 b J 3 一 口 c d 4 一 口 由叉删 S A 腓 s E F S E F s F G SA o F 6 s G H s蠕G H S l A n c D 形 咄 r 2 边 形 聊 则 口 b c 2 5 口 3 一 口 4 4 一 a 1 0 5 a 4 4 口 2 44 即 方 c D 4 4 评析 割 补应 注意 前后 图形 得等积 变换 本题通过 作垂线 割补 得 出 2 边 艇 正 方 c D 形 咄 r 这 是等 积变 换 的基本 方 法 根据 初二 的知识范 围 平 时 同学们 多总结 解题 规 律 激 发学 习兴趣 将 能发现 很 多 的解 题技 巧 26 数 形结合在解 题 中的应用 福建安溪 县东溪中学 陈玉燕 数形给 合 是 中学数 学重要 的思想 之一 数 和 形反 映 了事物 的两 个方 面 数 无形 少 直观 形 无数 难 入微 冈此 在解 决有 关数 的 问题 时 需画 出 图形或 结合 给 出的 图形去 寻求 数之 间 的联 系 在解 决形 的 问题 时 又常 常通 过 数 的 计 算去找 到 图形之 间 的联 系 这种 数形结合 的 思想 是解 决数学 问题 的切 入 点 从而较 易找到 解 题 途径 达 到化 繁 为 简 的 目的 下 面通 过 三 个例子对数 形结合思想 作一 简介 例 1正数 口 b C A B C 满足条件 A b B C C k 求 证 a B b C c A k 第 2 1届全 国数学竞赛 证 明为讨论 方 便 不妨先设 口 b C 则 A B C 根 据 己 知条件 可构造 以 k为 边长 的正 方形 O H 图 1 0 有 S a B b C 图 1 c A 显然 S 正 方 形 所 以 a B bC c A k 例2确 定 k 的最 大整 数值 使二 次方程 2 k Z x b k一1 0有