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Ch7常微分方程数值解法 1引言 2欧拉方法 3龙格库塔法 4一阶方程组与高阶方程初值问题 5收敛性与稳定性 必要性在工程和科学技术的实际问题中 常需要求解微分方程 只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解 而在实际问题中的微分方程往往无法求出解析解 常微分方程数值解法 定理若 连续 并且关于y满足Lipschitz条件 即存在常数L使对于 L为Lip 常数 则问题 1 有唯一解y y x 且y x 在 a b 上连续 在 a b 上可微 且连续依赖与初值 初值有微小的变化而引起解的变化也是微小的 即问题是良态的 本章总假设 1 满足定理中的条件 1欧拉方法 将其改写为 练习 例求差分格式 的局部截断误差首项及其阶数 3龙格 库塔公式 三 三阶Runge Kutta方法 四 四阶Runge Kutta方法 所以大于4阶的公式较少使用 可以证明m级显式R K公式的精度为 4常微分方程组和高阶微分方程的数值解法 一 常微分方程组的数值解法 下列包含多个一阶常微分方程的初值问题 1 称为常微分方程组的初值问题 1 式具有n个未知函数 做如下假设 则 1 式化为 2 只要将以前所介绍的各种求解方法中的函数转化为函数向量 即可得到相应的常微分方程组的数值解法 例 建立求下面方程组的Euler公式 解 令 则上述方程组可表示为 则Euler公式为 高阶微分方程的初值问题可通过变量代换为一阶微分方程组的初值问题 设有N阶常微分方程初值问题 引入新变量Z Z1 Z2 ZN 二 高阶常微分方程的数值解法简介 作变换得 可用方程组的方法求解 例2 求下列高阶微分方程的数值解 解 显然 假设 则 即二阶问题化为微分方程组的初值问题 Gaojiefangcheng mgaojie m functionz gaojie x y z y 2 y 3 y 1 y 2 3 y 3 xy000 10000 09450 20000 17540 30000 23810 40000 27650 50000 28220 60000 24360 70000 14510 8000 0 03420 9000 0 32301 0000 0 7586 functiongaojiefangcheng xspan 0 0 1 1 y0 0 1 1 x y ode45 gaojie xspan y0 x y 1 plot x y 1
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