第四节 激光特性.doc

第四节 激光特性激光和普通光源相比，优点很明确，就是相干性很好、亮度很高。相干性的概念来源于波的干涉，当两列频率相同、偏振方向相同的光在空间相遇，如果相位不同，但是值是确定的，就会出现明暗随空间变化的所谓条纹；如果相位不确定，就不会出现干涉条纹。光学精密测量需要光的干涉性很好；相干光探测有很高的信噪比。所以总是希望有功率越大越好的相干性光源。1.4.1相干性概念衡量光的相干性，常用的参数有相干长度、相干时间和线宽。相干时间就是光通过相干长度的时间，；线宽和相干时间的关系为。所谓相干长度，就是一列光分成两列光后再相遇，能够发生干涉的最大光程差。如图1-15，考虑一个长为的FP干涉仪，光在腔内往返一周回到出发点，经过光程差为，先出发的光和后出发的光相差时间。如果光的相干长度小于，或者相干时间大于，干涉仪的输出就没有明显的强度变化。这就是为什么一般的半导体激光器不能用于FP干涉仪的原因。因为普通的半导体激光器，相干长度只有几个厘米，小于FP干涉仪的腔长。F-P干涉仪需要使用相干性很好的激光器，例如He-Ne激光器。迈克尔孙干涉仪和M-Z干涉仪的情况与此类似。近年来发展光学断层扫描技术（OCT-Optical Coherence Tomography），就是利用了这一原理。 反射镜1反射镜1入射光光程S1光程S2光程差S2图1-15 迈克尔孙干涉仪在量子光学里，相干态定义为满足最小测不准关系的态【参考文献激光物理，卢亚雄，余学才，张晓霞 编著，北京邮电大学出版社，2005年】。在一维情况下，测不准关系取等号为最小测不准关系： （1.4-1）其中为光子动量方差，光子位置方差，通常笼统称为不确定范围。为了说明这个问题，我们回到物理光学双狭缝干涉的情况，那里有一个干涉条件 （1.4-2）式中为线光源的线宽，为光源对两狭缝的张角（图1-21）。现在验证满足干涉条件（1.4-2）的光子满足最小测不准关系。通过两个狭缝到达屏上干涉的光子位于光源对两个狭缝张角的锥形空间内，光子在x方向的最大动量为光子动量 （1.4-3）光子在x方向位置不确定范围为光源的宽度，因此，最小测不准关系为 （1.4-4）狭缝狭缝屏图1-16 双狭缝干涉干涉条件（1.4-2）取“等号”即为上式，取“小于号”表示动量和位置方差之积更小。由于光子的动量，（1.4-1）式还说明，相干条件并不要求光源是数学意义上严格单色（即频率取一个单一值），而是允许频率有一定范围。考虑迈克尔孙干涉仪，设两臂的光程差为。从光源先出发的光子经光程差为延时后和后出发的光子相遇，相当于长度为光程差的光源同一时间发出的光子，所以在光传播方向上光子空间不确定范围就是光程差。光子的动量为，所以动量不确定范围为，因此最小测不准关系为： （1.4-5）所以相干条件要求光源的谱线宽度满足，或者光程差满足。假设光程差，相干条件要求谱线宽度。1.4.2、激光相干性在激光没有出现之前，要获得相干长度为几个厘米的光源，也绝非易事。而气体激光器可以轻而易举得到几百米相干长度，稳频He-Ne激光器可以达到几百公里相干长度。激光器中，气体激光器的相干性最好，固体激光器的相干性比气体激光器差，半导体激光器的相干性最差。所以目前干涉仪大多数还是使用气体激光器，特别是He-Ne激光器。气体激光器输出的单模光，接近于量子光学定义的相干态。实际激光器的相干性，受温度变化、环境振动、大气气流、模式等多方面的影响。为了获得更高相干性的激光，需要进行激光稳频和单模选择技术。激光的良好相干性，在精密长度测量、相干探测、光谱分析等方面开辟了很多用途。1.4.3、激光高亮度 激光的另一个特点是高亮度。所谓高亮度，就是指在垂直于激光方向上，入射到单位面积上的激光能量（或功率）很高。以功率1mW的He-Ne激光为例，光束直径为1mm，功率密度大于100mW/cm2，就已经远远超出了太阳光在地球表面的功率密度。采用调Q技术，可以获得远远超出太阳表面的功率密度值；锁模技术可以获得更高的功率密度。 1.4.4、高光子简并度 从光量子角度，高相干性和高亮度可以统一在一个概念内：高光子简并度。所谓高光子简并度，就是指有大量的光子处于一个状态内。通俗地说，就是大量光子频率相同、传播方向相同，好像数百万只海鸥同时扇动翅膀，准确向同一个方向飞去；准确地说，就是大量光子都满足最小测不准关系（允许频率有很小的不确定范围、传播方向有很小的不确定范围），就像数百万只海鸥扇动翅膀的频率稍有不同，飞行方向在一个角度很小的扇形范围内。作业：1、 编程序求解超越方程的根 2、 已知太阳辐射到地球的最大能量分布在光波长处，用维恩位移定律估算太阳表面温度。3、 黑体辐射能量按照频率分布和波长分布不同，求，并得到维恩位移定律的频率表达式， （）4、 推导（1.27）式。5、 讨论自发辐射对原子的加速情况。6、如下图所示，考虑光在一个反射镜上有反射相移，修改振荡条件（1.1-13）中的第一式。附录1 黑体辐射两个重要定律（a） 维恩位移定律由对波长的导数为零，得到 （1） 得到取极值时波长满足的超越方程 （2）设 ，数值求解超越方程 ，其根为，从而得到维恩位移定理m T=2.898103 (mK) （3）维恩位移定律用于测量恒星和高温物体温度。（b）史蒂芬-玻尔兹曼定律黑体辐射的总能量为 （4）设得到 （5）式中积分为常数，所以 （6） 式中常数史蒂芬玻尔兹曼定理说明黑体辐射总能量与温度四次方成正比。实际物体的辐射能量比黑体辐射低，但仍与温度四次方成正比 （7） 附录2：量子跃迁1. 量子跃迁微扰理论激光器内的重要物理过程是原子、分子在初始入射光的扰动下在不同能量本征态量子之间的跃迁，即受激辐射、受激吸收和自发辐射。基于原子的不同电子态之间的跃迁的激光器称为原子激光器；同理，基于分子之间振动和转动能级之间跃迁的机关器称为分子激光器；半导体激光器有所不同，其跃迁发生在导带和价带之间。上述跃迁过程中所谓扰动，表示原子分子在外部光场下，原子哈密顿量多了一个小项 （1）其中是原子未受扰动时的哈密顿算符。未受扰动时，原子的波函数可以表示为 （2）其中是的第m个本征态 （3）是第m个本征态的能量。这些不同的本征函数构成一个完备正交归一函数族 （4）狄拉克符号记为 （5）（2）式表示一般量子态是各个本征态的线性叠加，但原子也可以只在某一个量子态上。假设初始时原子在一个本征态上，初始波函数为。有外场时，原子中的电子受外场作用，哈密顿算符多了一项。如果外场很小，比小很多，原子的波函数仍然可以表示为本征态的线性叠加 （6）（6）式代入薛定谔方程 （7）得到 （8）上式两边同乘，并积分，利用正交归一（4）式，得到 （9）上式表示在扰动下，初始时处于第m态的原子，在以后任意时刻各阶波函数的系数随时间变化的微分方程组。知道初始时各阶波函数的系数,原则上就能求解任意时刻，从而知道任意时刻原子处于第m态的几率。方程（9）式用逐级求解法求解。所谓逐级求解法，用没有扰动时的初始系数代替方程（9）的右边的，得到的解称为一级近似解，记为：；再用一级近似解代替方程（9）右边的，得到的解称为二级近似解，记为：，.。总的解为各级近似之和： （10）现在假设初始时原子在一个本征态上，则初始系数，代入方程（9）左边，得到得到一级近似解 （11）其中 ，因此 （12）因此一级近似下从态跃迁到态的几率 （13）跃迁速率定义为 （14）当有大量原子时，单位时间从态跃迁到态的原子数目正比于。从（11）和（12）式可以看出，初始时处于m态的原子，在外场扰动下处于m态的几率与密切相关。在矩阵表示中称为跃迁矩阵元。跃迁矩阵元与外场和原子相互作用的机制有光，与跃迁初态波函数和末态波函数的空间对称性有关。2.电偶极跃迁 原子是电中性的，假设外场是电场，原子在电场的作用下产生电偶极矩。如果仅考虑原子中外层电子，则原子在外电场作用下获得的能量，因此电偶极作用下哈密顿算符 （15）电偶极作用下产生的跃迁称为电偶极跃迁。此外，如果考虑电场和原子的电四矩作用，相应跃迁称为电四极跃迁；考虑磁场和原子磁矩相互作用，相应的跃迁称为磁偶极跃迁。当电偶极跃迁为零时，才需要考虑电四极跃迁和磁偶极跃迁；电四极跃迁和磁偶极跃迁比电偶极跃迁弱很多，但四极跃迁在某些情况下有特别应用。激光器中的跃迁几乎都是电偶极跃迁。现在我们进一步假设外场是一个单色场 （16）代入（12），得到 （17）3、跃迁几率时间特性先考察上式与时间有关的因子。考虑外场与原子近共振相互作用，场频率接近于原子频率 (18)从而分母为的项可以忽略 （19）其中，从而得到从n态跃迁到m态几率 （20）上式表明，处于末态的几率是随时间周期变化的，周期为。表明原子在外场的作用下，周期性地分别处于初态和末态。当时，原子处于末态；当时，原子处于初态；在时候，原子波函数既有初态成分，也有末态成分，为初态和末态波函数的线性叠加，也就说原子既处于初态，也处于末态。 （20）式中的时间依赖因子在时间t趋于无穷大时是一个函数：（证明如下：考察极限，当，；当，。因此再考察积分，作变量置换，。所以极限满足函数的定义： 下面再证明积分设，则所以，其中C为待定常数。因为，所以,因此最后得到因此跃迁几率 （21）从而得到跃迁速率 （22）4.电偶极跃迁选择定则 再来看与空间波函数空间分布有关的积分。假设电场是在y方向，则，从而有， （23）此积分是否为零，决定于初态n和末态m的波函数空间对称性。如果哈密顿算符中势函数是空间对称的，即，可以证明本征波函数只能是空间对称的或反对称的。证明如下：设是 的本征态 （24） 且势函数具有空间对称性，则哈密顿算符具有空间对称性。将式（24）作空间反演因此，与具有相同的本征值，所以他们之间最多相差一个常数因子 (25)此式再作空间反演 (26)再将上式代入 (27)因此，从而。当时，波函数具有空间对称性；当时，波函数具有空间反对称性。因此跃迁几率中的空间积分因子中被积函数也只有对称和反对称两种情况。为简单起见，我们来考察波函数只依赖y（一维）的情况，即：（1） 当初态m和终态n具有相同对称性时，被积函数具有反对称性从而（2） 当初态m和终态n具有相反对称性时，被积函数具有对称性从而, 表示不能从m态跃迁到n态，称为电偶极禁戒跃迁（Forbiden）；，表示可以从m态跃迁到n态，称为电偶极容许跃迁（Allowed）；所以电偶极跃迁选择定则（Selected Rules）：初态和末态具有相反的空间对称性。或者：具有相同空间对称性的初态和末态的偶极跃迁几率为零，具有不同空间对称性的初态和末态的偶极跃迁不为零；或者：具有相同宇称的量子态之间的电