SXJM第五部分_微分与差分方程.ppt

5 1量纲分析建模法 在数学的应用中 需处理的往往不是 纯粹的 数 而是反映事物某一特性的度量 用数加单位来表示特性的具体度量 用量纲的概念来表示被度量的特性 量纲分析法是一种有效的物理建模方法 一 量纲 基本物理量 其他物理量均基本物理量经运算导出的 物理量的量纲常记为Dim 物理量 或 物理量 时间 T 基本物理量 质量 M 长度 L 其它力学物理量都可以表示为其组合形式 称这种组合形式为量纲 称为基本量纲 例如 在动力学中 加速度 a dv dt LT 2 因为力F ma 故 F m a MLT 2 部分物理常数也有量纲 中的引力常数K的量纲为 如万有引力定律 部分物理量是无量纲的 称之为纯数字 如 角度 LL 1 L0 尽管角度是无量纲量 但它有单位 弧度 二 单位 SI国际单位制 米 千克 秒 fps英制单位制 英尺 磅 秒 量纲独立于单位 一个模型中单位必须统一 三 量纲齐次性 DimensionalHomogeneity 量纲齐次原则 任一有意义的物理方程必定是量纲一致的 即有 左边 右边 1 对数学模型和模型的解进行量纲一致性检验 2 无量纲化方法减少参数个数 例1 一个学生建立了从扔下石头到听到声音的时间t和洞深h的关系模型 检查模型的量纲是否正确 根据比例系数k的定义有 注意到exp kt 是无量纲量 所以满足齐次性 例2机械震荡运动方程 模型中有参数 m K C 根据量纲齐次性 有 w0 T 1 F MLT 2 K MT 2 C MT 1 引进无量纲量 T w0t X x x0 V v v0 特点 代入原方程 有 X AV F0 其中 因v0 x0w0 w0 原方程变形为 优点 1 减少了参数的个数 2 方程中的变量X V T都是无量纲量 四 量纲分析建模 量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法 是对所设问题有一定了解 在实验和经验的基础上利用量纲齐次原则来确定各物理量之间的关系 例3 单摆运动量纲分析建模 将质量为m的一个小球系在长度为l的线的一端 稍偏离平衡位置后小球在重力mg的作用下 g为重力加速度 做往复摆动 忽略阻力 求摆动周期t的表达式 这是一个动力学问题 考虑所涉及的所有物理量 用量纲的齐次性考虑规律的形式 考虑问题中出现的物理量t m l g 假设它们之间有关式 其中是a1 a2 a3待定常数 l是无量纲的比例常数 从而其量纲表达式为 将 t T m M l L g LT 2代入上式 按照量纲齐次性 有 求解得a1 0 a2 1 2 a3 1 2 代入原式得 BuckinghamPi定理 设有m个物理量q1 q2 qm 而f q1 q2 qm 0 1 是与量纲单位的选取无关的物理定律 X1 X2 Xn是基本量纲 其中n m q1 q2 qm的量纲可表为 矩阵A ai j n m称为量纲矩阵 若A的秩Rank A r 若齐次线性方程组Ay 0 y是m维向量 的m r个基本解为 ys ys1 ys2 ysm T s 1 2 m r 为m r个相互独立的无量纲量 且 F p1 p2 pm r 0 2 与 1 式等价 其中F的形式未知 续例3 单摆运动的抽象 f t m l g 0 设变量关系为 各变量的量纲用基本量纲 L M T 表示如下 t L0M0T1 m L0M1T0 l L1M0T0 g L1M0T 2 根据量纲齐次性 BuckinghamPi定理 可得量纲矩阵为 求解齐次线性方程组Ay 0 y是4维向量 因为矩阵A的秩为3 所以方程有一个基本解 可取为 所以得到 由BuckinghamPi定理 单摆的周期规律为 从中解出t得 例4 航船阻力长度为l 吃水深度h的船以速度v航行 若不考虑风的影响 那么航船受到的阻力f除依赖船的诸变量l h v以外 还与水的参数 密度 粘性系数 以及重力加速度g有关 1 航船问题中涉及的物理量有 阻力f 船长l 吃水深度v 水的密度r 水的粘性系数m 重力加速度g 要寻求的物理关系记为 f l h v r m g 0 1 2 这是力学问题 基本量纲选为L M T 上述各物理量的量纲表为 3 写出量纲矩阵 4 求解齐次线性方程组AY 0 因Rank A r 3 有m r 7 3 4个基本解 可取为 5 给出4个相互独立的无量纲量 2 6 得到简化表达式 F是未定的函数 两式表达了航船问题中各物理量之间的全部关系 为得到阻力f的表达式 由式 1 及式 2 中p4的式子可写出f l2v2rY p1 p2 p3 其中 Y表示一个未定函数 五 相似模型与比例模型 如果在相应的时刻 两个物理现象的相应特征量之间的比值在所有对应点上保持常数 则这两个物理现象称为相似的 这些常数称为相似系数 比尺 它们都是无量纲的常数 飞机 导弹 火箭 船舶的研制 大型水坝的建造 等问题中 由于工程和产品尺寸庞大 结构复杂 造价昂贵 实验通常是在缩小的模型上进行的 从而要解决实验条件如何安排 试验数据如何整理 以及试验结果如何换算等重要问题 量纲分析与相似理论就是解决这些问题的基础 原理和方法 1 由模型和原形的相似准则 确定模型系统的特征量 2 模型试验中 应测定各相似准则中所包的一切物理量 并把它们整理成相似准则 3 将实验所得到的各相似准则之间的关系整理成关系公式 曲线 以便应用到原形中 续例4 物理模拟中的比例模型 构造航船模型 以确定原型航船在海洋中受到的阻力 无量纲量在模型和原型中保持不变的性质 称为量纲不变性 模型中的各物理量 f l v r m m g 原型中的各物理量 f l v r m m g 当无量纲量 成立时 可得 原型航船的阻力f 可由模型船的阻力f及其他有关量算出 应用量纲分析法建立数学模型应注意 1 正确确定模型中所含物理量 2 合理选择基本量纲 3 应根据特定的建模目的恰当地构造基本解 一般 在力学中选取L M T即可 热学问题加上温度量纲 电学问题加上电流强度I 主要靠经验和背景知识 没有一般的方法可以保证得到的结果是正确或有效 量纲分析建模方法有如下优缺点 2 可将无关的物理量去掉 3 可由原始物理量组合成一些有用的无量纲量 4 方法有局限性 PI定理中的等价方程F 0 仍然包含着一些未定函数 参数或无量纲量 5 物理定律中常见的函数 如三角函数sin 指数函数exp 等是无量纲的 不可能用量纲分析法得到 任何建模方法都有局限性 1 不需要专门的物理知识和高深的数学方法 可以得到用其他复杂方法难以得到的结果 动态模型 描述对象特征随时间 空间 的演变过程 分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态 研究控制对象特征的手段 实际问题需寻求某个变量y随另一变量t的变化规律 y y t 直接求很困难 5 2微分方程与差分方程 建立关于未知变量 未知变量的导数 或改变量 以及自变量的方程 建立变量能满足的微分方程 哪一类问题 在工程实际问题中 改变 变化 增加 减少 等关键词提示我们注意什么量在变化 在研究实际问题时 我们常常不能直接得出变量之间的关系 但却能容易得出包含变量导数在内的关系式 这就是微分方程 在现实社会中 又有许多变量是离散变化的 如人口数 生产周期与商品价格等 而且离散的运算具有可操作性 差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁 一 微分方程 凡含有自变量 未知函数及其导数 或微分 的方程 称为微分方程 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程 否则称为偏微分方程 这里只讨论常微分方程 以后所说的微分方程都是指常微分方程 微分方程中未知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶 未知函数及其各阶导数都是线性的微分方程称为线性微分方程 其一般形式为 微分方程的解是指能使微分方程成为恒等式的已知函数 微分方程的通解 含有n个相互独立的任意常数的解 其中n是微分方程的阶数 初值条件 微分方程在t t0时 未知函数及其n 1阶导数的值 微分方程的特解 满足初值条件的解 二 微分方程常用求解方法 在微分方程经典理论中 常常用初等积分法求解微分方程 常见的有 变量分离法全微分法换元法常数变易法参数法积分变换法 降阶法 三 常系数线性微分方程求解方法 n阶线性微分方程一般形式 称方程 3 1 为n阶非齐次线性微分方程 方程 3 2 为n阶齐次线性微分方程 齐次线性方程 3 2 解的性质与结构 函数线性无关和相关 定理n阶齐线性方程 3 2 一定存在n个线性无关的解 且任意n 1个解都线性相关 通解结构 定理 齐次线性方程 定理 非齐次线性微分方程 常系数齐次线性方程的求解 3 5 n阶常系数齐次线性方程 方程 3 5 的特征方程为 3 6 结论 特征根为单根的情况 如果特征方程 3 6 有复根 则因方程 3 5 的系数是实常数 复根将成对共轭的出现 则方程 3 5 有两个复值解 对应两个实值解为 2 特征根为虚根的情况 3 特征根有重根的情况 则方程 3 5 恰有m个相l1对应的线性无关的解 当特征方程 3 6 出现多个不同重根时 每一个根对应的方程 3 5 的线性无关解按上述方法求得 例1 求下面齐次线性微分方程的通解 解 该方程的特征方程为 该方程的特征根为1 单根 2 i 2 i 共轭 3 二重根 特征根1对应的基本解为 特征根为2 i 2 i 共轭 对应的基本解为 特征根3 二重根 对应的基本解为 所以该齐次线性微分方程的通解为 常系数非齐次线性方程的求解 n阶常系数线性微分方程一般形式 当f t 0时 有 称方程 3 8 为与非齐次方程 3 7 相对应的齐次线性方程 常系数非齐次线性方程的求解 由于方程 3 7 的通解是由其对应的齐次线性方程 3 8 的通解与方程 3 7 的一个特解相加构成的 所以对应的齐次线性方程 3 8 的通解可以由前面的方法求出 再求出方程 3 7 的一个特解即可 方程 3 7 的特解求法常用比较系数法 类型I 方程 3 7 有特解为以下形式 k为对应的齐次方程的特征方程F l 0的特征根l的重数 如果l不是特征方程F l 0的特征根 则k 0 解 通解 用比较系数法求一特解 0不是特征根 则方程有形如的特解 通解 先求对应齐次方程的通解 类型 方程 3 7 有特解如下形式 都是次数不高于的多项式 系数待定 k为对应的齐次方程的特征方程F l 0的特征根l a bi的重数 如果l a bi不是特征方程F l 0的特征根 则k 0 例3求方程的通解 设方程的特解形如 解 齐次方程的通解为 原方程的通解为 四 差分方程 定义 设 x0 x1 xn 是一个序列 把该序列中xn与它前面几个xi 0 i n 关联起来的方程 称为差分方程 其中k是与xn有关的以前的项的个数 称为差分方程的阶数 F n xn xn 1 xn k 0 差分方程也常表示成xn解出的形式 xn f n xn 1 xn k xn x n 是差分方程的解 包含k个任意常数的解称为差分方程的通解 x0 x1 xk 1为已知时称为差分方程的初始条件 通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为差分方程的特解 若x0 x1 xk 1已知 则形如xn k f n xn xn 1 xn k 1 的差分方程的解可以在计算机上实现 五 差分方程的常用解法 在实际中 我们希望能求出xn x n 即时刻n的函数表达式 常见的方法有 递推迭代法 母函数法Z变换法 六 线性常系数差分方程的解法 n阶线性常系数差分方程的一般形式为 若f n 0则称序列 xn 为方程 6 1 相对应的k阶常系数线性齐次差分方程 即 称 F l lk b1lk 1 bk 1l bk 0为k阶常系数线性递推关系的特征方程 常系数线性差分方程与常系数线性常微方程有相似的解的结构 定理 齐次线性差分方程 定理 非齐次线性差分方程 若差分方程 6 2 的特征多项式有k个相异实根l1 l2 lk 则差分方程 6 2 的通解为 其中c1 c2 ck为任意常数 若对差分方程 6 2 再给出一组k个初始值 还可以由通解求出满足初始条件的唯一解 常系数齐次线性差分方程的求解 例4求解 解 此差分方程的特征方程为 其特征根为 故其通解为 由初始条件可得F0 0 将F0 0 F1 1代入得 解得 所以 若特征根出现一对共轭复根l1 a bi l2 a bi时 则差分方程 6 2 的通解可表示为 若对差分方程 6 2 再给出一组k个初始值 还可以由通解求出满足初始条件的唯一解 其中 例5求下列n阶行列式dn的值 解 根据行列式性质 有 此差分方程的特征方程为 其特征根为 故其通解为 由初始条件d1 1 d2 0得 解得 所以 若特征根出现k重根 不妨设l1是k的重根 则差分方程 6 2 的解对应于l1的项为其中A0 A1 Ak是k个待定常数 例6求下列n阶行列式dn的值 解 根据行列式性质 有 此差分方程的特征方程为 其特征根为 故其通解为 由初始条件d1 2 d2 3得 解得 所以 常系数非齐次线性差分方程的求解 由于方程 6 1 的通解是由其对应的齐次线性方程 6 2 的通解与方程 6 1 的一个特解相加构成的 所以对应的齐次线性方程 6 2 的通解可以由前面的方法求出 再求出方程 6 1 的一个特解即可 方程 6 1 的特解求法常用比较系数法 类型 方程 6 1 有特解为以下形式 t为对应的齐次方程的特征方程F l 0的特征根l的重数 如果l不是特征方程F l 0的特征根 则t 0 例7求和式 解 设 从则可得 其对应的齐次差分方程为 其特征方程为 其对应的齐次差分方程的通解为 因为1是特征方程的1重根 f n 是n的三次多项式 所以非齐次差分方程有下列形式的特解 代入题上的非齐次差分方程得 于是可得方程组 从而解得 所以原差分方程的通解为 代入初始条件a1 1得 解得C 0 故有 七 用Matlab求微分方程的解析解 命令 dsolve 方程1 方程2 方程n 定解条件1 定解条件m 自变量 在表达微分方程时 用字母D表示求微分 D2 D3等表示求高阶微分 任何D后所跟的字母为因变量 自变量可以指定或由系统规则选定为默认变量t 定解条件可以为初始条件或边界条件 例7求下列微分方程的特解 解 输入命令 yy dsolve D2x 4 Dx 29 x cos 2 t x 0 0 Dx 0 15 t 输出结果为 5 3常微分方程的数值解法 引言简单的数值方法Runge Kutta方法一阶常微分方程组高阶方程微分方程边值问题数值解 在高等数学中我们见过以下常微分方程 1 2 式称为初值问题 3 式称为边值问题 一 引言 在实际应用中还经常需要求解常微分方程组 本节主要研究问题 1 的数值解法 对 2 4 只作简单介绍 考虑一阶常微分方程初值问题 其中 y y x 是未知函数 y x0 y0是初值条件 而f x y 是给定的二元函数 二 数值解的提法 其中L为Lipschitz常数 则初值问题 1 存在唯一的连续解 若f x 在x a b 连续且f满足对y的Lipschitz条件 求问题 1 的数值解 就是要寻找解函数在一系列离散节点x1 x2 xn xn 1上的近似值y1 y2 yn 为了计算方便 可取xn x0 nh n 0 1 2 h称为步长 常微分方程的数值解法有单步法和多步法之分 单步法 在计算yn 1时只用到前一点yn的值 多步法 计算yn 1时不仅利用yn 还要利用yn 1 yn 2 一般k步法要用到yn yn 1 yn 2 yn k 1 1 欧拉 Euler 方法 在x x0处 用差商代替导数 由 得 三 简单的数值方法 同理 在x xn处 用差商代替导数 由 得 若记 则上式可记为 此即为求解初值问题的Euler方法 又称显式Euler方法 Euler方法的几何意义 Euler折线法 例 用Euler方法求解常微分方程初值问题 并将数值解和该问题的解析解比较 解 Euler方法的具体格式 xny xn ynyn y xn 0 00000 20 19230 20000 00770 40 34480 38400 03920 60 44120 51700 07580 80 48780 58240 09461 00 50000 59240 09241 20 49180 57050 07871 40 47300 53540 0624 取h 0 2 xn nh n 0 1 2 15 f x y y x 2y2计算中取f 0 0 1 计算结果如下 xny xn ynyn y xn 1 60 44940 49720 04781 80 42450 46050 03592 00 40000 42680 02682 20 37670 39660 01992 40 35500 36980 01472 60 33510 34590 01082 80 31670 32460 00793 00 30000 30570 0057 由表中数据可以看到 微分方程初值问题的数值解和解析解的误差一般在小数点后第二位或第三位小数上 这说明Euler方法的精度是比较差的 数值解 准确解 h 0 2 y 1 0 2 x h h 3 forn 1 14xn x n yn y n y n 1 yn h yn xn 2 yn yn endx0 0 h 3 y0 x0 1 x0 2 plot x0 y0 x y x y o 若直接对y f x y 在 xn xn 1 积分 利用数值积分中的左矩形公式 此即为Euler公式 设y xn yn 则得 若用右矩形公式 得 上式称后退的Euler方法 又称隐式Euler方法 可用迭代法求解 初值 迭代 k 0 1 因 故当hL 1时 迭代法收敛 2 梯形方法 由 利用梯形求积公式 得 上式称梯形方法 是一种隐式方法 用迭代法求解 初值 迭代 k 0 1 因 故当hL 2 1时 迭代法收敛 由以上分析可以看出 隐式方法的计算比显式方法复杂 需要用迭代法求解非线性方程才能得出计算结果 可采用将显式Euler格式与梯形格式结合使用的方法来避免求解非线性方程 记 再用梯形格式计算 预测 校正 上面两式统称预测 校正法 又称改进的Euler方法 单步法的一般形式为 与f有关 显式单步法形式为 整体截断误差 从x0开始 考虑每一步产生的误差 直到xn 则有误差 称为数值方法在节点xn处的整体截断误差 但en不易分析和计算 故只考虑从xn到xn 1的局部情况 四 单步法的局部截断误差和精度 定义 设y x 是初值问题 1 的精确解 则称 为显式单步法在节点xn 1处的局部截断误差 若存在最大整数p使局部截断误差满足 则称显式单步法具有p阶精度或称p阶方法 注 将Tn 1表达式各项在xn处作Taylor展开 可得具体表达式 Euler方法的局部截断误差 故Tn 1 O h2 p 1 设yn y xn 其中 称局部截断误差主项 即Euler方法具1阶精度 设yn y xn 故Tn 1 O h3 p 2 梯形方法的局部截断误差 局部截断误差主项为 梯形方法具2阶精度 1 Runge Kutta方法的基本思想 由Taylor展式 Tn 1 O hp 1 若提高p 可提高精度 但因 高阶导数计算复杂 故可从另外角度考虑 五 Runge Kutta方法 分析Euler公式及改进的Euler公式 局部截断误差 O h2 局部截断误差 O h3 可用f x y 在某些点处值的线性组合得yn 1 增加计算f x y 的次数可提高阶数 设法计算f x y 在某些点上的函数值 然后对这些函数值作线性组合 构造近似计算公式 再把近似公式和解的泰勒展开式相比较 使前面的若干项吻合 从而获得达到一定精度的数值计算公式 Runge Kutta方法的基本思想 设 ci i ij为待定常数 上面第一个式子的右端在 xn yn 作泰勒展开后 按h的幂次作升序排列 再与初值问题的精确解y x 在点x xn处的泰勒展开式 相比较 使其有尽可能多的项重合 例如 要求 就得到p个方程 从而定出参数ci i ij 再代入K1 K2 Kr的表达式 就可得到计算微分方程初值问题的数值计算公式 若Tn 1 O hp 1 则称其为p阶r级R K方法 上式称为r级Runge Kutta方法的计算公式 当r 1时 就是Euler方法 要使Runge Kutta公式具有更高的阶p 就要增加r的值 下面我们只就r 2推导R K方法 2 二阶Runge Kutta方法 其中c1 c2 2 21待定 上式的局部截断误差为 又 由 利用二元函数的Taylor展开 得 代入Tn 1的表达式 得 即 c1 1 a 2 21 1 2a 要使上式p 2阶 则需 方程组解不唯一 可令c2 a 0 则 满足上述条件的公式都为2阶R K公式 称中点公式 相当于数值积分的中矩形公式 如取a 则c1 c2 2 21 1 即为改进Euler公式 若取a 1 则c1 0 c2 1 2 21 得 例 蛇形曲线的初值问题 令f x y y x 2y2 取f 0 0 1 h 0 2 xn nh n 1 2 15 2阶龙格 库塔公式计算格式 k1 yn xn 2yn2 k2 yn hk1 xn h 2 yn hk1 2yn 1 yn 0 5h k1 k2 x0 0 y0 0 h 2 x 2 h 3 k1 1 k2 y0 h k1 x 1 2 y0 h k1 2 y 1 y0 5 h k1 k2 forn 1 14k1 y n x n 2 y n 2 k2 y n h k1 x n 1 2 y n h k1 2 y n 1 y n 0 5 h k1 k2 endy1 x 1 x 2 subplot 221 plot x y1 x y1 b subplot 222 plot x y x y o subplot 223 plot x y x y o x y1 x y1 b 3 三阶与四阶Runge Kutta方法 当r 3时 R K公式表示为 其中 为8个待定常数 上式的局部截断误差为 类似二阶的推导过程 将K2 K3按二元函数展开 使Tn 1 O h4 得 方程有8个未知数 解不唯一 满足该条件的公式统称为三阶R K公式 其中一个常用公式为 当r 4时 利用相同的推导过程 经过较复杂的计算 可以得出四阶R K公式的成立条件 下列经典公式是其中常用的一个 一阶常微分方程组的数值解法 下列包含多个一阶常微分方程的初值问题 称为一阶常微分方程组的初值问题 六 一阶常微分方程组和高阶微分方程的数值解法简介 引进向量记号 则上述一阶常微分方程组的初值问题化为矩阵形式 它在形式上跟单个微分方程的初值问题形式完全相同 只是函数变成了向量函数 故前面介绍的一切数值方法都适用 只要把函数换成向量函数即可 k1 f xn yn k2 f xn 0 5h yn 0 5hk1 k3 f xn 0 5h yn 0 5hk2 k4 f xn h yn hk3 yn 1 yn h k1 2k2 2k3 k4 6 n 0 1 2 N 四阶龙格 库塔公式 数值求解 狐狸和野兔问题 常微分方程组 在一个生物圈中 只有野兔和狐狸两种动物 记y1为野兔数量 y2为狐狸数量 设有足够的食物供野兔生存 而狐狸只以野兔为食物 模型如下 自变量x 0 15 初值条件为 y1 0 20 y2 0 20 t0 0 t1 15 设置区域y0 2020 给定初值 t y ode23 lot1 t0 t1 y0 求解plot t y 绘图 functionz lot1 x y z 1 y 1 0 01 y 1 y 2 z 2 y 2 0 02 y 1 y 2 求解常微分方程 1 定义函数 2 调用ode23 可化为一阶常微分方程组求解 例如 二阶常微分方程初值问题 引进新的变量 令z y 即可将上述二阶方程化为如下的一阶方程组的初值问题 高阶常微分方程的数值解法 例求下列高阶微分方程的数值解 解 显然 假设 则 即二阶问题化为微分方程组的初值问题 考虑方程 结合下述三种边界条件之一 边界问题的解法 打靶法 有限差分法 7 4 式中 它们分别称为第一 第二 第三边界问题 七 二阶常微分方程边值问题数值方法 1 打靶法 基本思路 将边值问题转化为初值问题考虑 或者说适当选择初始值使初值问题的解满足边值条件 然后用求解初值问题的任一种有效的数值方法求解 以第一边界条件为例 考虑边值问题 取y0 a 考虑初值问题 待定 由数值解法求解得到在处的解 使 这里为给定允许误差界 就停止迭代改进 输出作为数值解 求解非线性方程 若 则得所求数值解 当 该方程可用二分法 正割法或Newton法等来求解 若求得 对第二类边界问题 也可转化为考虑初值问题 7 5 取 对第三类边界问题 仍可转化为考虑初值问题 7 5 取 以为待定参数 以为待定参数 2 有限差分法 则离散化成差分方程 将区间 a b 进行等分 设在 处的数值解为 用中心差分近似微分 即 二阶中心差商 对应的边界条件也离散成 第一边界问题 第二边界问题 第三边界问题 其中为已知函数 若是的线性函数时 f可写成 由常微分方程的理论知 通过变量替换总可以消去 则近似差分方程成离散差分方程为 其中 方程中的项 不妨设变换后的方程为 将以上方程合并同类项整理得方程组 其中只要 则方程组的系数矩阵为弱对角占优的三对角阵 其中 而且还有误差估计 方程组为三对角线方程组 可以用追赶法求解 若不是的线性函数时 所得方程组是非线性组 可以用解非线性方程组的方法求解 例如 可用简单迭代法 Newton迭代法求解 例 用导数的近似计算公式将下列边值问题化为线性方程组的求解 试写出用Seidel迭代法求解的算法 不具体求解 在x1 0 1 x2 0 2 x9 0 9 处的数值解 解 h 0 1 xj jh 设yj y xj 由条件 y0 0 y10 1 代入方程得 于是 可得方程组 5 4微分方程的定性分析 随着科学技术的发展 常微分方程定性分析在各个学科领域已成为必不可少的数学工具 也是数学建模的必备基础理论 一 微分方程定性理论的基本任务和主要研究方法 极少情况下 能够用初等函数或初等函数的积分表示微分方程的解 求微分方程的数值解 解决方法 对微分方程进行定性分析 一般提法 不去积分给定的微分方程 而根据方程右端的函数的性质确定方程的积分曲线在整个区域内的分布状态 微分方程定性分析 基本任务 考虑在有限区域内积分曲线的形状 或研究当时间无限增大时 积分曲线的性态 研究对象 驻定系统 其右端的函数不显含自变量t 称为一阶n维驻定系统 自治系统 动力系统 若微分方程组 例5 2 1单一质点非受迫直线运动满足下方程 得一个二维驻定系统 一般二维驻定系统形式为 存在且唯一 则在三维空间 x y t 中有且仅有一条解曲线通过点 x0 y0 t0 基本思想将空间曲线投影到平面上进行分析 x y t o t0 x y t 解曲线 投影曲线 定义 称平面 x y 为相平面 称解曲线在相平面上的投影为相轨线 相轨线族称为相位图 轨线方程可由原方程 2 消去t而得到 相点的运动方向可由原方程确定 对系统运动的研究归结为对轨线性质的研究 若点 x0 y0 使P x0 y0 Q x0 y0 0 称 x0 y0 为方程 2 的平衡点 二 战斗模型分析 续战斗模型方军队交战 希望为这场战斗建立一个数学模型 应用这个模型达到如下目的 3 计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才能赢得这场战斗 记x t t时刻X方存活的士兵数 y t t时刻Y方存活的士兵数 1 预测哪一方将获胜 2 估计获胜的一方最后剩下多少士兵 有微分方程组 4 战斗持续时间 初始条件为x 0 x0 y 0 y0 模型分析 1 分析方程组 1 变量x 0 y 0 有唯一平衡点 0 0 2 x t y t 都