中山大学数学分析高等代数考研试题集锦(2004-2013年).pdf

20132013 年中山大学数学分析考研真题年中山大学数学分析考研真题 一 一 2424 分 计算下列极限 分 计算下列极限 i设设 1 2 1 1 1 222 n n n n nn x 求求 lim n n x ii lim 1 11 2 nn n xxn其中其中 0 x iii 1 lim 1 d d m di d m m d m i 其中其中 0 d 二 二 2020 分 分 i叙述数列叙述数列 n a收敛的柯西收敛准则并证明之收敛的柯西收敛准则并证明之 ii用柯西收敛准则证明 数列用柯西收敛准则证明 数列 ln 1 3ln3 1 2ln2 1 nn an 趋于无穷大趋于无穷大 三 三 2020 分 证明分 证明 ixxfsin 在在 0 上一上一致连续致连续 ii 2 sin xxg 在在 0 上不一致连续上不一致连续 四 四 1616 分 设分 设 2 1 2 1 1 2 11 n x xx n n 证明证明 n n x lim存在存在 五 五 1010 分 设分 设 2 1 0 nan证明证明 1 1 1 lim 1 n n n a a n 六 六 1010 分 设分 设 10 x求求 1 2 1 k kk xxxS的极值的极值 七 七 1010 分 计算分 计算 22 C yx dyyxdxyx 其中其中C是一条从是一条从 0 1 到到 0 1 不不 经过原点的光滑曲线 经过原点的光滑曲线 1 1 xxfy 八 八 1212 分 计算分 计算 S xydzdxzxdydzyzdxdy 其中 其中S是由是由 1 22 yx三个三个 坐标平面及坐标平面及 22 2yxz 所围立体图形在第一卦限的外侧所围立体图形在第一卦限的外侧 九 九 1212 分 讨论级数分 讨论级数 1 1 sin k k kx 在在 2 0上的一致收敛性上的一致收敛性 十 十 1616 分 分 i分别将函数分别将函数 2 x xf 和和 xx xx xg 1 1 0 1 在在 0按正弦按正弦 Fourier级数展开 级数展开 ii证明证明 sin sin 2 11 nn n n n n 20132013 年中山大学高等代数考研真题年中山大学高等代数考研真题 1 1 设设E为数域为数域 EF 且且E作为作为F上的线性空间 维数为上的线性空间 维数为 m设设V为为 E上的上的n维线性空间维线性空间 证明 证明 V作为作为F上的线性空间维数为上的线性空间维数为 mn 2 2 设设f是是F上线性空间上线性空间 FMn到到F的线性映射 的线性映射 nIf 且对任意且对任意 的矩阵的矩阵 FMBA n 有有 BAfABf 证明 证明 trf 注 注 tr为迹函数 为迹函数 n i ii aAtr 1 3 3 设设 FMBA n nArank 3 0 c 冫0 所围几何体之体积 其 中口 b c 为正常数 六 分氵 s R帚缪数 谣丨 1彘艹 F 的终敛范围 并球某和函数 七 加 设以 f r l 其 中乍 y 2 y 2 变换方稹 丢努 吾 爰 竿 0 使其成为 关于 Cr 的方程 八 10分 判别级数 的收敛性 线性代效 1s O分 l O分 已知方程J 10分 计算刀阶行 求其有理根 0 1 2 1 一 y 1 冖 2l 式 一 列 叱讶叼 泸 一一 一一 冯 冯 乇 组 D 嘟咖 抑 扛 三 第2页 共3页 l 0 1 0 0 f 以 阵 方 设 分 0 四 姒玳 咖 滩 脞 五 10分 设彳 B为刀 矩阵 证明 若 B 0 则 秩 彳J R B n 但0分 设Jf f 唧 为刀 阶实方阵 这里的F表示单位矩阵 w R刀且 1o P 辶 1 证明 l Ff 是实对称的正交矩阵 2 f F仅有荫个互不相同的 特征值 1和l 其中1是刀 1重 的 1是单重的且l o 就是属于 1的特征向量 3 d e t r 1 田0分 设t 是数域F上 维向 量空间 的 个线性变换 艿 且t 卜I x J 0 0 证明 1 x TC玢 冖 j r J线性无关 2 记C 为由万 TCx t H 张成的子空间 记 o t t H D为Ct i r 的基 试求 t 1 关于 的 矩阵 35分 设二次型g 冯 l r z 乇 亻 4冯而 8i r l j r s 4彳 4i r 9凡 对 D求二次型的矩阵 2 将二次型化为标准型 t 3 指出正 负惯性指标与符号差 4 求正交矩阵P 使P丬 P 为对角阵 5 求刀 0分 若C l 1l 表示卜1 玎上所有连续函数的集合 在C 1 l 上定义内积 g f I El g 浊 用Gr a 1n s c h 雨 2 求一个形 如 玢 夕 Di r 2 i r 的 多 项 式 使它 与 所有 低次多 项 式 正 交 七 丿 九 第3页 共3页 中 山 二O 年攻读硕士学 科目 代码 f g T4 科目名称 高等代数 考试时间 1 月 10 日 下 午 学 4 设 是疟 次 域F L的刀次多项i 戈 令 歹 l g g F卜 丨g 贝刂 i 商空间 F V吧 宀 篚 维数等于 5 已知线性变换 R3 则 的特征值为 R3 c j r JP z 石 2z 2艿十 2z 2艿 2y z 对应的特征向量为 则 的若当标准形为 7 实二次 型 i r l x 2 凡 h 九 一6i r z j r s 十2X1X3的符 号 差 等 于 lllII I 8 6 5 一 0一 0 2 3 3 一 r丨 丨 l丨 设 6 位研究生入学考试试题 考 生 须 知 全部答案一律 写在答题 纸 上 答在试题纸上的不得分 请 用蓝 黑色墨水笔或圆珠笔作答 作郢雾胃昃甲尹 犁妒罂l j 重要提示 本试题分为高等代数 数据库两套题目 请报考非信息工程方向考生选择 高等代数 作答 报考信息工程方向考生选择 数据库 作答 选错题目者 不予计分 所造成的后果由考生自 行负责 请在答题纸上注明试题名称 例如 选择 高等代数 者 首先在答题纸写上 高等代数 再 另起一行作答 高等代数试题 一 填空题 每小题10分 只写答案 不写计算过程 请把答案按颀序写在答题纸上 1 设U 伽 M2 F 曰11 口 2 0l l M2 0 l l 十 曰 21 0l 则 十7的维数簧 F 表示数 域F上所 有2阶方阵构 成的F上线性空 间 2 设q G 0 e 2 G 2 l 召3 t O 2D R3 l z 尼 与 q 纟2 召3 互为 对偶 基 则对 孑 y l 宀 丌3 R3 有 尼 兑 3 设以 v 刀初的所有对角元都等于2 当u 川 1时 9 J 其他元都是0 则以的行 列式d e t 等于 考试完毕 试题和草稿纸随答题纸一起交回 8 设 艿 丌 4 2艿3 x 2 4艿 一2 g 石 x 4 t 3 X2 2艿一 2 则它们的首一最大公 因 式 g 设艿 2 2 3J y o 1 5 1 R4 则丌 与y 的夹角Z 艿 y 设 y z J 丌 丿 2z 0 丑 3 则 的正交补 证明题 每小题 10分 写出详细步骤 设犭为数域尸上 刀 矩阵 定义九 F 0F 丌 y 证明 z 丿是单射当且仅当犭 的列向量组线性无关 彳是满射当且仅当 的行向量组线性无关 设 g 是数域尸上的多顼式 羽 g 是 它们的首 一 最小公倍式 是尸上线 性空间 的一个线性变换 证明 k e r k e r g k e r 饲 设 是复线性空间 的一个线性变换 证明 相似于对角矩阵当且仅当 对任意 子空间 都有 子空间 使得 0 氵 4 设彳 B为刀阶实对称矩阵 且B是正定矩阵 证明 存在实可逆矩阵C使得Cr c 和C7 BC 都是实对角矩阵 Cr 表示C的转置 5 设 是 刀维欧氏空间 的一个正规变换 且满足条件 2 刃 0 证明 对任意 y 有 丌H 豸 丨 y 卜 r 表示 的 伴随 变换 艿 表示石 的 长 度 数据库试题 一判断题 判断以下命题的对错 本题共10分 答对每题1分 答错倒扣1分 扣完为止 不 答不给分 l 在保持无损连接性和函数依赖的前提下 任何1NF必定可以通过模武分解达到3NF 2一个关系模式只能有唯一的候选码 但可以有很多主码 3函数依赖是多值依赖的一种特殊情况 即由X Y 必然有X 艹Y 4若属性集Y是X的子集 则X Y 5若一个关系模式达到了3NF 则一定不会发生插入异常 删除异常数据冗佘现象 6任何一个二目关系 即只包含2个列 必然属于BCNF 7若BC A 则B A且C A 8冲突可串行化调度一定是可串行化调度 9两阶段封锁是指 当对一个数据库元素A加锁后 在给A解锁前 事务不能再给其它的数据库 元素加锁 10当构造r e d o 日志的时候 我们只需要在日志中保存事务所作改变的旧值 前映 而非新值 第2页共4页 二按要求写 出s QL语句和 关系代 数表 达 式 共 硐分 l 5题每题4分 15题每题2分 公司员工表e m p 表结构如 下 EMPNo NUMBER 4 员工号 ENAME VARCHAV l 员工姓名 JOB VARCHAIu 9 员工工种 MGR b l UMBE 4 上司的员工号 HIRED川旧 DATE 受雇 日期 SAL b l UMBER 7 2 工 资 COMM NUMBER 7 销售 人员的提成 DEP O NUMBER e m p 表的数据如下 s QL s e 1e c t 卞 f r o m e m p EMPNO ENAME JOB 所属部门编号 外键依赖于 d e p t 表 的主键 MGR HIREDATE s AL COMM DEPTNo 7369s MI 1 7钅99 ALLEN 7521 WARD 7566 J0NEs 7654 MARTIN 7698 BLAKE 7782 CLARK 7839 KINC 78钅4 TURNER 7900 JAMEs 7902 FORD 7934 M111 R 790217 12月 80 769820 2月 81 769822 2月 81 783902 4月 81 769828 9月 81 783901 5月 81 783909 6月 81 17 11月 81 769808 9月 一81 769803 12月 81 756603 12月 81 7782 23 1卢l 82 部门编号 主 键 部 门名称 部 门所在城 市 CLERK s ALEs MAN s ALEs MAN MANAGER s ALEs MAN MANAGER MANAGER PREs IDENT s ALEs MAN CLERK ANALYs T CLERK 0 0 汹 网吼 跏扪 跏 公司部门表d e p t 表结构如下 NUMBER 2 VARCHAR2 1座 VARCHAR2 13 o p 咖 D D De p t 表的数据如下 s QL s e 1e c t 幸 f r o d e p t DEPTNO DNAME LOC 10 ACCOUNTING NEW YORK 20 REs EARCH DALLAs 30 s ALEs CH置CAGo 40 0PERATIONs BOSTON 用SQL语句写出以下查询 1列出s ALES部 门的平均总收入 工资 提成 2列出工资比上司工资高的员工姓名 3列出人数最多的部门名称 注意可能不止一个部门 4求在 CHICAG0工作的员工人数 5求目前还没有员工的部门名称 第3页共4页 1支 2攴 丿 A CD12 试用关系代数表达式写出以下查询 6列出工资超过2000的员工姓名及其工资 7列出 Jo n e s 所在的部门名称 列出工资要比Jo n e s 高 的员工姓名 9列出员工的姓名及其上司的姓名 要求包括没有上司的Ki n g 其上司显示为空值 将 以下s 语句改写为关系表达式 IO s c l e c t e n a m e f r o m e m p d e p t w h e r e l o c Ne w Yo r k 11 s e l e c t c m p n o e n a m e f r o m e m p w h e r e d e p t n o 10 Jn 0n e l Cd e m p n o e n a m e f r o m e m p w h e r e s a l 2000 将以下关系表达式改写为s q l 语句 12 JI e l 臼n d c l t e m p 13 i Qu 9 t a l 呻 e m p l 鼬l l 鼬 e p 把以下s QL语句改写为关系代数表达式 14 s e l e Gt e n a 1n e f r o m e m p w h e r e s a l 1500a n d d e p t n F 0 15 s e l e e n a m e f r o m e m p d e p t w h e r e e m p d e p t n 妃e p t d e p t n o a n d l o G DALLAs 三 证明3NF是2盯的真子集 分 四 证明 如果F中涉及的属性都