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计算题1.袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出3球，求(1)顺序为黑白黑的概率。(2)2只黑球的概率。解 (1) ， (2) 2.从中依次取出4个数排列一起，能组成4位偶数的概率为多少？解 3如果某批产品有中有件次品件合格品，采用有放回及不放回抽样方式从中抽取件产品，问正好有件是次品的概率各是多少？解 有放回抽样： 不放回抽样： 。4.有6张电影票10人轮流抽签，问第1个抽取与第2个人抽取抽到的概率是否相同？如果第 2个人抽到电影票，此时第1个人抽到的概率是多少？ 解 设“第一个人抽到”，“第二个人抽到”，则 = 5.将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15新生中有三名是优秀生，问(1)每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少？(2)3名优秀生分配到同一班级的概率是多少？解 (1) (1) 6.箱中有元件100个，其中一等品90个，二等品10个，现从箱中任取5个元件，试求： (1) 它们都是一等品的概率？ (2) 取得4个一等品和1个二等品的概率？解 (1) 用表示“取得5个一等品”，则 (2) 用表示“取得1个二等品，4个一等品”，则7.一部电梯有8位乘客，电梯从底层出发到10层，乘客在各层下电梯的可能性相同，求电梯在第层停的概率。解 记为电梯在第停的事件，每位乘客不在第层下的概率是，都不下的概率为，从而8.某地有甲乙3种报纸，当地居民25%读甲报，20%读乙报，16%读丙报，10%兼读甲乙两报，5%读甲丙两报，4%读乙丙两报，2%读甲乙丙3报，求 (1) 只读甲报所占的比例。 (2) 至少读一种报纸所占的比例。解 设读甲、乙、丙3种报纸的事件分别为，由已知 ，有 (1) = (2) 9.3 个人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为。问不能将此密码破译的概率是多少？解 设为“第个人破译”则“不能破译密码”即为事件，由于相互独立，有 10.一种设备使用到1000小时不能正常工作的概率为0.05，使用到2000小时不能正常工作的概率为0.10，求已知工作了1000小时的设备能继续工作到2000小时的概率。解 设使用到2000小时能正常工作，使用到1000小时能正常工作，则即有，则11.设某地区成年居民中肥胖者占10%，不胖不瘦者占82%，瘦者占8%，又知肥胖者患高血压病的概率为20%，不胖不瘦者患高血压病的概率为10%，瘦者患高血压病的概率为5%，若在该地区任选一人，发现此人患高血压病，则他属于肥胖者的概率有多大？解 设分别表示居民中肥胖者，不胖不瘦者，瘦者()，居民中患高血压病，则，由全概率公式，有，由贝叶斯公式有 12.设每100个男人中有5个色盲者，而每10000个女人中有25个色盲者，今在3000个男人和2000个女人中任意抽查一人，求这个人是色盲者的概率。 解 抽到一人为男人，抽到的一人为色盲者 则 ，于是由全概率公式有 13.甲、乙、丙三人各射一次靶，他们各自中靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率分别为0.5,0.6,0.8，求下列事件的概率 (1)恰有一人中靶。(2)至少有一人中靶。解 设分别表示甲、乙、丙中靶三个事件，则“恰有一人中靶”，“至少有一人中靶”分别为(1) =(2) =14.据以往资料表明，某三口之家，患某种传染病的概率有以下规律孩子得病=0.6，母亲得病|孩子得病=0.5，父亲得病|母亲及孩子得病=0.4,求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。解 孩子得病，母亲得病，父亲得病 ， ，15.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超 过三次而接通所需电话的概率，若已知最后一个数字是奇数，那么此概率又是多少？解 “拨号不超过3次就接通”的对立事件是“拨号三次都未接通”，设=第次接通电话 当已知最后一位数字是奇数时，所求的概率为P=16.设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为1/3，击伤的概率为1/2，击不中的概率为1/6,并设击伤两次也会导致潜水艇下沉，求施放4枚深水炸弹能沉潜水艇的概率。解 设 “施放4枚深水炸弹击沉一潜水艇”，“施放4枚深水炸弹均未击中艇” “施放4枚深水炸弹恰有一枚击伤潜水艇” 则，17.某校射击队共有20射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手1人，一、二、三、四级射手能通过预选赛进入正式比赛的概率分别为0.9,0.7,0.5,0.2,求任一选手能进入正式比赛的概率。解 设第级选手被选中，任选一名射手能通过预选赛进入正式比赛 =0.64518.甲乙两个盒子里各装有10只螺钉，每个盒子的螺钉中各有1只是次品，其余均为正品，现从甲盒中任取2只螺钉放入乙盒中，再从乙盒中取出2只，问从乙盒中取出的螺钉恰好是1只正品的概率是多少？解 设从甲盒放入乙盒的螺钉中有i只正品 (i=1,2)，从乙盒中取出的2只螺钉为一正一次，则，由全概率公式有 19.5个阄，其中2个阄内写“有”，3个阄内写“无”，5个人依次抓取，问每个人抓到“有”字的概率？ 解 设表示“第个人抓到有字”的事件 (=1,2,3,4,5)，显然 则 类推可算出。20.玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只殘次品的概率分别为0.8,0.1,0.1,顾客购买时，售货员随意取一箱，顾客随机查看4只，若无残次品，则买下，否则退回，试求： (1)顾客买下该箱玻璃杯的概率 (2)顾客买下的一箱玻璃杯中，确实无殘次品的概率解 箱中有件次品 (=0,1,2) ,顾客买下该箱 ，由全概率公式有 ，由贝叶斯公式有 21.已知100件产品中有10件正品，每次使用这些正品时肯定不会发生故障，而在每次使用非正品时有0.1的可能性发生故障。现从这100件产品中随机抽取一件，若使用了n次均未发生故障，问n为多大时，才能有70%的把握认为所取的产品为正品？解 设取出正品，取出非正品，使用n次均无故障，则 ，依题意 即，得22.甲乙2个乒乓球运动员实力相当，若他们连赛数局，问下面哪一种结果的可能性大？ (1)赛3局，甲胜2局；(2)赛5局，甲胜3局 解 这是贝努利概型，因甲乙2个运动员实力相当，故甲胜的概率为 (1) n=3, (2) n=5, , 故 (1)比(2)大23.设某地区历史上从某次特大洪水发生以后在20年内发生特大洪水的概率为80%，在30年内发生特大洪水的概率为85%，该地区已无特大洪水20年了，在未来10年内将发生特大洪水的概率是多少？ 解 令该地区从某次特大洪水发生后20年内无特大洪水，该地区从某次特大洪水发生后30年内无特大洪水，则所求的概率为，且，。24.某工厂由甲、乙、丙三台机器生产同一型号的产品， 它们的产量各占30%，35%，35%，废品率分别为5%，4%，3%。产品混在一起。(1)从该厂的产品中任取一件，求它是废品的概率。 (2)若取出的产品是废品，求它是由甲、乙、丙三台机器生产的概率各是多少？ 解 没分别表示事件“取出的产品分别由甲乙丙机器生产的”，表示事件“取出的产品为废品”。则 由全概率公式 ，由贝叶斯公式 ， ， 25.对以往的数据分析结果表明，当机器调整良好是，产品的合格率为90%，而机器示调整良好时，其合格率为30%，每天机器开动时，机器调整良好的概率为75%。试求已知某日生产的第一件产品是合格品，机器调整良好的概率是多少？ 解 设机器调整良好，生产的第一件产品是合格品 已知 由贝叶斯公式得26.甲乙两人相约在7点到8点之间在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就离开。如果每个人可在指定的一小时内任意时刻到达，试计算二能够会面的概率。 解 设 27.设某家庭有3个孩子，在已知至少有1个女孩的条件下，求这个家庭至少有1个男孩的概率(设生男生女概率皆为0.5)。 解 记至少有1个女孩，至少有1个男孩 28.设有一敌机来犯我领空，现有三门炮同时向敌机射击一弹，各门炮射中敌机的概率分别为0.5，0.6，0,8。敌机中一弹则被击落的概率为0.5，中二弹则被击落的概率为0.8，中三弹则一定被击落，求敌机被击落的概率。 解 设第门炮击中敌机，。敌机中弹。敌机被击落 ，由的相互独立性，可得， ， 由全概率公式得29.若某班有学生20名，其中女生 3名，从班上任选4人支参观，求被选到的女生数的概率分布及分布函数。解 设为被选的女生数，则 30.一辆汽车沿某街行驶，要通过3个红绿灯路口，各个信号显示颜色彼此独立，且红绿灯显示显示时间长短相等，以表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数，试求随机变量的分布律和分布函数。解 由题意，可能的取值为0,1,2,3,以表示第个路口遇到红灯，则，由相互独立，则 则的分布律为0123且的分布函数为31.某射手有5发子弹，射一次命中率为0.9，若命中了就停止射击，若不命中就继续下去，一直射到子弹耗尽，求耗用子弹数的概率分布。解 设耗用子弹数为，则的可能取值为1,2,3,4,5 则 32.设一个人在一年中患感冒的次数是服从参数为的泊松分布的随机变量，假定正在销售的一种新药，对75%的人来说，可将上述参数减小为3，而另外25%的人则是无效的。若某人试用此药一年，在试用期间患了两次感冒，问此药对他有效的概率是多少？解 设表示有效，有由贝叶斯公式 33.设甲市长途电话局有一台电话总机，其中有5个分机专供与乙市通话，设每个分机在1小时内平均占线20分钟，并设各分机是否占线相互独立，问甲乙两市应设几条线路才能保证每个分机与乙市通话时占线率低于0.05？ 解 设随机变量为任一时刻占线的分机数目，由题意，每个分机在任一时刻占线的概率为，且5个分机是否占线相互独立，因此，从而有 设两市间共架设有条线路，即，才能保证占线率低于0.05, 而 故至少要架设3条线路才能保证占线率低于0.05。34.设在独立重复试验中，每次试验中成功的概率为0.5，问需要进行多少次试验，才能使至少成功一次的概率不小于0.9? 解 设需要进行次独立重复试验，在次试验中成功次数，至少成功一次的概率为，因此，令，故至少需要试验4次35.纺织厂女工照顾800个纺锭，每一纺锭在某一短时间内发生断头的概率为0.005(设短时间内最多只发生一次断头)。求在这段时间内总共发生的断头次数超过2的概率。 解 设为800个纺锭在该段时间内发生的断头次数，则，它可近似于参数为的泊松分布，从而有 从而 36.通过点任意作直线与轴交角为，设，求该直线在轴上的截距的概率密度。 解 设直线在轴上的截距，则，而有概率密度为此时，的值域为， 所以37.若且，求。解 。38.设测量某一目标时发生的误差，求(1)测量误差的绝对值不超过30的概率。(2)如果接连测量3次，各次测量是相互独立进行的，求恰有1次误差的绝对值不超过30的概率。(其中) 解 (1) (1) 恰有一次误差的绝对值不超过30的概率为39.自动车床生产的零件长度(毫米)服从，若零件的长度在毫米之间为合格品，求生产的零件是合格品的概率。(其中)解 零件是合格品= =40.某地调查结果表明：考生的外语成绩(百分制)近似地服从天上正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占2.3%，试求考生的外语成绩在60到84之间的概率。(其中)解 设表示考生的外语成绩，由题意：，需求 由，有，故，查表得 ，因此 =0.682641.某工厂生产的电子管寿命(小时)服从N(200，)，若要求，问 应为多少？(已知标准正态分布函数值：)。 解 = 由 =0.95 得=1.645，故42在电源电压不超过200伏，在伏和超过240伏3种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001,0.2假设电源电压，试求：(1)电子元件损坏的概率。(2)电子元件损坏时，电源电压在伏的概率。(其中) 解 设分别表示电源电压不超过200伏，200240伏和超过240伏的事件，表示电子元件损坏，由此看来关键在于求，而，有 (1) 类似可求 由全概率公式： (2)由贝叶斯公式： 43设随机变量的概率分布为X12P 求随机变量的概率分布。解 取值；对应取值 从而的概率分布为 44某种电子元件的寿命的概率密度某总机使用3个这样的元件，求在150小时内，上述3个电子元件都不失效的概率是多少？3个元件都失效的概率是多少？ 解 记第个电子元件的寿命为，3个元件都不失效=，3个元件都失效=45设一电路由3个同种独立工作元件构成，元件寿命服从，仅当3个元件都无故障时，电路正常工作，求电路正常工作时间的分布。解表示第个元件寿命，故46设连续型随机变量的概率密度为，要使求的值。解取，则，令得。47设的概率密度为，求的概率密度。并在服从0,1上的均匀分布时，求的概率。解，故的概率密度为，当。48设随机变量的密度函数为，求（1）系数；（2）解（1）得（2）49设随机变量的密度函数为，求。解。50设随机变量具有概率密度，求的概率密度。解分别记的分布函数为，由于，故当时，当时51某公共汽车站从上午7时起每15分钟发一班车，即在7:00,7:15,7:30,有汽车发出，如果乘客到达此汽车站的时间是在7:007:30的均匀随机变量，试求乘客在车站等候（1）不到5分钟的概率。（2）超过10分钟的概率。解（1）。（2）。52设有80台同类型设备各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能由一个人处理，考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4人维护，每人负责20台;其二是由3人共同维护80台，试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率大小。解按第一种方法，以记“第1人维护的20台中同一时刻发生故障的台数”，以表示事件“第人维护的20台中发生故障不能及时维修”，则知80台中发生故障而不能及时维修的概率为，而即。按第二种方法，以记80台中发生故障的台数，说明后一种情况尽管任务重了，但工作效率反而提高了。53设随机变量的分布函数为，试求(1)系数；（2）落在（-1,1/2）及（1/3,2）内的概率；（3）的概率密度。解（1）由的连续性，有，即（2），（3）54从南郊乘汽车前往北郊火车站，有两条路线可走：第一条穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间（单位：分钟）服从正态分布N（50,100）；第二条沿环城公路走路程较长，但意外阻塞少，所需时间服从正态分布N（60,16），若（1）有70分钟可用，问应走哪条路线？（2）只有65分钟可用又应走哪一条路线？解显然应走能在允许时间内有较大概率及时赶到火车站的路线，设为行车时间（1） 走第一条路线及时赶到火车站的概率走第二条路线及时赶到火车站的概率因此此时应走第二条路线。（2）走第一条路线及时赶到火车站的概率走第二条路线及时赶到火车站的概率因此此时应走第一条路线。55一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1，问同一时刻：（1）恰有2个设备被使用的概率为是多少？（2）至少有3个设备被使用的概率为是多少？（3）至多有3个设备被使用的概率为是多少？（3）至少有1个设备被使用的概率为是多少？解设对每个设备的观察为一次试验，则试验次数为5且每次试验相互独立，于是（1）（2）（3）（4）。56设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（以分计）服从指数分布，其概率密度为，某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开，他一个月要到银行5次，以表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出的分布律，并求出解该顾客在窗口未等到服务而离开窗口的概率为为显然故57有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯，如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是成功一次。（1）某人随机去猜，问他试验成功一次的概率是多少？（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒，他连续试验10次，成功3次，试推断他是猜对的还是他确有区分能力。（设各次试验相互独立）。解（1）可视为古典概型问题（2） 设成功次数为，则，因此能成功3次的概率特别小，所以认为他确有区分能力。58一整数X随机地在2,3,4这3个整数中取一个值，另一个整数Y随机地在2X中取值，试求(X，Y)的联合分布律。解 X，Y可能的取值均为2,3,4由条件概率公式可得 ， ，59设某班车起点站上车人数X服从参数为的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为，且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；（2）二维随机变量（X，Y）的概率分布。解（1）显然给定故（2），60已知，令，试求的联合概率分布。解由知，与相互独立，且，从而的联合分布YX1201/41/211/121/661若（X，Y）的联合概率密度这，（1）确定常数；（2）求。解（1），故（2）62两个相互独立的元件串联成一系统，元件的寿命分别为X，Y，其分布函数均为：，求系统的寿命短于1000小时的概率。解串联的两个元件至少一个损坏时，系统将停止工作，所求概率为。63设二维随机变量（X，Y）的联合密度为（1）求（X，Y）的边缘概率密度；（2）判断X和Y是否相互独立？（3）求。解（1） （2） 由于，所以与不独立 (3)64设随机变量X与Y的联合分布律为 XY12311/8a1/242b1/41/8(1) 求应满足的条件；(2)若X与Y相互独立，求的值。解 (1) 令 ，有 (2)因为若X与Y相互独立，所以 ，由有得。65设(X，Y)在区域上服从均匀分布，试求。解 区域D的面积，设，由于服从D上均匀分布有。66随机变量的分布密度为 求(1)系数；(2)落在内的概率。解 (1)由分布密度的性质可知 (2) 。67从一个装有3个红球，4个白球和5个蓝球的箱中，随机地取出3个球，设X和Y分别表示取出的红球数和白球数，求(X，Y)的联合分布律及X，Y的边缘分布律。解 的联合分布律为，。 XY0123010200300068一个电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位：千小时)，已知X和Y的联合分布函数为：，(1)问X和Y是否独立？(2)求两个部件的寿命都超过100小时的概率。解 (1) X的分布函数和的分布函数分别为： ， 由于知：和独立。 (2) 。69设随机变量X与Y的联合概率密度为 求 (1)，(3)解 的概率密度为，的概率密度为 (1) (2) (3) 。70设X与Y是两个相互独立的随机变量，它们的概率密度分别为，试求：(1)的概率密度；(2)。解 (1)因为与相互独立，所以的联合分布密度为 (2)。71设随机变量均服从N(0,1)，且相互独立，求函数的概率密度。解 由题设的概率密度分别为： ， 因为与相互独立，由卷积公式有= 令，得，即。72设随机变量的概率密度为(1) 问与是否相互独立；(2) 求的概率密度。解 (1) 同理 故与不是相互独立。 (2) ，当且仅当即 当时，即 。73设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从分布，随机地选取4只，求其中没有一只寿命小于180的概率。解 随机地取4只，记其寿命分别为，由题设知它们是独立同分布，记，事件“没有一只寿命小于180”就是所以。74从学校乘汽车到火车站，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是0.4，设为途中遇到的红灯的次数，求的分布律和平均停车的次数。解 易知，故 则的分布律为：01230.2160.4320.2880.064平均停的次数。75一台设备由3大部件组成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3,假设各部件状态相互独立，以表示同时需要调整的部件数，试求。解 由题意可能的取值为0,1,2,3。设表示“第个部件需要调整” 则 ； ； ； 则 ，。76一部电梯有8位乘客，电梯从底楼出发到10楼，每位乘客在1楼，2楼，10楼下电梯是等可能的求电梯平均停的次数。 解 设随机变量为电梯停的次数。的可能取值为1,2,3,，8，表示电梯在第层楼停的次数，取值0,1。 ，又，。77已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1)乙箱中次品数的数学期望；(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率。 解 (1) 设表示乙箱中的次品数，可能取值0,1,2,3。的概率分布为，； (2) 设表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”因此由全概率公式有 =。78有把看上去相同的钥匙，其中只有1把能打开门上的锁，用它们去开门上的锁，钥匙试开一次后不放回(设取每只钥匙是等可能的)，求试开次数的数学期望。 解 显然的可能取值为，且事件前次未打开，第次才打开，故的分布律为， 。 79某种产品周需求量，而商店周进货量是区间上的某一整数，商店每销售1单位商品，获利500元，若供大于求，则削价处理，这时亏损100元，若供不应求，可从外部调剂供应，此时每单位获利300元，为使商店获利期望值不少于9280元，试确定最少进货量。解 设进货量为， ，随机变量为所获利润 ，故期望利润为= 依题意 ，从而得 故期望利润不少于9280元的最少进货量为21个单位，但不超过26个单位。80设随机变量与独立，概率密度分别为： ，求及。解 ，因为与独立，所以 ，。81已知随机向量服从二维正态分布，且和分别服从正态分布和，与的相关系数，设 ，求 (1)的数学期望和方差；(2)与的相关系数；(3) 与是否独立，为什么？解 由条件知 ，则： (1) ；(2) 由 故 ；(3) 由于服从二维正态分布，从而也服从二维正态分布，又，所以与相互独立。82假定每个人生日在各个月份的机会是相同的，求三个人中生日在第一季度的平均值。解 每个人生日在第一季度的概率是，设表示三个人中生日在第一季度的人数，则从而。83一工厂生产的某种设备的寿命(以年计)服从指数分布，概率密度为，工厂规定出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换，若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一设备净赢利的数学期望。解 。84甲、乙两人进行打靶，所得分数分别记为，它们的分布律分别为： 01200.20.80120.60.30.1试评定他们的成绩好坏。解 分；分 故乙的成绩远不如甲。85某种产品即将投放市场，根据市场调查估计每件产品有60%的把握按定价售出，20%的把握打折售出及20%的可能性低价甩出。上述三种情况下每件产品的利润分别为5元，2元和4元，问厂家对每件产品可期望获利多少？解 设表示一件产品的利润(单位：元)，的分布律为： 520.60.20.2(元)86假设国际市场每年对我国某种商品的需求量是随机变量(吨)，服从上的均匀分布。设每售出这种商品一吨可为国家挣得外汇3万元。如销售不出去而屯积于仓库，则每吨需要浪费保养费1万元应组织多少货源，才能使国家收益的期望值最大？ 解 设国家组织吨货源(显然2000)，国家收益为(万元)，是一随机变量： ，则 当吨时，最大，此时国家收益期望值最大。87设在区域上服从均匀分布，问与是否不相关？是否相互独立？解 ， ， ，故， ， 易见 ，故与不独立。88卡车装运水泥，设每袋水泥的重量(以公斤计)服从N(50，)，问最多装多少袋水泥使总重量超过2000的概率不大于0.05。(其中)解 ，设最多装N袋，故最多装39袋。89设随机变量具有概率密度，求。 解 ，同理有，同理有， ，90已知正常男性成人血液中，每一升白细胞数平均是7300，均方差是700，利用契比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在之间的概率。解 假设正常男性成人血液中每升白细胞数为，依题设，即每毫升白细胞数在之间的概率不小于。91.设随机变量的数学期望，方差，试用切比雪夫不等式估计，并在时计算。解 ， 若 则。92在每次试验中，事件发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计，在1000次独立试验中，事件发生的次数在400600次之间的概率。解 设表示“在1000次独立试验中事件发生的次数”，则，由切比雪夫不等式，有。93在独立重复试验中每次试验中，每次试验中事件发生的概率为0.25，是否可用0.925的概率确信在1000次试验中事件发生的次数在之间？解 设随机变量为1000次试验中事件发生的次数，且，则，由切比雪夫不等式 故可行。94在某厂产品中，优等品率为20%，现从该厂的产品中随机地抽出100件，问优等品的件数在18件到25件之间的概率是多少？解 由于产品总数很大，抽出100件不会影响优等品率，因而可以假定抽出的100件产品中，优等品的个数服从二项分布，由于，故可用正态分布来逼近二项分布，即 。95(1)设系统由100个相互独立的部件组成，至少有85%的部件完好时，系统才能正常工作。每个部件的损坏率为0.1，求系统正常工作的概率。(其中)；(2)条件同上，假定系统由个相互独立的部件组成，至少有80%的部件完好时系统才能正常工作，问至少多大才能使系统正常工作的概率不少于95%。(其中)解 (1)设为运行期间系统完好的个数，由拉普拉斯中心极限定理 ； (2)设为个部件中完好部件的个数， = 故至少为25时才能使系统正常工作的概率不小于95%。96对一批产品进行抽样检查，若发现次品数多于10件时则认为这批产品不合格，求应检查多少件产品，才能使次品率为10%的一批产品被认为不合格的概率达到90%？(其中)。解 设应检查件产品，则其中的次品数，则这批产品被认为不合格的的概率为依题意可知，故，代入上式，令得，即，解得，即至少应检查147件产品。97某单位设置一电话总机，共有200个电话分机，设每个电话分机是否使用外线通话是相互独立的。又设每时刻每个分机有5%的概率要使用外线通话。问总机需要多少外线才能以不低于90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用？(其中)。解 每个电话分机使用外线次数服从，200个电话分机使用外线次数服从。设需要条外线，则由中心极限定理知由于，从而有，从而。因此，至少需要14条外线才能以不低于90%的概率保证分机使用外线。98某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以表示随机抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数。(其中)。(1) 写出的概率分布；(2) 利用德莫佛拉普拉斯中心极限定理求被盗索赔户不少于10户且不多于30户的概率的近似值。解 每抽查一索赔户相当于一次试验，且该户是被盗户的概率是20%，故，于是(1)；(2)，于是 。99保险公司为估计企业的利润，需要计算各种概率。若一年中某类投保人中每个人死亡的概率为0.005，现在此类投保人10000人，试求在未来一个中在这些投保人中死亡人数不超过70人的概率。()。解 把每位投保人看作一次试验，死亡的概率因此可看作是次的贝努利试验。把在未来一年中死亡的投保人数记为随机变量，则，从而 ， 有 。100一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977。(其中)。解 设每辆车最多装箱，分别重，且不超载的概率大于0.977,即 从而每辆车最多装多98箱，才能保障不超载的概率大于0.977。101从一批加工的零件中随机取5件，测得其与标准件的误差(单位：mm)为3.1,2.6,2.8,3.3,2.9。(1) 写出总体，样本，样本值，样本容量。(2)求平均值，样本方差，修正样本方差。解 (1)总体为该批零件的大小与标准件的误差。样本为，样本值为，样本容量。(2) 样本均值，样本方差，修正样本方差。102在总体中随机取容量为100的样本，求样本均值与总体均值差的绝对值大于3的概率。(已知)解 总体，则样本均值故。103从正态总体中抽取容量为16的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值小于2的概率。(1)已知=25；(2)未知，但已知样本方差。解 由单个正态总体统计量的分布知，(1) 已知从而，(3) 由单个正态总体统计量的分布知，已知样本方差从而得，所以又，即，所以104设，问至少应抽取多大容量的样本，才能使样本均值与总体数学期望的误差小于0.4的概率为0.95？解 设抽取的样本容量为，由单个正态总体统计量的分布知，由标准正态分布上分位点的定义，有，这里，查正态分布位数表知，从而有，由题设应有，故抽取的样本容量至少应为97。105求总体的容量分别为10,15的两样本均值差的绝对值大于0.3的概率。(其中)。解 分别以表示容量为10,15的两个独立样本的均值，则，由于两个独立样本相互独立，故相互独立，从而有，即， ，故=。106设总体，从此总体中取一个容量为6的样本，设。试决定常数使得随机变量服从。解 因为有，同理，由分布的性质有，故107设随机变量和相互独立，且都服从正态分布，而和分别来自总体和的简单样本，求统计量的概率分布。解 由抽样分布定理，知而则从而由分布的可加性知，由分布的定义可知，故。108设总体人密度函数，是未知参数，是总体 的样本，求的矩估计。解 总体只有一个未知参数 ，令 得109设是总体的样本，求的矩估计。解 由于，110设总体的分布函数为，用矩估计法及极大似然估计法求的估计量。(设样本容量为)解 (1)利用矩估计法 这个分布是泊松分布，所以服从这个分布的随机变量的数学期望为，因此用矩估计法得到估计量；(3) 利用极大似然估计法似然函数为，又，令得即极大似然估计量。111设是来自的一个样本，试求参数的最大似然估计量。解 设是相应于样本的一个样本值，的分布律为，故似然函数为而 令得的最大似然估计值 ，的最大似然估计量为。112设总体为来自总体的样本，当用，及 作为的估计时，哪个最有效？解 ， ，它们都是无偏估计量 ； ， 比较以上3个方差，最小，故它最有效。113一个罐子里装有黑球和白球，有放回地抽取一个容量为的子样，其中有个白球，求罐子里黑球数和白球数之比的最大似然估计量。解 设罐中有白球个，则黑球数为个，从而罐中有个球，从罐中有放回地抽一个球为白球的概率为，为黑球的概率为。有放回地抽个球，可视为服从二点分布01P中抽取一个容量为的样本。于是似然函数为令 得，有是的最大似然估计量。114设和分别是来自总体和的两个样本，的一个无偏估计为，则和为何值时，最有效？解 要使为的无偏估计，应有， ，当 时 ，故 应满足条件 (1) (2)由(1)代入(2)得，令得时 最有效。115设某车间生产的螺杆直径服从正态分布，今随机抽取5只，测得直径分别为22.3,21.5,22.0,21.8,21.4(单位：mm)。求直径均值置信度是0.95的置信区间，其中总体；若未知，则置信区间又如何？解 (1)已知，由得，从而的的置信区间为 (2)未知。由于，于是的的置信区间为。116设总体的概率密度为其中是未知参数。从总体中抽取简单随机样本，记。(1) 求总体的分布函数；(2)求统计量的分布函数；(3)如果用作为的估计量，讨论它是具有无偏性。解 (1)(2) (3) 的概率密度为，所以作为的统计量不具无偏性。117对某型号飞机的飞行速度进行15次测试，测得最大飞行速度如下：422.2,417.2,425.6,420.3,425.8,423.1,418.7,428.2,438.3.434.0,412.3,414.2,431.5,441.3,423.0,根据长期经验，最大飞行速度可认为是服从正态分布，试就上述试验数据对最大飞行速度进行区间估计，其中显著水平，。解 以表示最大飞行速度，则，未知，对，于是，故得置信度为的置信区间为。118某商店为了解居民对某种商品的需要，调查了100家住户，得出每户每月平均需要量为10kg，方差为9，如果这种商品供应1万户试就居民对该种商品的平均需求量进行区间估计()并依此考虑最小要准备多少商品才能以0.99的概率满足需要？(设居民对某种商品的需求量服从正态分布，)解 ，渐近服从正态分布，已知，因此居民对该种商品的平均需求量的置信度为区间为，因，所以至少要准备这种商品，才能以的概率满足需要。119用热敏电阻测温仪间接测量地热，勘探井底温度，重复7次，测得温度(单位：)为：而用某精确方法测得温度为(可看作温度真值)，试问用热敏电阻测温仪间接测温有无系统偏差()？(设热敏电阻测温仪测得的温度总体服从正态分布，)。解 检验假设，方差未知，选用统计量，的拒绝域为，现在统计量的值，而，所以不能否定即没有发现测温仪有系统偏差。120某味精厂生产的味精每袋的重量(单位：g)服从，根据要求每袋重100g，由以往生产经验知的均方差=0.5基本稳定，现从某天包装的味精中随机抽取9袋，测得它们的重量为：，试问这天包装的非专业是否合格？(其中)解 检验假设，由于方差已知，用统计量，即，因，拒绝域 ，经计算接受原假设，认为包装机正常，包装合格。121灯泡的使用寿命服从分布，假定灯泡的额定寿命是，从某批灯泡中随机检验了10只，测得寿命为试问这批灯泡是否合格？(其中)。解 假设，其中拒绝域，临界值，由观测值算得，故原假设不成立，这批灯泡不合格。122某化工厂为了提高某种化学药品的获得率，提出了两种工艺方案，为了研究哪一种方案好，分别用两种工艺各进行了10次试验，数据如下：假设获得率分别服从，问方案乙是否比方案甲显著提高获得率？(取)解 假设检验：，而再检验(单边)假设，拒绝域而 拒绝原假设，认为，乙方案的结果显著提高。123某地旱稻收割根据长势估计平均亩产为310kg，收割时，随机抽取了10块，测出每块的实际亩产量为，计算得，如果已知旱稻亩产量服从正态分布试问所估产量是否正确？(其中)解 假设检验：，当为真时，则，标准化为，从而有，将一次试验结果kg代入统计量，即拒绝，认为估产kg不正确。124已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布，现在测了五炉铁水，其含碳量分别为，问：若标准差不改变，总体平均