有理函数分解成部分分式的几种方法.pdf

襄樊职业技术学院学报 第9 卷第3 期 双月刊2 0 1 0 年5 月 有理函数分解成部分分式的几种方法 李艳萍 健雄职业技术学院基础教学部 江苏太仓2 1 5 4 1 1 摘要 本文介绍了将有理函数分解成部分分式的实根代入法 复根代入法 极限法 求导法等几种简单方法 简捷 有效地解决了有理函数的积分问题 关键词 有理函数 部分分式 待定系数 中图分类号 0 1 7 1文献标识码 A文章编号 1 6 7 1 9 1 4 X 2 0 1 0 0 3 0 0 2 2 0 3 在有理函数积分l 婴婴d x 中 有理函数总能表 o V i x 示成多项式与真分式之和 所以只需考虑罢罂为有 V t x J 理真分式的情况 有理真分式的积分 除极少数可 用直接积分法或换元积分法求解外 大多都是采用 把有理函数分解成部分分式的方法 对于把真分式 分解成部分分式之和这一步骤 教材上常用的方法 是 待定系数法 这种方法比较普遍 但它是通过解 方程组来确定系数 常常运算过程繁琐 计算量较 大 这里介绍有理函数分解成部分分式时确定待定 系数的几种简易方法 一 实根代入法 当分母Q x 含有一次因式的单重因式 即Q x x a x 一曲 x 一曲时 可设 j 辽婪 一垒L 一 垒L L Q x X a l x a 2 x a 两边同乘以x a i l 2 n 得 x a l 器 等 一 t 等 取x a l 代入可得 A i x a 1 器 l 2 r O 即 部分分式中各待定系数A i 都等于把x A 代入原有理函数中 分母中因式x a i 除外 此方法 可称为 实根代入法 例1 分解塾 三兰 X X 成部分分式 解 设垒掣 面2x鬲2 丽3x 1 iAXX1 1 鲁1 鲁 X 一一X I H X lXX 十X 一1 用 实根代入法 可得 A x 簪k x 0 番斋1 南l f x 一X It X 八x l I 脚 B x 1 一2 x 2 3 X l x 3 x I t 弋2xZ丽 3x 1X a I I 一 一1 X x 一1 I x r l C x 一1 T 2 x 2 3 x 1 X 一X i J i 1 2 22 x 2 3 x 1 X 一X r 号拦争卜2 萨1 X X lJl 牟1 L X 者1 寺 x x l 二 复根代入法 当分母Q x 含有二次因式的单重因式时 即 Q x x 2 P l x q 1 x 2 P 2 X q 2 x 2 P 鼻 q n 时 其中 P 2 J 4 q j 0 i l 2 一 n 可设 f 堕 垒 兰 堕 垒竖 旦2 垒叠 曼 Q x X 2 p l x q l x 2 p 2 x q 2 x 2 p 耳 q 两边同乘以x 2 p I x q I i 1 2 n 得 x 2 p 咖 器一地端掣 A 2 x 一B 2 x 2 p j x q 0 A i x B J A i B J X D x 十a 垒姿 里盘f 兰 巳墨 g x 2 p 一 q 设x I 与x 2 是方程x 2 P x q 0 的一对共轭虚 根 取X X 或x x 代人可得 x 2 p i q i I A i l B i i 1 2 n I x 2 哪 收稿日期 2 0 1 0 0 3 0 5 作者简介 李艳萍 1 9 7 0 女 江苏太仓人 讲师 硕士 研究方向 高等数学教学 万方数据 查墨鱼墼金鲤盛查坌盆叁鲍鱼壁查溘 比较等式两边的实部与虚部 即可确定A j 与B i 的值 从而确定待定一次多项式A x B i l 2 n 此方法可称为 复根代入法 例2 化分式可靠为部分分式 解 设南 去 器 用 实根代人法 可得 A 丽1 I 一 一 丁4 方程1 x Z O 的一个虚根为x i 用 复根代入 法 可得 1 x 2 而丽1 丽b 去I 槲 击告号 i B i c 所以B c 一丁2 即B x c 一手x 故面南两 去 宅争 用复根代人法分解有理函数时 有时不一定需 要把虚根求出再代入比较 例3 分解器成部分分式 l l 解 设器 F 丽x 9 鲁 i B 丽x 万C 由实根代入法得A 器I 产2 由复根代入法得B x c 兰 当l f 枷 为了利用x 2 x 3 o 把兰 变成x 的一次式 首 先需要把分母化为单项式 为此 只需将分子分母 同乘以适当的一次式 使分母的二次项和一次项分 别与x 2 x 3 的二次项 一次项相同 显然 这样的一 次式取x 2 即可 x 9 一 x 9 x 2 一X 2 l l x 1 8 订一石i 订6 两一 孓再 F r x 2 x 3 门 k l5 f x 2 x 3 1 5 所以阱c 等I 珏譬学铲I 抽 x l I X x j 卜 一 2 x 3 因此器 音一丽2 x 3 三 极限法 例4 分解瓦 成部分分式 解 设南 斋 鲁 鲁 用 实根代入法 可先求得A 忱8 一x l 一l 4 c 8 x i i 矿 1 一 怎样来确定B 的值呢 将一个恒等式两边同时 施以某种运算仍然相等 因此把上式两边同乘以X 并取一 时的极限 即 l i m 巾巩8 x 2 丽 l i r a 南 鲁 备 所以尚 击一暑 鲁 例5 将有理分式鱼譬筹 分解成部分分 式的和 2 1 解 设等罢 篙斧 叁 B x C D x E 匹可 j 玎一 由实根代人法可得A 鱼岛擎I 矿1 由复根代入法可得B x C 3 x x 3 4 x 2 1 X 由极限法 等式两边同乘以x 并取x 一 时的 极限 则 罂等静 罂 A 器等 罨争 鼍争 得3 l D 即D 2 最后任取x l 代入可得E I 所以等塞擎X 十Z X 十X 四 求导法 L X 矗可1 筹1 x 2 2 x 2 若分母Q x 含有一次因式的k 重因式 即Q x x a k Q x 时 可设 若分母Q 含有一个一次因式或二次因式的二鼍劳2 蠢竺厂 百会芦 釜 鼍蔷 圆 重因式 即含有一个 一a 或 x z p x q z 时 可用极限 等式两边同乘以 x a 得 万方数据 李艳萍 器 A l A 办种 t x a k 器 x a k 1 令专黯 R x P x Q x 是多项式 且x a 不 是Q x 的根 所以R x R x 在x a 的某个领域内 有任意阶导数 让为P x R x n l 2 又x a 是函数R x 的k 重根 所以当n k 时 x a 是R l n x 的根 即R x O 1 式两边同时求在x a 处的1 1 1 阶导数值 n k 则 R 一 x n 1 A 由此可得 A n 南R n 1 x n l 2 例6 分解有理分式兰等成部分分式的 和 3 1 解 设絮等 嘉 x z 南 嘉 x 1 6 x 一1 5 4 x 哥1 芒x 斋1 鲁1 3 2 x 一 贝uA x S x 4 x 一1 l l 2 A 2 x 5 x 4 x 一1 舻1 0 I A 产垡铲L 1 6 A 乒堕铲b 4 A 5 鱼铲b A 6 垡雩 塑k 1 所以脊 击 器 爵 一1 生 垒 L 1 x 一1 3 x 1 2 X 一1 在将有理函数分解成部分分式时 一些特殊情 况还可能用到其他特殊方法 如将有理函数 苎 汗 l X I 分解成部分分式时 可用换元法 设y x 一1 来分解 根据代数学基本定理 有理分式的分母多项式都可 以分解成实系数的一次和二次因式的乘积 那么有 理函数分解成部分分式之和 就可以根据具体情况 综合运用待定系数法和以上方法来确定部分分式的 待定系数 参考文献 1 1 同济大学应用数学系 高等数学 上册 f M g s g 北京 高等教育出版社 2 0 0 3 2 1 1 2 1 8 2 白俄罗斯 吉米多维奇 吉米多维奇数学分析习题集 M 第3 版 费定晖 周学圣 译 济南 山东科学技术出版社 2 0 0 5 3 3 王雅玲 微分法分解有理函数 J 北京轻工业学院学报 2 0 0 1 6 2 1 2 4 责任编辑 罗纯 S e v e r a lM e t h o d st oR e s o l v eR a t i o n a lF u n c t i o ni n t oP o r t i o nF r a c t i o n L IY a n p i n g D e p a r t m e n to fP u b l i cC o u r s e s J i a n x i o n gV o c a t i o n a la n dT e c h n i c a lC o l l e g e T a i e a n gJ i a n g x i2 1 5 4 11 C h i n a g d 吣t r a e t T h i sp a p e rm a i n l yi n t r o d u c e sS Om es i m p l em e t h o d so f r e a lr o o t s s u b s t i t u t i o n c o m p l e xr o o t s s u b s t i t u t i o n l i m i t a n df i n d i n gd e r i v a t i v e sw h i c hc a nr e s o l v er a t i o n a lf u n c t i o ni n t of r a c t i o n s T h ea u t h o rt h i n k st h e m e t h o d sC a ns o l v et h ep r o b l e mo fr a t i o n a lf u n c t i o n a li n t e g r a le f f e c t i v e l y K e yw o r d s r a t i o n a lf u n c t i o n p o r t i o nf r a c t i o n u n d e t e r m i n e dc o e f f i c i e n t 万方数据 有理函数分解成部分分式的几种方法有理函数分解成部分分式的几种方法 作者 李艳萍 LI Yan ping 作者单位 健雄职业技术学院 基础教学部 江苏 太仓 215411 刊名 襄樊职业技术学院学报 英文刊名 JOURNAL OF XIANGFAN VOCATIONAL AND TECHNICAL COLLEGE 年 卷 期 2010 09 3 被引用次数 0次 参考文献 3条 参考文献 3条 1 王雅玲 微分法分解有理函数 2001 06 2 吉米多维奇 费定晖 周学圣 吉米多维奇数学分析习题集 2005 3 同济大学应用数学系 高等数学 2003 相似文献 10条 相似文献 10条 1 期刊论文 蔡霖 化有理函数为部分分式的一种公式法 内江科技2010 30 1 根据有理函数及其导数性质 用微分法把有理函数分解为部分分式的和 此方法克服了初等恒等变换法通过解方程组确定系数的运算过程繁锁 计算 量大的缺点 2 期刊论文 石卫国 SHI Weiguo 导数在化有理函数为部分分式中的应用 安康学院学报2008 20 6 根据有理函数及其导数性质 用微分法把有理函数分解为部分分式的和 此方法克服了初等恒等变换法通过解方程组确定系数 运算过程繁锁 计算量 大的缺点 3 期刊论文 王怡 有理函数分解成部分分式的方法简介 宁德师专学报 自然科学版 2003 15 2 介绍求待定系数的实根代入法 复根代入法 极限法等一些简单方法 能更快捷有效地解决有理函数的积分问题 4 期刊论文 童宏胜 TONG Hong sheng 确定有理函数积分中待定系数的方法研究 甘肃联合大学学报 自然科学版 2007 21 2 有理函数的积分是不定积分中的一种重要类型 在大学数学中占有重要地位 将有理函数分解为部分分式的难点就是确定部分分式中的待定系数 本文 系统地介绍了确定有理函数积分中待定系数的各种方法 综合运用这些方法 能快速 有效地将有理函数分解成部分分式 从而可方便地解决一类有理函数 的积分问题 5 期刊论文 任京男 有理函数在极点邻域内的罗朗展开式的一个应用 上海海运学院学报2002 23 2 在数学学习中经常要将有理函数分解成部分分式之和 笔者在此指出了罗朗级数的系数与有理函数分解的部分分式之和的系数之间的关系 并举出应 用实例 6 期刊论文 王雅玲 WANG Ya ling 微分法分解有理函数 北京工商大学学报 自然科学版 2001 19 2 根据有理函数及其导数性质 用微分法把有理函数分解为部分分式的和 给出了一次因式所对应的部分分式各系数和二次质因式前两对系数的计算公 式 此方法克服了初等恒等变换法通过解方程组确定系数 运算过程繁琐 计算量大的缺点 也体现了高等数学知识的连贯性 7 期刊论文 赵晓艾 Zhao Xiao ai 不定积分中有理函数的分解 贵阳学院学报 自然科学版 2008 3 2 有理函数的积分是不定积分中的一种重要类型 对这类积分常用的方法是先把有理函数分解为部分分式 然后利用待定系数法和赋值法求解 有理函数 积分的重点和难点就是对有理函数进行有效的分解 通过实例介绍有理函数的分解技巧 从而可方便地解决这类有理函数的积分问题 8 期刊论文 刘国兴 魏涛 一种求解有理函数积分的简便方法 科技信息2009 2 求解有理函数的积分 通常的方法是将真分式分解为部分分式之和 对于部分分式中的系教一般都是用待定系数法来求 但计算比较复杂 本文介绍了 一种比较简单的求一次因