高中数学 第一章 坐标系 1.2 极坐标系 1.2.1 极坐标系的概念 1.2.2 点的极坐标与直角坐标的互化课件 北师大版选修44.ppt

1 2极坐标系 1 2 1极坐标系的概念1 2 2点的极坐标与直角坐标的互化 一 二 一 极坐标系的概念1 极坐标系的建立如图1 在平面内取一个定点o 叫作极点 从o点引一条射线ox 叫作极轴 选定一个单位长度和角的正方向 通常取逆时针方向 这样就确定了一个平面极坐标系 简称为极坐标系 一 二 2 点的极坐标的规定 1 如图1 对于平面内任意一点m 用 表示线段om的长 表示以ox为始边 om为终边的角度 叫作点m的极径 叫作点m的极角 有序实数对 叫作点m的极坐标 记作m 当点m在极点时 它的极径 0 极角 可以取任意值 2 为了研究问题方便 极径 也允许取负值 当 0时 点m 的位置可以按下列规则确定 作射线op 使 xop 在op的反向延长线上取一点m 使 om 这样点m的坐标就是 如图2所示 一 二 名师点拨建立极坐标系的要素是极点 极轴 单位长度 角度单位和它的正方向 四者缺一不可 极轴是以极点为端点的一条射线 它与极轴所在的直线是有区别的 极角 的始边是极轴 它的终边随着 的大小和正负而取得不同的位置 的正方向通常取逆时针方向 的值一般是以弧度为单位的量数 点m的极径 表示点m与极点o之间的距离 om 因此 0 但必要时 允许 0 一 二 二 点的极坐标与直角坐标的互化1 互化的前提条件如图 建立一个平面直角坐标系 把平面直角坐标系的原点作为极点 x轴的正半轴作为极轴 建立极坐标系 并在两种坐标系中取相同的单位长度 一 二 2 互化公式设点m是平面内的任意一点 它的直角坐标是 x y 极坐标是 0 于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表 在一般情况下 由tan 确定角时 可根据点m所在的象限取最小正角 一 二 名师点拨将直角坐标化为极坐标时确定 和 的值的方法由 2 x2 y2求 时 不取负值 由tan x 0 确定 当x 0时 角根据点 x y 所在的象限取最小正角 当x 0时 tan 没有意义 这时又分三种情况 1 当x 0 y 0时 可取任何值 2 当x 0 y 0时 可取 一 二 做一做1点p的直角坐标为 则它的极坐标可表示为 答案 b 一 二 做一做2在极坐标系中 极坐标化为直角坐标为 a 1 1 b 1 1 c 1 1 d 1 1 答案 d 一 二 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 任意一个点都有唯一的极坐标 2 若 1 2 0 1 2 则点m1 1 1 与点m2 2 2 关于极点对称 探究一 探究二 探究三 思维辨析 极坐标系中点的表示 例1 在极坐标系中 作出以下各点 解 如图 a b c d四个点分别是唯一确定的 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟由极坐标确定点的位置的步骤1 取定极点o 2 作方向为水平向右的射线ox为极轴 3 以极点o为顶点 以极轴ox为始边 通常按逆时针方向旋转极轴ox确定出极角的终边 4 以极点o为圆心 以极径为半径画弧 弧与极角终边的交点即是所求点的位置 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1在同一个极坐标系中 画出以下各点 解 如图 探究一 探究二 探究三 思维辨析 对称性问题 例2 在极坐标系中 点a的极坐标是 则 1 点a关于极轴对称的点的极坐标是 2 点a关于极点对称的点的极坐标是 3 点a关于过极点且垂直于极轴的直线对称的点的极坐标是 限定 0 0 2 解析 如图 在对称的过程中极径的长度始终没有变化 主要在于极角的变化 另外 我们要注意 极角是以x轴正向为始边 按照逆时针方向得到的 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟在极坐标系中 点 关于极轴所在直线对称的点的极坐标为 2k k z 关于极点对称的点的极坐标为 2k k z 关于过极点且垂直于极轴的直线对称的点的极坐标为 2k k z 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2已知极坐标系中 限定 0 0 2 则点a关于射线op的对称点的极坐标为 探究一 探究二 探究三 思维辨析 点的极坐标与直角坐标的互化 例3 1 分别将下列点的直角坐标化为极坐标 0 0 2 分析 直接利用点的直角坐标和极坐标的互化公式进行转化 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1 点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件 1 极点与直角坐标系的原点重合 2 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合 3 两种坐标系的单位长度相同 2 将点的极坐标 化为点的直角坐标 x y 时 运用到求角 的正弦值和余弦值 熟练掌握特殊角的三角函数值 灵活运用三角恒等变换公式是关键 3 将点的直角坐标 x y 化为极坐标 时 运用公式 时 要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限 如果允许 r 再根据终边相同的角的意义 表示为 2k k z即可 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3 1 直角坐标为 的点的极坐标为 限定 0 0 2 2 已知点m的极坐标为 5 且tan 则点m的直角坐标为 探究一 探究二 探究三 思维辨析 x 5cos 3 y 5sin 4 点m的直角坐标为 3 4 探究一 探究二 探究三 思维辨析 因未正确理解点的极坐标表示而致误典例导学号已知点a的极坐标是 则使 0 10 6 的极坐标是什么 探究一 探究二 探究三 思维辨析 纠错心得在极坐标系中 极坐标 与 2k k z 表示同一个点 极坐标 与 2k 1 k z 表示同一个点 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练在极坐标系中 下列各点中与不表示同一个点的是 答案 c 12345 1 在极坐标系中 与点关于极点对称的点的一个坐标是 答案 a 12345 解析 如图 由题设 可知a b两点关于极点o对称 即点o是ab的中点 又 ab 4 abc为正三角形 答案 b 12345 3 在极坐标系中 已知直线l过点a 则直线l与极轴所在直线的夹角