教案-空间中的轨迹问题.doc

课题：二轮复习专题空间图形为载体的轨迹问题设计思想近几年的高考数学试题，设置了一些数学学科内的综合题，即所谓的“在知识网络交汇点处设计试题”. 以空间图形为载体的轨迹问题正是在这种背景下登场的.此类问题将平面几何，立体几何，解析几何巧妙而自然地交汇在一起，涵盖的知识点多，数学思想和方法考查充分,解答起来颇感困难，它不仅要求学生对立体几何的概念、定理、图形性质了然于胸，还要求学生的思维在立几和解几中不断切换。通过本节课教学使学生体会解题过程中的思维机制，培养学生对数学的兴趣，提升学生的思维品质和创新能力。教学目标帮助学生熟悉在知识网络交汇处呈现的问题，提高学生处理综合问题的心理素质和思维能力。教学重点以空间图形为载体的轨迹问题的常见处理方法：轨迹交集法；空间问题向平面问题转化；建系运算等。教学过程策略1 轨迹交集法例1.(2006北京卷) 平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则点的轨迹是（A）一条直线 （B）一个圆 （C）一个椭圆 （D）双曲线的一支分析：“定点的动直线与垂直”这个条件意味着：动直线的轨迹为与直线AB垂直的一个平面；“且交于点”意味着：平面与平面两个轨迹的交集，即直线.注意：解决本题要进行适当的逻辑推理，不能仅凭直观的想象.例2已知平面平面，直线，点，平面间的距离为8，则在平面内到点P的距离为10且到直线的距离为9的点的轨迹是（ ）（A）一个圆 （B）两条直线 (C)四个点 (D)两个点 要点： 从定性看： 轨迹上的点符合三个条件：到P点的距离为10；到直线的距离为9；在平面内.条件的点的轨迹是以P为球心，半径为10的球面；符合条件的轨迹是以直线为轴，底面半径为9的圆柱面.而所求轨迹又要符合条件，故所求轨迹在球面被平面所截得的圆上，也在圆柱面被平面所截得的两条平行直线上. 从定量看 设点P在平面上的射影是O，则OP是平面， 的公垂线段，OP=8；在平面 内到点P的距离为10的点到点O的距离等于6，所以点的轨迹是以O为圆心，以6为半径的圆； 在平面 内到直线的距离等于9的点的集合是两条平行直线m,n，它们到点O的距离等于，所以，直线m,n与这个圆均相交，共有四个点,因此所求的点的轨迹是四个点，应选C. 注意：本题的思考方法相当于解析几何中的交轨法，首先想象出符合条件的点集分别与平面 的交集，化归到平面 后，再确定交集的位置关系，体现了分解与组合的思想. 策略2 空间问题向平面问题转化法（1）空间的线线垂直转化为平面内的线线垂直例3在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是棱CD的中点，点O是侧面AA1D1D的中心，若点P在侧面BB1C1C及其边界上运动，并且总是保持，则点P的轨迹是 要点： AM为面AC内的线段，OP为面AC的斜线，依据三垂线定理，可将转化为OP在面AC内的射影OP垂直的问题.所以，P的轨迹是线段BB1（2）空间距离转为平面距离后用定义求解例4. 04年北京理科（4）如图，在正方体中，P是侧面内一动点，若P到直线BC与直线的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是( ) （A） 直线 (B) 圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线分析；本题关键：点P到直线的距离转化为PC1,从而将问题转变为：在平面BCC1B1内，到定点C1与到定直线BC距离相等的轨迹问题.应选B思考：如何修改条件，使P的轨迹所在的曲线为椭圆？如何修改条件，使P的轨迹所在的曲线为双曲线？例5 （2004 重庆）若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与ABC组成图形可能是分析：在三棱锥A-BCD中作AO底面BCD于O，连接OC，在AC棱上找一点Q，使Q到底面的距离等于到棱的距离. 在中作QEOC于E，在ABC中作QMAB于M，所以，QE=QM 在线段BQ上任取一点P，作PF底面BCD于F, PN棱AB于N，则有PNQM, PFQE所以， 因此，PF=PN 即线段BQ上的任取一点到底面的距离等于到棱AB的距离，于是可排除A,B.又因为QM=QEQC, 于是又可排除C.故应选D 解法2:过E作EKBC于K,连QK.则QKBC （3）转为平面问题后求轨迹方程来确定轨迹例6 .在四棱锥中，平面, 平面,底面为梯形，且,满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹为（ ）（A）圆（B）不完整的圆（C）抛物线（D）抛物线的一部分分析：平面,平面,且,可得,即，在平面中如图建系，则,设，有，整理得，由于P不在直线AB上，故此轨迹为一个不完整的圆。选B小结：以空间图形为载体的轨迹问题的常见处理方法：（1） 轨迹交集法：先求出动点所要满足的各约束条件所对应的轨迹，再求交集。（2） 空间问题向平面问题转化：利用空间距离的定义或关于平行垂直位置关系判定的定理将立体几何问题转化为平面几何问题，之后再利用定义法或求轨迹方程的方法求解。练习1.(2004 天津卷)如图，定点A和B都在平面内，定点，C是内异于A和B的动点，且，那么，动点C在平面内的轨迹是( ) （A） 一条线段，但要去掉两个点 (B) 一个圆，但要去掉两个点（C） 一个椭圆，但要去掉两个点 (D) 半圆，但要去掉两个点 分析：连接BC,AB.且PC在平面内的射影为BC,由三垂线定理逆定理知：.即动点C在平面内的轨迹是以AB为直径且除去A,B两点的圆.2在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并总是保持,则动点P的轨迹是（ ）（A）线段B1C （B）线段BC1 （C）BB1中点与CC1中点连成的线段 （D） BC中点与B1C1中点连成的线段 分析： AP必在过A点且与BD1垂直的平面上 点P在侧面BCC1B1及其边界上 所以，P点必在线段B1C上.3在正方体中，为的中点，点在其对角面内运动，若总与直线成等角，则点的轨迹有可能是（ ）（A）圆或圆的一部分 （B）抛物线或其一部分（C）双曲线或其一部分 （D）椭圆或其一部分分析：总与直线成等角，所以轨迹为一个圆锥面，又因为点在其对角面内运动，的轨迹即为圆锥面与对角面的交线，所以应选A.4. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且，点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则P点的轨迹为（ ）A. 抛物线 B. 圆 C. 双曲线 D.直线 过点P作PFAD于F，因为面AD1面AC所以，PF面AD1，在面AD1内作FEA1D1于E，连EP,则EPA1D1 (三垂线定理) 所以，EP即为点P到直线的距离, 而 因此，P点的轨迹为以M为焦点，以AD为准线的抛物线. 注：本题利用线面垂直关系及勾股定理，将空间的几何量关系“点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为1”转化到同一平面内：在平面ABCD内，动点P到点M的距离等于动点P到直线AD的距离.5若三棱锥的侧面内一动点P到底面的距离与到棱的距离相等，则动点P的轨迹与三角形组成的图形可能是（ D ）A. 圆 B. 抛物线 C. 椭圆 D. 双曲线6已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的表面上与点A距离为的点的