根的判别式应用.doc

22.2.3 根的判别式的应用教材分析：1、地位和作用：本节内容是在一元二次方程的解法的基础上进行教学的，是对公式法的完善与发展。利用根的判别式可以不解方程而直接判断一元二次方程的根的情况。此类问题教材中并没有单独的知识讲解，只是在推导求根公式过程中发现的值与一元二次方程的根的情况有关系，对其进行了简要的分类说明，考虑到该知识点对于二次函数、一元二次不等式等后继知识的学习具有十分重要的意义，特在此作为一节专题课对该知识点进行讲解。2、重点和难点本节内容的教学重点是用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；教学难点是弄懂为什么可以用判别式判别一元二次方程根的情况；突破难点的关键在于结合平方根的性质理解求根公式。学生情况分析及应对策略：学生在上一节推导求根公式以及用公式法解一元二次方程的过程中，对一元二次方程根的不同情况已经有了初步认识，对分类讨论的思想方法也不陌生，这为本节内容的教学提供了有利条件。教学中可以先让学生解几个根的情况不同的方程，以获得更充分的感性认识，然后结合求根公式及b2-4ac的符号情况进行讨论，从而得出结论。教师应充分调动学生的参与积极性，尽量通过他们自己的探究与思考得出结论，并注意适时引导。设计理念教学活动的设计以学生为主体，先通过练习获得感性认识，然后经过观察、思考、交流、讨论等活动，主动获取知识；强调通过学生积极主动的参与，充分经历知识的形成、发展与应用的过程，在这个过程中掌握知识，形成技能，发展思维；在整个教学活动中，学生是学习的主人，教师是学生学习的组织者与引导者。教案设计：教学目标1、知识与技能：了解一元二次方程根的判别式的意义，理解为什么能根据它判断方程根的情况；能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根以及两个实数根是否相等。2、过程与方法：经历一元二次方程根的判别式的意义及作用的探究过程，体会分类讨论和转化的思想方法，感受数学思想的严密性与方法的灵活性。3、情感态度价值观：通过对根的判别式的意义及作用的探究，培养学生对科学的探索精神和严谨的学习态度。教学重点一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等教学难点根的判别式可以判别一元二次方程根的情况的理由教学活动设计师生活动设计说明活动1：创设情境，提出问题1、用公式法解下列方程：（1）x2+4=4x ；（2）x2+2x=3 ；（3）x2-x+2=0.2、发现问题：观察上面三个方程的根的情况，你有什么发现？3、提出问题：（1）一般的，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？它何时没有实数根？（2）为什么说方程根的情况是由b2-4ac 决定的？活动2：师生合作，归纳提升由上面的讨论可见，一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的情况由b2-4ac来决定。因此，我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式。通常用符号“”（希腊字母）来表示，读做“得尔塔”，即=b2-4ac。思考：你能说出一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的情况具体有哪几种，又是如何判别的吗？结论1 一般的，一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)当0时，有两个不相等的实数根；当0时，有两个相等的实数根；当0时，没有实数根。这个结论告诉我们，不解方程，只要算出一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式的值，就可以由它的符号直接判别方程根的情况。活动3：应用迁移，发展能力例题1 不解方程，判别下列方程根的情况：（1）；（2）；（3）.解 （1）原方程可变形为5x2-3x-2=0，因为（-3）2- 45（-2）0，所以，原方程有两个不相等的实数根。学生回顾上面的解题过程，总结判别一元二次方程的根的情况的步骤：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式=b2-4ac是针对一般形式而言的，所以，不解方程，判别一元二次方程的根的情况的一般步骤为：一化（将一元二次方程化为一般形式）；二算（确定a、b、c的值，算出的值）；三判断（根据结论1判别方程根的情况）。活动4：逆向思考，拓展延伸问题：上面的结论1中共有三个命题，你能分别说出它们的逆命题吗？它的逆命题也是真命题，从而可以得到结论2.结论2 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，当方程有两个不相等的实数根时，0；当方程有两个相等的实数根时，0；当方程没有实数根时，0。例题2 已知关于x的方程x23x + k = 0，问k取何值时，这个方程有两个相等的实数根?解：方程有两个相等的实数根， = 0，即 (3)2 4k = 0, 解得k=，k=时，方程有两个相等的实数根。变式：已知关于x的方程x23x + k = 0，问k取何值时，这个方程有两个实数根?解：方程有两个实数根， 0，即 (3)2 4k 0, 解得k ，k时，方程有两个相等的实数根。活动5：课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？本节课的主要内容：（1）、一元二次方程根的判别式的意义；（2）、由根的判别式的符号判断一元二次方程根的情况（即结论1）；（3）、由一元二次方程根的情况判断根的判别式的符号（即结论2）。备选练习：1、不解方程，判别下列方程根的情况：x(x +1)=3 .2、已知方程ax2+bx+c=0(a0)中，a和c异号，试证明：此方程必有两个不相等的实数根。教师出示问题，学生独立完成.学生观察得出：三个方程的根的情况是不同的，其中（1）有两个相等的实数根，（2）有两个不相等的实数根，（3）没有实数根.教师引导学生思考上述方程根的情况不同的原因，尝试回答该问题：请学生结合自己的理解，就上述问题的答案在小组内进行讨论、探究，然后教师组织全班进行交流，关键让学生讲清每个结论的理由。学生思考，师生共同得出结论.教师出示问题，学生独立思考，分析解题思路，然后请学生口述第（1）小题的解法，教师板书，以进一步明确思路，强调解题方法及格式。学生总结判别一元二次方程的根的情况的步骤后，（2）、（3）小题由学生完成，教师巡视。待学生做完后，教师请一名学生向大家公布自己的解题结果，教师及时点评。学生思考、交流并回答，教师指出：这三个命题也是真命题，从而得到结论2.学生思考、分析，并与同伴交流与讨论，其间，教师可以参与学生的讨论，然后请同学说出自己的想法，教师视情况进行点拨：这道题中已知的是什么条件？要得出怎样的结论？应该使用结论1还是结论2？师生共同得到正确的思路，解题过程由学生自行完成后，教师展示参考答案，并再次强调解题根据为结论2。教师给出变式，学生独立完成并进行小组讨论，教师展示参考答案并对学生错误进行及时纠正.学生畅谈对本节课所学知识的认识.教师倾听并适当补充.三个问题即复习了公式法，又引出了本节课所要研究的根的判别式.问题1、2、3，引导学生发现一元二次方程的根的情况与b2-4ac有密切联系，从而进一步研究b2-4ac与一元二次方程的根有什么联系.通过活动1，顺理成章的引出根的判别式的概念.根据自主探究，学生较容易得到结论1.总结后的话有效的交代出根的判别式的作用.例题1目的在于加强对根的判别式应用的落实.有效提高学生对知识的应用能力.及时总结解题步骤，可有效提高学生学习效率.结论1的逆命题也是真命题，而且在今后的学习中会有广泛的应用，这里安排例题2就是为今后学习做好铺垫.