柯西不等式与排序不等式.doc

柯西不等式与排序不等式一、基本概念：（一）定理1：二维形式的柯西不等式若都是实数，则，当且仅当时，等号成立.证明：（一）代数证明： 当且仅当时，等号成立. （二）向量证明：构造向量，则有 其坐标形式即为 当且仅当共线或时等号成立，即当且仅当时，等号成立.推论1：（来源于向量证明中）推论2：（将原式中都变为）定理2：柯西不等式的向量形式设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立.证明：上述向量证明已经说明完毕定理3：二维形式的三角不等式设，那么证明： 即原命题的证（二）一般形式的柯西不等式设是实数，则当且仅当或存在一个数，使得时，等号成立.简记作：平方和的乘积大于等于乘积和的平方分析：我们可以利用空间向量很容易证明出三维形式的柯西不等式，但维数再高时就没有几何模型可以构造证明了，那么如何证明这一重要的不等式呢？证明：（一）构造二次函数：，（二）归纳法和平均值不等式：（1）当时，有即命题成立（2）假设当时命题成立，当时，由于 由平均值不等式，得由归纳假设得由（1）（2）得原命题成立（三）构造单调数列：构造数列，其中则 即，所以单调减少，从而对一切，有，故命题成立.（四）归纳法证明更强的结论： （1）当时， （2）假设当时命题成立，当时，由归纳假设 由（1）（2）得原命题成立（三）柯西不等式的变形形式变形1：已知都是实数，求证：说明：此变形为的特殊形式，经过整理，在都为正数的条件下可变为均值不等式 变形2：已知都是实数，则：变形3：已知同号且不为0，则：上述各种形式如果灵活运用会给解决问题带来便利.（四）排序不等式设为两组实数，是的任一排列，则，当且仅当或时，反序和等于顺序和简记作：反序和乱序和顺序和证明：设为两组实数，是的任一排列，因为得全排列有个，所以（1）的不同值也只有有限个（个数），其中必有最大值和最小值，考虑（1）式，若，则有某 ，将（1）中对换，得（2）这说明将（1）中的第一项调换为后，和式不减小.若则转而考察，并进行类似讨论.类似的，可以证明，将（1）中的第一项换为，第二项换为后，和式不减小，如此继续下去，经有限步调整，可知一切和数中，最大和数所对应的情况只能是由小到大排序的情况，最大和数是顺序和，即顺序和乱序和同样可证，最小和数是反序和，即乱序和逆序和二、习题精练：【柯西不等式应用】（一）求最值例1：设，求证：例2：设，求证：例3：设，求证：例4：，求的最小值_ 例5：，求的最大值_1. 的最小值为_2.，最小值为_43. 最小值为_94.已知且，则的最小值为_5.已知则的最小值为_366.最大值为_7. ，的最大值为_ 8. 求函数的最大值_5解：9. 若，且，则的最大值是_10. 若，且，则的最大值是_11. 若实数满足则的最大值是_12.若的最小值为_13.设恒成立，则n的最大值是_414. （06陕西）已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为 （C）（）8（）6（C）4（D）215.（08浙江5）,且，则 ( C )（A） （B） （C） （D）16设a、b为正数，且a+ b4，则下列各式中正确的一个是（ B ）ABCD17.设实数满足，求的最大值解：，根据柯西不等式有，解得，当时，有最大值（二）证明例：求证：1. 已知，求证：2.已知，且，求证：3.为三角形三边，求证：4. 已知，求证：5.设，求证：6. 若，求证：7. 且，求证：证明：8.且，求证：证明：同上9.在中，设其各边长为，外接圆半径为 R，求证:10.设为任意实数，求证：证明：由柯西不等式得对，有对，有，故有则有原命题得证【排序不等式应用】例1：已知为正数，求证：例2：已知为正数，求证：（利用同向可加性）1.（08江西）若，则下列代数式中值最大的是（A）A B C D 2.3，求证： 证明：由对称性不妨设，则，则为顺序和，则有 同理同向相加，有因为，所以，同理，原式得证4.设为两两各不相同的正整数，求证：对任何正整数n，均有（IMO20-5）证明：设是的从小到大的有序排列，即 因为是互不相同的正整数，则，又因为，所以由排序不等式可得 （乱序）（倒序）