概率统计-习题及答案 (4).doc

习题四4.1 一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5。现从中任取3只乒乓球，求取出的3只乒乓球的最大编号的数学期望。4.2 设连续型随机变量的概率密度为且已知，求常数。4.3 设随机变量的概率分布为求：（1）；（2）； （3）。4.4 某工厂生产的一种产品，其寿命（以年为单位）服从指数分布。工厂规定售出产品在一年内损坏可以调换。已知售出一个产品若在一年内不损坏，工厂可获利100元，若在一年内损坏，调换一个产品，工厂净损失300元。试求该厂售出一个产品平均可获利多少元？4.5 对球的直径进行测量，设其值服从上的均匀分布，求球体积的均值。4.6 假定公共汽车站于每小时的10分，30分，55分发车，某乘客不知发车时间，在每小时内任一时刻到达车站是随机的，求乘客到车站等车时间的数学期望。4.7 某厂生产一种化工产品，这种产品每月的市场需求量 （单位：吨）服从 0 ，5 上的均匀分布。这种产品生产出来后，在市场上每售出1吨可获利6万元。如果产量大于需求量，则每多生产1吨要亏损4万元。如果产量小于需求量，则不亏损，但只有生产出来的那一部分产品能获利。问：（1）如果已知这种产品的月产量为吨（），该厂平均每月利润是多少元？（2）为了使每月的平均利润达到最大，这种产品的月产量 应该定为多少吨？4.8 有2个独立工作的电子装置，它们的寿命（）都服从指数分布。（1）将2个电子装置串联组成整机，其中一个装置损坏时，则整机不能工作，求整机寿命的数学期望；（2）将2个电子装置并联组成整机，只有当全部装置损坏时，整机才不能工作，求整机寿命的数学期望。4.9 已知随机变量的数学期望，方差。求： （1）； （2）。4.10 某人用一串形状相似的把钥匙去开门，只有一把能打开门，今逐个任取一把试开，求打开此门需开门次数的数学期望和方差。假定（1）打开的钥匙不放回；（2）打开的钥匙仍放回。4.11 已知随机变量的概率密度为，求，。4.12 已知连续型随机变量的分布函数为求：（1）常数；（2），。4.13 已知随机变量的概率密度为（1）用切比雪夫不等式估计的值；（2）求的精确值。4.14 某厂生产的显象管的寿命（单位：小时）服从正态分布，已知的数学期望为5000小时，且，求。4.15 某人乘车到学校的途中遇到3个交通岗，假定在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且其概率都是，设为途中遇到红灯的次数，求随机变量的数学期望和方差。4.16 已知随机变量服从参数为1的指数分布，求及的值。4.17 设随机变量服从区间上的均匀分布，求的三阶、四阶原点矩。4.18 已知二维随机变量的联合概率密度为 。求，。4.19 一民航大客车载有20名乘客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以表示停车次数，假设每位旅客在各站下车是等可能的，且各旅客是否下车是相互独立的，求大客车平均停车的次数。4.20 已知，求。4.21 已知，求，。4.22 已知二维随机变量的联合概率密度为（1）求，；（2）与相互独立吗？与相关吗？4.23 已知二维随机变量的联合概率分布为X（1）求，的值；（2）与相互独立吗？与相关吗？习题四4.1 设为取出球的最大编号，在习题2.2（1）中已经求得的概率分布为 所以 。4.2 由概率密度的性质可知 ，又因为，即 。联立两式，解得，。4.3 （1） ；（2） ；（3） 。4.4 解法一 设为该厂售出一个产品的获利。因为 ，所以的概率密度为 。 。解法二 设为该厂售出一个产品的获利。 ， ， 的概率分布为 所以 。4.5 因为球直径 ，概率密度 ，球体积，所以球体积的平均值即的数学期望为 。4.6 因为乘客到站时刻 ，其密度 ，乘客等车时间 。所以（分），即10分25秒。4.7 （1）因为，的概率密度为 。 设为该厂每月获得的利润（单位：万元），根据题意 。该厂平均每月利润为 。（2）由 可解得 （吨）。可见，要使得每月的平均利润达到最大，这种产品的月产量应该定为吨。4.8 因为，的分布函数为 （） 。（1）串联组成整机时，整机寿命，的分布函数为 ，的概率密度为 ，由此可见，服从参数为的指数分布，所以 。（2）并联组成整机时，整机寿命，的分布函数为 ，的概率密度为 ， 。4.9 （1）因为，所以。 （2）。 4.10 （1）设想将把钥匙按照试开的次序排成一列，开门次数，也就是那把能开门的钥匙恰好落在第个位置上，这一事件的概率为（因为不论哪一次打开的可能性都是一样的），所以，的概率分布为 （） 。 ， ， 。（2）这时，的概率分布为（） 。， 。4.11 ， ， ， ，。4.12 （1）因为是一个连续型随机变量，所以在和处左连续，即有 ， 。 解方程组 ，得 。 的分布函数为 。 的概率密度为 。（2）因为奇函数在对称区间上积分为0，所以 。 在下列积分中令，则有 。 。4.13 ， ， 。（1）用切比雪夫不等式作近似估计，有 ；（2）用积分式作精确计算，则有 。4.14 因为，所以 ，查表得， ，。4.15 因为 ，所以， 。4.16 因为 ，所以的概率密度为 ， ， 。4.17 因为，的概率密度为 ，所以 ， 。4.18 ；同理可得 ； 。4.19 我们定义随机变量 （），显然，大客车停车的次数。每一个乘客在第站下车的概率是，不下车的概率是，个乘客在第站都不下车（因而大客车不停）的概率是，至少有一个乘客下车（因而大客车停车）的概率是。因此，（）的概率分布为 ， 。4.20 因为 及 ，两式相加得 。 代入已知条件，有 ，解得。4.21 由相关系数定义，所以，。4.24 （1） ； ；