二元函数的泰勒展开.pdf

第九节 一 二元函数泰勒公式一 二元函数泰勒公式 二 极值充分条件的证明二 极值充分条件的证明 二元函数的泰勒公式 第八章 一 二元函数的泰勒公式一 二元函数的泰勒公式 一元函数 xf的泰勒公式 2 0 000 2 h xf hxfxfhxf n n h n xf 0 1 0 1 1 n n h n xxf 10 推广 多元函数泰勒公式 机动目录上页下页返回结束 记号记号 设下面涉及的偏导数连续 00 yxf y k x h 00 2 yxf y k x h 00 yxf y k x h m 0000 yxfkyxfh yx 表示 2 00 2 0000 2 yxfkyxfkhyxfh yyyxxx C 00 0 yx yx f kh pmp m pmp m p p m 一般地 机动目录上页下页返回结束 表示 表示 定理1定理1 00 yxyxfz在点设 的某一邻域内有直 到 n 1 阶连续偏导数 00 kyhx 为此邻域内任 一点 则有 0000 yxfkyhxf 00 yxfkh yx 00 2 2 1 yxfkh yx 00 1 yxfkh n yxn 00 1 1 1 kyhxfkhR n yxn n 10 n R 其中 称为f 在点 x0 y0 的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 称为其拉格 拉格 朗日型余项朗日型余项 机动目录上页下页返回结束 证证 令 10 00 tktyhtxft 则 1 0 0000 kyhxfyxf 利用多元复合函数求导法则可得 0000 t kyt hxfkt kyt hxfht yx 0 00 yxfkh yx 00 2 t kyt hxfht xx 2 00 t kyt hxfkh yx 00 2 t ky t h xfk yy 0 00 2 yxfkh yx 机动目录上页下页返回结束 C 00 0 t kyt hx yx f kht pmp m pmp m p p m m 一般地 0 00 yxfkh m yx m 由 t 的麦克劳林公式 得 1 1 1 1 n n 10 将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式 0 0 0 0 1 2 1 n n 机动目录上页下页返回结束 00 1 1 1 kyhxfkhR n yxn n 说明说明 1 余项估计式 因 f 的各 n 1 阶偏导数连续 在某闭 邻域其绝对值必有上界 M 22 kh 令则有 1 1 n n kh n M R sin cos k h 11 sincos 1 nn n M 1 max 2 1 0 xx 利用 11 2 1 nn n M n o 2 机动目录上页下页返回结束 2 当 n 0 时 得二元函数的拉格朗日中值公式 0000 yxfkyhxf 00 kyhxfh x 00 kyhxfk y 10 3 若函数 yxfz 在区域D 上的两个一阶偏导数 恒为零 常数 yxf由中值公式可知在该区域上 机动目录上页下页返回结束 例例1 求函数 0 0 1ln 在点yxyxf 解解 yx yxfyxf yx 1 1 的三阶泰 勒公式 2 1 1 yx yxfyxfyxf yyyxxx 33 3 1 2 yxyx f pp 3 2 1 0 p 44 4 1 3 yxyx f pp 4 3 2 1 0 p 因此 0 0 fkh yx 0 0 0 0 yx fkfh kh 机动目录上页下页返回结束 0 0 2 fkh yx 0 0 3 fkh yx 0 0 0 0 2 0 0 22 yyyxxx fkfkhfh 0 0 C 3 3 3 3 0 3 pp pp p p yx f kh 3 2kh 2 kh 0 0 0 f又代入三阶泰勒公式得将ykxh 1ln yxyx 2 2 1 yx 3 3 3 1 Ryx 其中 4 3 khfkhR yx 4 4 1 4 1 yx yx yk xh 10 机动目录上页下页返回结束 时 具有极值则 1 当 二 极值充分条件的证明二 极值充分条件的证明 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数 且 令 A 0 时取极小值 2 当 3 当 时 没有极值 时 不能确定 需另行讨论 若函数的在点 00 yxyxfz 0 0 0000 yxfyxf yx 000000 yxfCyxfByxfA yyyxxx 0 2 BAC 0 2 khQA时可见 当从而 z 0 因此 yxf 00 有极小值在点yx 机动目录上页下页返回结束 2 o 2 22 2 1 kkhh 0 0 khQ 异号时当kh 0 z从而 0 z从而 3 当AC B2 0 时 若 A 0 则 2 1 kBhAkhQ A 2 kCkhQ 若 A 0 则 B 0 可能 khQ 为零或