求导数的方法.doc

求导数的方法 （1）求函数y=f(x)在x0处导数的步骤： 求函数的增量y=f(x0+x)-f(x0) 求平均变化率 取极限，得导数。 （2）几种常见函数的导数公式： C=0(C为常数)； (xn)=nx(n-1) (nQ)； (sinx)=cosx； (cosx)=-sinx； (ex)=ex； (ax)=axIna （ln为自然对数） (Inx)=1/x（ln为自然对数）（3）导数的四则运算法则： (uv)=uv (uv)=uv+uv (u/v)=(uv-uv)/ v2（4）复合函数的导数 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数-称为链式法则。 导数是微积分的一个重要的支柱！ 导数公式及证明 编辑本段这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程: 1.y=c(c为常数) y=0 2.y=xn y=nx(n-1) 3.y=ax y=axlna y=ex y=ex 4.f(x)=logaX f(x)=1/xlna (a0且a不等于1,x0) y=lnx y=1/x 5.y=sinx y=cosx 6.y=cosx y=-sinx 7.y=tanx y=1/cos2x 8.y=cotx y=-1/sin2x 9.y=arcsinx y=1/1-x2 10.y=arccosx y=-1/1-x2 11.y=arctanx y=1/1+x2 12.y=arccotx y=-1/1+x2 在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到： 1.y=fg(x),y=fg(x)g(x)fg(x)中g(x）看作整个变量，而g(x)中把x看作变量 2.y=u/v,y=uv-uv/v2 3.y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y=1/x 证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,y=c-c=0,limx0y/x=0。 2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到 y=ex y=ex和y=lnx y=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。 3.y=ax, y=a(x+x)-ax=ax(ax-1) y/x=ax(ax-1)/x 如果直接令x0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数ax-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：x=loga(1+)。 所以(ax-1)/x/loga(1+)=1/loga(1+)1/ 显然，当x0时，也是趋向于0的。而lim0(1+)1/=e,所以lim01/loga(1+)1/=1/logae=lna。 把这个结果代入limx0y/x=limx0ax(ax-1)/x后得到limx0y/x=axlna。 可以知道，当a=e时有y=ex y=ex。 4.y=logax y=loga(x+x)-logax=loga(x+x)/x=loga(1+x/x)x/x y/x=loga(1+x/x)(x/x)/x 因为当x0时，x/x趋向于0而x/x趋向于，所以limx0loga(1+x/x)(x/x)logae,所以有 limx0y/xlogae/x。 可以知道，当a=e时有y=lnx y=1/x。 这时可以进行y=xn y=nx(n-1)的推导了。因为y=xn,所以y=eln(xn)=enlnx, 所以y=enlnx(nlnx)=xnn/x=nx(n-1)。 5.y=sinx y=sin(x+x)-sinx=2cos(x+x/2)sin(x/2) y/x=2cos(x+x/2)sin(x/2)/x=cos(x+x/2)sin(x/2)/(x/2) 所以limx0y/x=limx0cos(x+x/2)limx0sin(x/2)/(x/2)=cosx 6.类似地，可以导出y=cosx y=-sinx。 7.y=tanx=sinx/cosx y=(sinx)cosx-sinx(cosx)/cos2x=(cos2x+sin2x)/cos2x=1/cos2x 8.y=cotx=cosx/sinx y=(cosx)sinx-cosx(sinx)/sin2x=-1/sin2x 9.y=arcsinx x=siny x=cosy y=1/x=1/cosy=1/1-sin2y=1/1-x2 10.y=arccosx x=cosy x=-siny y=1/x=-1/siny=-1/1-cos2y=-1/1-x2 11.y=arctanx x=tany x=1/cos2y y=1/x=cos2y=1/sec2y=1/1+tan2x=1/1+x2 12.y=arccotx x=coty x=-1/sin2y y=1/x=-sin2y=-1/csc2y=-1/1+cot2y=-1/1+x2 另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与 4.y=u土v,y=u土v 5.y=uv,y=uv+uv 均能较快捷地求得结果。 对于y=xn y=nx(n-1) ，y=ax y=axlna 有更直接的求导方法。y=xn由指数函数定义可知，y0等式两边取自然对数ln y=n*ln x等式两边对x求导，注意y是y对x的复合函数y * (1/y)=n*(1/x)y=n*y/x=n* xn / x=n * x (n-1)幂函数同理可证导数说白了它其实就是斜率上面说的分母趋于零,这是当然的了,但不要忘了分子也是可能趋于零的,所以两者的比就有可能是某一个数,如果分子趋于某一个数,而不是零的话,那么比