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信号与系统习题课 1 19 绘出系统的仿真图绘出系统的仿真图 先取中间变量 使与 满足 将式 代入原微分方程后 易看出与 满足 将 用方框图实现 就得到系统仿真框图 q t 当前无法显示此图像 2 1001 2 ddd r tar ta r tb e tbe t dtdtdt q t e t 10 qta q ta q te t q t r t 01 r tb q tbq t 系统仿真框图 0 e tqtq tr tb q t 1 a 0 a 当前无法显示此图像 1 b 1 20判断下列系统是否为线性的 时不变的 因果的系统 判断下列系统是否为线性的 时不变的 因果的系统 1 解 所以是线性的 激励为时 响应为 所以是时不变的 12 1122 12 121212 12 de tdet e tr tetr t dtdt de tdet C e tC etC rtC rtCC dtdt 12 当前无法显示此图像 de t r t dt 0 e tt 00 0 0 de ttde tt r tt dtd tt 可知 响应只与此时输入的和时 的输入有关 所以系统是因果的 0 lim t de te te tt r t dtt r t e t tt e tt 3 解 由于 而 所以系统是非线性的 当前无法显示此图像 sinr te tu t 111 222 sin sin e tr te tu t etr tetu t 1 12 21 12 21 12 2 1122 sin sinsin C e tC etr tC e tC etu tC r tC r t Ce tu tCetu t 当激励为时 响应 所以系统是时变的 由可知 响应只与激励的 现在值有关 所以系统是因果的 0 e tt 0000 sinsinr te ttu te ttu ttr tt sinr te tu t 2 12 有一系统对激励为时的完全响应 为 对激励时的完全响应 为 求 有一系统对激励为时的完全响应 为 对激励时的完全响应 为 求 1 该系统的零输入响应 该系统的零输入响应 2 系统的起始状态保持不变 求其对激励为 的完全响应 系统的起始状态保持不变 求其对激励为 的完全响应 1 e tu t 1 2 t r te u t 2 ett 2 r tt zi rt 3 2 t e te u t 3 r t 解 1 由于 所以 21 dd ettu te t dtdt 21zszs d rtrt dt 由题意 于是有 得 11 12 2 t zizs zizs rtrtr te u t rtrtr tt 11 2 t zszs rtrtte u t 观察可知 1 tuetr t zs 零输入响应为 2 1 tuetrtuetr t zs t zi 2 由于 所以 当时 所以全响应 2 ett 21 t zszs rth trtte u t 3 t ete u t 33 tt zs rteth te u tte u t tt e u tte u t 33 2 t zizs r trtrtt e u t 3 27 利用微分定理求图示半波正弦脉冲 及其二阶倒数的频谱 利用微分定理求图示半波正弦脉冲 及其二阶倒数的频谱 解 的一阶及二阶导数的波形如图a b所示 由b可看出 f t f t 2 2 d f t dt f t ft O E T 2 t 3 27图 O t T 2 E 2 1 E OT 2 E E E ft t a b 1 2 T 1 1 1 1 1 由微分定理 从而 2 111 2 2 T ftf tEtt T 2 2 2 11 22 2 11 2 1 22 1 1 1 1 T j T j T j jFFEe FEe Ee F 且的二阶导数的频谱 f t ft 2 2 1 2 22 1 1 T j E ftFje F 3 33 已知三角脉冲的傅立叶变换为 试利用有关定理求的傅立叶变 换 的波形如图示 已知三角脉冲的傅立叶变换为 试利用有关定理求的傅立叶变 换 的波形如图示 1 f t 2 1 24 E FSa 210 cos 2 ftftt 2 F 2 ft 1 f t O 2 2 t E 1 ft O t 2 ft E 解 由频域卷积定理 有 210 cos 2 ftftt 2210 1 cos 22 ftFftt FFF 由于由时移性质可得 2 1 24 E FSa 2 2 1 000 224 cos j E ftSae t F F 00 00 0022 22 2 0022 222 444 444 jj jjj E FSaeSae E eSaeSae 而 所以 3 41系统如图所示 系统如图所示 1 为从无失真恢复 求最大抽样间隔 为从无失真恢复 求最大抽样间隔 2 当时 画出的幅度谱 当时 画出的幅度谱 12 1000 2000 f tSatftSat 12 s n p ttnTf tft ftftf t p t 1 f t f t s ft p t 2 f t f t s ft s ft max TT max T s F 时域相乘时域抽样 解 由于 3 11 3 22 10001010001000 1 20001020002000 2 ftSatuuF ftSatuuF 2 2 2 ccc c uuEtSa E SaEtutuE 12 6 6 1 2 1 103000300010001000 4 1000100030003000 1 10300030001000 4 200010001000 FFF uu uu uu uu 300010003000uu 的图形如图所示 可见 的最大角频率 2 对于冲击抽样 抽样信号的频谱 F F max 3000 21 23000 m m rad s Ts w 1 ss n s FFn T 3 1 10 2 F 1000 1000 3000 3000 当时 此时 此时的幅度谱如图所示 maxs TT max 2 26000 sm rad s T s F 3 2 s F w 3000 3000 9000 9000 4 28 已知系统阶跃响应为 为使其响 应为 求激励信号 已知系统阶跃响应为 为使其响 应为 求激励信号 2 1 t g te 22 1 tt r tete 解 系统冲激响应解 系统冲激响应 2 2 t dg t h teu t dt 系统函数系统函数 2 2 H sh t s L 2 11 2 1 2 2 2 11 2 2 R ssss E s H ss ss 2 1 1 2 t e teu t 4 33 如图所示电路 若激励 求响应 并指出其中的强迫 自由 瞬态和 稳态分量 如图所示电路 若激励 求响应 并指出其中的强迫 自由 瞬态和 稳态分量 23 32 tt e teeu t 2 v t 1 e t 0 5F 1 2 v t 解 解 2 122 2222 V sss H s E sss 32 23 E s ss 2 21 2 13 V sH s E s ss 3 2 20 5 tt v teeu t 自由自由强迫强迫 瞬态瞬态 4 45 如图所示电路 如图所示电路 1 写出写出 2 K 满足什么条件时系统稳定满足什么条件时系统稳定 3 在临界稳定条件下 求系统冲激响应在临界稳定条件下 求系统冲激响应 21 H sV s V s K 1 V s 1 H s 2 1 44 H ssss 2 sV 1212 V sV sH sKV s 2 2 1 4 4 V sKs H s V ssK s 2 1 2 416 4 22 K K p 为使极点都落在左半平面 必须满足 为使极点都落在左半平面 必须满足 40K 即 即 4K 当时 系统处于临界稳定 此时 当时 系统处于临界稳定 此时 4K 2 4 4 s H s s 1 4cos 2 h tH st u t L 5 4 写出如图所示电路的系统函数 若要使 之成为无失真传输系统 试问元件参数应满足什么 条件 写出如图所示电路的系统函数 若要使 之成为无失真传输系统 试问元件参数应满足什么 条件 H j 1 v t 2 v t 22 222 1 2211 2211 11 1212 11 1111 1 11 RR V ssCsC H s V s RRRR sCsCsCsC C sR CC sRR 画出画出 s 域模型 略 有 域模型 略 有 11 1212 1 11 sj C jR H jH s CCjRR 2 21 22 21 2 1 22 1 11 1 RRCC RC jH 要满足无失真传输条件 必须 即有 要满足无失真传输条件 必须 即有 1122 C RC R 此时 解得 此时 解得 0 故无失真传输需满足 故无失真传输需满足 1122 C RC R 常数 k RRCC RC jH 2 21 22 21 2 1 22 1 11 1 21 1 21 1 11 1 RR R CC C 5 10 一个理想带通滤波器的幅度特性和相移特性 如图所示 求它的冲激响应 并说明此滤波器是 否物理可实现 一个理想带通滤波器的幅度特性和相移特性 如图所示 求它的冲激响应 并说明此滤波器是 否物理可实现 Hj 0 0C 0C 0 0C 0C 0 0C 0C 0 0C 0C 斜率 0 t 0 t 斜率 1 0 0 j t c L c e Hj 00L HjHj 1 0 c Lc HjSatt F 1 11 00 00 00 2 1 2cos 2 cos L c c c c h tHj Hj Sattt Sattt F FF 设理想低通滤波器 则 因为 故有 显然 冲激响应不满足因果律 因此此滤波器物理不可实现 设理想低通滤波器 则 因为 故有 显然 冲激响应不满足因果律 因此此滤波器物理不可实现 例例7 1 梯形网络如图 为常数 试列写节点电压 梯形网络如图 为常数 试列写节点电压 v n 的差分方程 并求节点电压的差分方程 并求节点电压v n Rvs和 0 0 1 0 NvvvNn s 0 v 1 Nv Nv RRR 1 v 2 v R s v R2R2R2R2 R nv R nvnv R nvnv 2 1 1 1 2 2 nv 1 nv RR R2 nv 0 2 1 5 2 nvnvnv 特征根 2 5 0 21 nn ccnv 2 5 0 21 21 0 ccvv s NN ccNv 2 5 0 0 21 s N N N s vc v c 2 2 2 2 1 21 2 21 Nn v nv Nnn N s 0 2 5 0 21 2 2 例例7 2 2 2213nunxnxnynyny n 5 02 01 nyyy求 2 1 21 求零输入响应 1 nn zi CCny 2 1 21 nn 2 2 1 2 nhnfnyzs 求零状态响应 2 2 1 nunh nn 2 2 2 1 nununhnxny nnn zs 2 3 1 2 1 3 1 nu nnn 0 2 3 1 2 3 2 1 3 2 3 nny nnn 全响应为 y 1 y 2 h 1 h 0 P34 表表7 1 例例 8 1 已知已知 2 1 1 0 1 nnfnfnf n m mn 求求f n 的单边的单边Z变换变换F z 解解 设 2 0 2 n m m nf 根据部分和性质 得 2 1 2 1 2 22 zz z z z z z nfZzF 根据序列乘an性质 则 2 1 1 1 2 221 zz zz FnfZzF n z 2 根据序列乘n性质 则 22 2 11 2 1 43 zz zz zF dz d znnfZnfZzF z 2 例例 8 2 已知离散系统输入为已知离散系统输入为x1 n u n 时 零状 态响应 时 零状 态响应yzs1 n 3nu n 求输入为 求输入为 x2 n n 1 u n 时系统的零状态响应时系统的零状态响应yzs2 n 1 1 1 z z z zX 3 3 1 z z z zYzs 3 3 1 1 1 z z z