用向量的模和数量积求角和距离.doc

用向量的模和数量积求角和距离刘 珊一、 案例背景1、教学思路：本节课通过几个例子及变式，使学生掌握化同思想，模式化解题方法，熟练掌握用向量法求角和距离。2、学情分析：本班是历史美术班，学生中有几个人的基础较好，大部分学生基础较差，他们比较害怕立体几何的常规方法，主要是定理不熟，逻辑性不强，也不会基本变形，综合思维能力不强。立体几何是学生的难点，但又是高考的重点，新教材淡化了逻辑推理，强化了技能和方法，所以用向量法就降低了立体几何的难度，是近来学生得分的保障题，也就是此题一定拿分，所以新方法显得尤其重要，学生易掌握。3、教学目标：通过本节课的学习，达到掌握用向量法求角和距离的目的；培养学生的空间想象能力。教学重点：用向量法求角和距离教学难点：设点的坐标、空间位置关系4、教材分析： 高中数学教材中的向量知识为解决空间几何问题提供了有力的工具，不仅把几何中的逻辑推理转化为向量的代数运算，使得空间问题的解决变得快捷、思路更清晰，体现在解题方法上更具有普遍性。这里以空间角和距离问题为例，来说明向量知识在解决几何问题中的作用。解决空间角和距离问题只需三个步骤：一建立适当的空间直角坐标系；二用空间直线（或平面）的向量参数表示式表示有关向量,根据互相垂直向量的数量积为零,列出关于所设参数的方程(组)并解出参数；三利用向量的模(或向量数量积)的公式求出角或距离.二、案例描述（一）、求两条异面直线之间的距离和所成角.例1、 已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=4，BC=AA1=2，xyzABCDA11B1C1D1PQz（1）求异面直线BD1和AC所成角（结果用反三角函数值表示）和距离。解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，A ( 2, 0, 0 ) B ( 2, 4, 0 )，C ( 0 ,4 , 0 ) D1 ( 0, 0, 2 ) , （1）设D1B与AC所成角为， . ,因此异面直线D1B与AC所成角为。（2）, ,由得 解方程组得 ,且异面直线D1B和AC的距离为.（二）、求点与直线（或平面）的距离和直线与平面所成角例2、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB900，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.（1）求点G到直线A1B距离；（2）求点A1到平面AED的距离。（3）求直线A1B与平面AED所成角的大小（结果用反三角函值表示） 解：建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,设AC2aKzxyA1B1C1ABCEDGH则A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1)A1(2a ,0,2),E(a,a,1),G(2a/3,2a/3,1/3).,解得a=1 , ,.（1）令点G在A1B上的射影为H，且由 得 =0 即点G到直线A1B距离为.(2)设点A1平面AED上的射影为K,且由 得 所以 点A1到平面AED的距离为(3) 由(1)知A1K平面AED, 直线A1B与平面AED所成的角就是A1EK. 在RtA1KE中， 且 (或者),即直线A1B与平面AED所成角为.（三）、求二面角例3、如图，直三棱柱ABCA1B1C1中,ACB=900,AC=1,CB=,侧棱AA1=1,求二面角B1-A1B-C的大小.分析：求二面角可以分别过二面角两个面内已知点作二面角棱的垂线段，二面角的大小就等于分别以两个垂足为起点、两个已知点为对应终点的两条垂线段所表示的向量所成的角。CAzyxBA1C1B1MN解:如图,以C为原点建立空间直角坐标系,A1 (0,1,1),B1 () ,B (,0,0) ,则,，.设点B1、C在二面角B1A1B的棱A1 B上的射影分别为 点、， 向量 与 夹角就等于二面角B1A1B的平面角大小.令 ，.由得 得 ,CAzyxBA1C1B1MN二面角B1A1B的大小为 .说明：（1）这里给出了求两异面直线距离和点到直线(或平面)距离的求法，对于立体几何中直线（或平面）与平面的距离等，可以转化成上述问题而得到解决;而立体几何中的求异面直线所成角、直线（或平面）与平面所成角可以借鉴上述方法解决。（2）运用上述方法解答空间角和距离问题不但实现了形向数的转化，体现数形结合思想，还体现了方程的观点。降低了问题解决的难度，思路清晰，步骤简捷，容易掌握和接受，不需要耗费多少精力。一般地，在建立空间直角坐标系情况下，求立体几何中的角和距离时