4、双曲线的简单几何性质 doc.doc

学有方-大不同 学大教育 双曲线的简单几何性质 1、 几何性质1范围、对称性 由标准方程可得，当时2顶点顶点： 特殊点：实轴：长为2a, a叫做半实轴长 虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长3渐近线过双曲线的两顶点，作Y轴的平行线，经过作X轴的平行线，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是（），这两条直线就是双曲线的渐近线 4等轴双曲线a=b即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线 结合图形说明：a=b时，双曲线方程变成(或，它的实轴和都等于2a(2b)，这时直线围成正方形，渐近线方程为 它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角5共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成 6双曲线的草图利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图讲解范例：例1 求双曲线的顶点坐标、焦点坐标，实半轴长、虚半轴长和渐近线方程，并作出草图分析：只要紧扣有关概念和方法，就易解答解：把方程化为标准方程由此可知，实半轴长a1，虚半轴长b2顶点坐标是（1，0），（1，0） 焦点的坐标是(，0)，(，0)渐近线方程为，即 例2 求与双曲线共渐近线且过的双曲线的方程分析：因所求的双曲线与已知双曲线共渐近线，故可先设出双曲线系，再把已知点代入，求得K的值即可解：设与共渐近线且过的双曲线的方程为则 ，从而有所求双曲线的方程为课堂练习：1下列方程中，以x2y=0为渐近线的双曲线方程是 答案：A 2.过点(3,0)的直线与双曲线4x2-9y2=36只有一个公共点,则直线共有 (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条答案：C 翰3.若方程=1表示双曲线，其中a为负常数，则k的取值范围是( )(A)(,-) (B)(,-) (C)(-,) (D)(-,)(-,+)翰林汇答案：B 4.中心在原点，一个焦点为(3，0)，一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是(A) (B)(C) (D)答案：A 5.与双曲线有共同的渐近线，且一顶点为(0，9)的双曲线的方程是（ ） (A) (B)(C) (D)答案：D 翰林汇6.一双曲线焦点的坐标、离心率分别为(5，0)、，则它的共轭双曲线的焦点坐标、离心率分别是 （ ） (A)(0，5)， (B)(0， (C)(0， (D)(0，答案：A 7.双曲线2kx2-ky2=1的一焦点是F(0，4)，则k等于 ( ) (A)-3/32 (B)3/32 (C)-3/16 (D)3/16答案：A 7离心率概念：双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率范围：双曲线形状与e的关系：，因此e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 8离心率相同的双曲线 (1)计算双曲线的离心率； (2)离心离为的双曲线一定是吗？举例说明 如果存在很多的话，它们能否用一个特有的形式表示呢？ (3)离心率为的双曲线有多少条？分析：的关系式，并从中发现只要实现半轴和虚半轴各与a=2,b=3有相同的比k：1(k0)的双曲线，其离心率e都是9共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 如与注意的区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同通过分析曲线发现二者其具有相同的渐近线 此即为共轭之意性质：共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1 共用同一对渐近线的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上 讲解范例：例1求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程解：把方程化为标准方程由此可知，实半轴长a4，虚半轴长b3焦点的坐标是(0，5)，(0，5)离心率 渐近线方程为，即 例2 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高55m选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m) 设双曲线的方程为令点C的坐标为(13，y)，则点B的坐标为(25，y55)因为点B、C在双曲线上，所以 且 解方程组，得 （负值舍去） 代入方程，得化简得19b2275b181500 解方程(使用计算器计算)，得b25(m)所以所求双曲线方程为 课堂练习：1.方程mx2ny2mn=0(mn0)所表示的曲线的焦点坐标是 B (A)(0,) (B)(0,) (C)(,0) (D)(,0)翰林汇2.下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是 D (A)-y2=1和-=1 (B)-y2=1和y2-=1(C)y2-=1和x2-=1 (D)-y2=1和-=13.与双曲线有共同的渐近线，且经过点A的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 (C )（A）8 （B）4 （C）2 （D）1翰林汇4.以为渐近线，一个焦点是F（0，2）的双曲线方程为 ( A )（A）（B） （C）（D）翰林汇5.双曲线kx2+4y2=4k的离心率小于2，则k的取值范围是 ( C )（A）（-,0） （B）(-3,0) （C）(-12,0) （D）(-12,1)翰林汇6.已知平面内有一固定线段AB,其长度为4，动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为 D (A)1.5 (B)3 (C)0.5 (D)3.57.已知双曲线b2x2a2y2 = a2b2的两渐近线的夹角为2，则离心率e为(C )(A)arcsin (B) (C) (D)tg28.一条直线与双曲线两支交点个数最多为 ( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4翰林汇9.双曲线顶点为（2，1），（2，5），一渐近线方程为3x4yc = 0，则准线方程为 ( D )(A) (B) (C) (D) 10.与双曲线=1(mn0)共轭的双曲线方程是 ( D )(A) (B) (C) (D)翰林汇9 双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e是双曲线的离心率10准线方程：对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线；位置关系： 焦点到准线的距离（也叫焦参数） 对于来说，相对于上焦点对应着上准线；相对于下焦点对应着下准线11.双曲线的焦半径定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径焦半径公式的推导：利用双曲线的第二定义，设双曲线， 是其左右焦点则由第二定义：， 同理 即有焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：同理有焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式： （ 其中分别是双曲线的下上焦点）点评：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。两种形式的区别可以记为：左加右减，上减下加（带绝对值号）12焦点弦：定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦焦点弦公式：可以通过两次焦半径公式得到：设两交点，当双曲线焦点在x轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：过左焦点与左支交于两点时： 过右焦点与右支交于两点时：当双曲线焦点在y轴上时，过左焦点与左支交于两点时：过右焦点与右支交于两点时：13通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦直接应用焦点弦公式，得到 例 5、点p(x,y)与定点F2(c,0)的距离与到的距离之比为常数，求P的轨迹方程解：设d是点P到直线的距离根据题意得得 （）这是双曲线的标准方程 课堂练习：1双曲线16x29y2=144的实轴长、虚轴长、离心率分别为（C） （A）4, 3, （B）8, 6, （C）8, 6, （D）4, 3, 2顶点在x轴上，两顶点间的距离为8， e=的双曲线的标准方程为（A） （A） （B） （C） （D）3双曲线的两条准线间的距离等于（A） （A） （B） （C） （D）4若双曲线上一点P到双曲线上焦点的距离是8，那么点P到上准线的距离是（D） （A）10 （B） （C）2 （D）5经过点M(3, 1)，且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是（D） （A）y2x2=8 （B）x2y2=8 （C）x2y2=4 （D）x2y2=86以y=x为渐近线的双曲线的方程是（D） （A）3y22x2=6 （B）9y28x2=1 （C）3y22x2=1 （D）9y24x2=367等轴双曲线的离心率为 ；等轴双曲线的两条渐近线的夹角是 （）8从双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 .(b)9与有公共焦点，且离心率e=的双曲线方程是 ()10以5x2+8y2=40的焦点为顶点，且以5x2+8y2=40的顶点为焦点的双曲线的方程是 . ()11已知双曲线上一点到其右焦点距离为8，求其到左准线的距离（答案：）六、课后作业：1下列各对双曲线中，既有相同的离心率，又有相同的渐近线的是（B） （A）y2=1与y2=1 （B）y2=1与 （C）y2=1与x2 （D）y2=1与2若共轭双曲线的离心率分别为e1和e2，则必有（D） （A）e1= e2 （B）e1 e2=1 （C）=1 （D）=13若双曲线经过点(6, )，且渐近线方程是y=x，则这条双曲线的方程是（C） （A） （B） （C） （D）4双曲线的渐近线为y=x，则双曲线的离心率为（C） （A） （B）2 （C）或 （D）或5如果双曲线右支上一点P到它的右焦点的距离等于2，则P到左准线的距离为（C） （A） （B） （C）8 （D）106已知双曲线的一条准线是