第三届北方数学奥林匹克邀请赛.pdf

若在上述1 004个数中再加入数2 006 即a1 1 a2 3 a1 003 2 005 a1 004 2 006 a1 005 2 007 此时 只存在唯一的一 对数a1 1 a1 004 2 006 其和为 a1 005 2 007 所以 n的最小值不小于1 006 接下来证明 当n 1 006时 一定存在 满足条件的四个数 当an 2 007时 因为 2 007 1 2 006 2 2 005 1 003 1 004 这表明2 007只能分解为1 003个不同的两 个正整数的和式 所以 当n 1 006 即n 1 1 005时 在除了 an 2 007之外的不少于 1 005个数a1 a2 an 1中 至少包含了 2 007的上述1 003个不同分解和式中的两 个和式ai aj ak al的全部四个加数ai aj ak al 此即题设要求的四个正整数 当an 2 007时 若an 2m 1 则an 可表为m个两个不同正整数之和的不同和 式 若an 2m 则an可表为m 1个两个不 同正整数之和的不同和式 an 2 007 所以 m 1 003 除去an之外 在a1 a2 an 1 这不少于1 005个数中至少包含了这不超过 1 003个不同和式中的两个的全部四个加数 此即题设要求的四个数 综上所述 n的最小值为1 006 李耀文 提供 第三届北方数学奥林匹克邀请赛 第 一 天 一 25 分 在锐角 ABC中 BD CE分 别是边AC AB上的高 以AB为直径作圆交 CE于点M 在BD上取点N 使AN AM 证 明 AN CN 毕耜琨 供题 二 25 分 设 ABC的三边长分别为a b c 且a b c 3 求 f a b c a 2 b 2 c 2 4 3 abc 的最小值 贾应红 供题 三 25 分 在数列 an 中 a0 2 007 an 1 a 2 n an 1 n N 求证 当0 n 1 004 时 有 an 2 007 n 其中 x 表示不超过 x的最大整数 哈师大附中 供题 四 25 分 平面上每个点被染为n种颜 色之一 同时满足 1 每种颜色的点都有无穷多个 且不全 在同一条直线上 2 至少有一条直线上所有的点恰为两 种颜色 求n的最小值 使得存在互不同色的4 个点共圆 张利民 供题 第 二 天 五 25 分 设 0 2 求 A 1 tan 2 tan 2 2 cot cot 的最大值 西北工业大学附中 供题 六 25 分 已知 f x lg x 1 1 2 log3x 1 解方程 f x 0 2 求集合 M n f n 2 214n 1 998 0 n Z 的子集个数 李铁汉 供题 七 25 分 设n是正整数 a n 其 中 x 表示不超过x的最大整数 求同时 922008年第3期 满足下列条件的n的最大值 1 n不是完全平方数 2 a3 n2 张同君 朱雅春 供题 八 25 分 设 ABC的内切圆半径为1 三边长BC a CA b AB c 若a b c都 是整数 求证 ABC为直角三角形 刘康宁 供题 参 考 答 案 第 一 天 图1 一 证法1 如图1 联结DM 由AB为直 径 BD AC 知 A B M D四点 共圆 故 ABD AMD 又 ACE 90 CAE ABD AMD 则 ADM AMC 从而 AD AC AM 2 AN 2 即 AN CN 证法2 如图1 联结BM EN 由射影定理得AN 2 AM 2 AE AB 则 AEN ANB ANE ABN 又B C D E四点共圆 则 ABN ACE 从而 ANE ACE 所以 A E N C四点共圆 故 ANC AEC 90 即AN CN 二 f a b c a 2 b 2 c 2 4 3 abc a b c 2 2 ab bc ca 4 3 abc 9 2 ab bc ca 2 3 abc 因为a b c是 ABC三边长 且a b c 3 所以 0 a b c0 因为an an 1 an a 2 n an 1 an 1 an 0 所以 a0 a1 a2 an 一方面 当n为正整数时 an a0 n i 1 ai ai 1 a0 n i 1 ai 1 1 ai 1 a0 n i 1 1 1 1 ai 1 a0 n n i 1 1 1 ai 1 a0 n 另一方面 由于an 1 a0 n 1 且 a0 a1 a2 an 于是 当n 1时 n i 1 1 1 ai 1 1 1 a0 1 当n 2时 n i 1 1 1 ai 1 n 1 an 1 n a0 n 2 1 总之 n i 1 1 1 ai 1 1 故an a0 n n i 1 1 1 ai 1 a0 n 1 所以 an a0 n 取a0 2 007 即得本题 四 显然 n 4 若n 4 在平面上取一定圆 O及上面 三点A B C 将AB 含A不含B BC 含B 不含C CA 含C不含A 分别染颜色1 2 03中 等 数 学 3 平面上其他点染颜色4 则满足题意且不 存在四个不同颜色的点共圆 所以 n 4 n 5 当n 5时 由条件 2 知 存在直线l上 恰有两种颜色的点 不妨设直线l上仅有颜 色1 2的点 再由条件 1 知 存在颜色分别 为3 4 5的点A B C不共线 设过点A B C的圆为 O 若 O与直线l有公共点 则存在四个 互不同色的点共圆 若 O与直线l相离且 O上有颜色 1 2的点 则存在四个互不同色的点共圆 图2 若 O与直线l 相离且 O上没有颜 色1 2的点 如图2 过O作直线l的垂线 交l于点D 设D的 颜色为1 垂线交 O 于点E S 设E的颜 色为3 考虑直线l上 颜色为2的点F FS交 O于点G 因为EG GF 所以 D E F G四点共圆 若G不是颜色为3的点 则存在四个互 不同色的点共圆 若G是颜色为3的点 又B C必有一 点不同于S 设为B SB交直线l于点H 因 为EB BH 所以 B E D H四点共圆 若H是颜色为2的点 则B H D E是 互不同色的4个点共圆 若H是颜色为1的点 由于 SB SH SE SD SG SF 则B H F G四点共圆 故B H F G是互不同色的四个点共 圆 综上 当n 5时 存在四个互不同色的 点共圆 所以 n的最小值是5 第 二 天 五 由cot cot 1 tan 2 2 2 tan 2 1 tan 2 2 2tan 2 tan 2 tan 2 1 tan 2 tan 2 2tan 2 tan 2 知 A 1 tan 2 tan 2 2 cot cot 2tan 2 tan 2 1 tan 2 tan 2 2 tan 2 tan 2 1 tan 2 tan 2 令tan 2 x tan 2 y 则 A 2xy 1 xy x y 1 xy 2xy 1 xy 2xy 1 xy xy 1 xy 1 xy 再令t xy 则t 0 1 所以 A t 1 t 1 t t 2 t 1 t t 1 2 3 t 1 2 1 t 3 t 1 2 t 1 3 2 t 1 2 t 1 3 2 2 当且仅当t 2 1 即tan 2 tan 2 2 1时 上式等号成立 因此 A的最大值为3 2 2 六 1 任取0 x1 x1 x2 则lg x1 1 x2 1 lg x1 x2 所以 132008年第3期 f x1 f x2 lg x1 x2 log9 x1 x2 lg x1 x2 lg x1 x2 lg 9 又0 lg 9 lg x1 x2 lg x1 x2 0 故f x 为 0 上的减函数 注意到f 9 0 所以 当x 9时 f x f 9 0 当0 x f 9 0 因此 f x 0有且仅有一个根x 9 2 由f n2 214n 1 998 0 f n 2 214n 1 998 f 9 则 n 2 214n 1 998 9 n 2 214n 1 998 0 n 2 214n 2 007 0 n 2 214n 1 998 0 n 223 n 9 0 n 107 2 1 998 107 2 13 447 115 2 9 n 223 n 222或n 8 9 n 223 n 223或n 9 从而 n 223或n 9 故M 9 223 因此 M的子集的个数是4 七 由 1 得a n a 1 则 a 2 n a 2 2a 1 即 a 2 1 n a 2 2a 令n a 2 t t 1 2 2a 由 2 有 a 3 a 4 2a 2 t t 2 a 2 t 2 a t 再由a 3 a 4 2a 2 t t 2 a 3 t 2 记t 2 ka 3 则t aka 由t a k N 有ka N 由t 1 2 2a 有t aka 2a 即ka 2 所以 ka 1或2 ka 4 a 4 由于n a 2 t 且a 4 t 2a 可令 a 4 t 2a 8 则n a 2 t 16 8 24 为最大 经验证 n 24满足条件 1 2 因此 n的最大值为24 八 设 ABC的内切圆在边BC CA AB 上的切点分别为D E F 记AE AF x BF BD y CD CE z 则 x b c a 2 y c a b 2 z a b c 2 因为a b c都是整数 所以 b c a c a b a b c奇偶性相同 于是 x y z均为整数或均为奇数的一半 下面证明 x y z均为奇数的一半是不 可能的 因为r 1 所以 x cot A 2 y cot B 2 z cot C 2 又cot C 2 tan A 2 B 2 1 x 1 y 1 1 xy x y xy 1 则 z x y xy 1 若x y均为奇数的一半 不妨设x 2m 1 2