1979年数学试卷及详解【独家收藏,绝对珍品!】.doc

中国特级教师高考复习方法指导数学复习版1979年试题理工农医类1.若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证:x,y,z成等差数列. Key 1.证法一:(z-x)2-4(x-y)(y-z)=z2-2zx+x2+4zx-4xy-4yz+4y2=(x+z)2-22y(z+x)+4y2=(z+x-2y)2=0,z+x-2y=0即z-y=y-x,所以,x,y,z成等差数列,证法二：令x-y=a,y-z=b,则x-z=x-y+y-z=a+b.(z-x)2-4(x-y)(y-z)=(a+b)2-4ab=(a-b)2=0.a=b.即x-y=y-z,即y-x=z-y.所以,x,y,z成等差数列. 2.化简: Key 3.甲、乙二容器内都盛有酒精.甲有公斤1公斤，乙有2公斤.甲中纯酒精与水(重量)之比为m1:n1,乙中纯酒精与水之比为m2:n2.问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少? Key 3.解:甲乙共含纯酒精甲乙共含水混合后,纯酒精与水之比为m1v1(m2+n2)+m2v2(m1+n1):n1v1(m2+n2)+n2v2(m1+n1). 4.叙述并且证明勾股定理. Key 4.解:略.(参考一般教科书) 5.外国般只,除特许者外,不得进入离我海岸线D以内的区城.设A及B是我们的观测站,A及B间的距离为S,海岸线是过A,B的直线.一外国船在P点.在A站测得BAP=,同时在B站测得ABP=.问及满足什么简单的三角函数值不等式,就应当向此未经特许的外国船发出警告,命令退出我海城? Key 5.解:自P向直线AB作垂线PC,垂足为C.设PC=d.在直角三角形PAC中,AC=dctg.在直角三角形PBC中,BC=dctg. S=AC+BC=d(ctg+ctg).当dD,即时,应向外国船发出警告. 6.设三棱锥V-ABC中,AVB=BVC=CVA=直角.求证:ABC是锐角三角形. Key 6.证法一:设VA=a,VB=b,VC=c,AB=p,BC=q,CA=r.于是p2=a2+b2,q2=b2+c2,r2=c2+a2.由余弦定理,所以CAB为锐角.同理,ABC,BCA也是锐角.证法二:作VDBC,D为垂足,因VA垂直于平面VBC,所以VABC又BCVD,所以BC垂直于平面VAD,从而BCAD 即在ABC中,A在BC边上的垂足D介于B和C之间,因此,B和C都是锐角.同理可证A也是锐角. 7.美国的物价从1939年的100增加到四十年后1979年的500.如果每年物价增长率相同,问每年增长百分之几?(注意:自然对数1nx是以e=2.718为底的对数.本题中增长率x13.2因k是自然数,所以k=14,即数列前14项的和最大.取 k=14. 前14项的和解法二:这数列的第k项(任意项)为时,S有最大值.因k表示项数,是自然数,在此,=2-1.95650, 由此可知这数列的前14项都是正数,从第15项起以后各项都是负数.所以应取k=14,即数列前14项的和为最大,其值为 10.设等腰OAB的顶角为2,高为h.(1)在OAB内有一动点P,到三边OA,OB,AB的距离分别为PD,PF,PE并且满足关系PDPF=PE2.求P点的轨迹.(2)在上述轨迹中定出点P的坐标,使得PD+PE=PF. Key 10.解法一:(1)设坐标系如图，点P的坐标为(x,y).由题设x0.直线OA的方程为y=xtg,直线OB的方程为y=-xtg,直线AB的方程为x=h.又因为P点在AOB内,于是由条件PDPF=PE2得x2sin2-y2cos2=(h-x)2,(1)即 x2cos2-2hx+y2cos2+h2=0.除以cos2(0)得 (2)由条件PD+PE=PF得xsin-ycos+h-x=xsin+ycos,即x+2ycos=h. ()由(1),()得x2sin2-y2cos2=4y2cos25y2cos2=x2sin2,由 PD+PEPF可知y0,所以这里右端取正号.代入()得解法二:设OP与正x轴的夹角为,则PD=OPsin(