第八章 第二节 直线的方程.ppt

第二节直线的方程 一 直线方程的形式及适用条件 y y0 k x x0 y kx b 垂直于x 轴 垂直于x 轴 Ax By C 0 A B不全为0 垂直于坐标轴 垂直于 坐标轴 过原点 一般式 过两点P1 x1 y1 P2 x2 y2 的直线是否一定可用两点式方程表示 提示 不一定 1 若x1 x2且y1 y2 直线垂直于x轴 方程为x x1 2 若x1 x2且y1 y2 直线垂直于y轴 方程为y y1 3 若x1 x2且y1 y2 直线方程可用两点式表示 二 线段的中点坐标公式若点P1 P2的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 且线段P1P2的中点M的坐标为 x y 则 1 过点A 3 1 倾斜角的余弦为0的直线方程是 A x 3B y 1C y 3D x 1 解析 由已知cos 0 x 3 答案 A 2 如果A C 0 且B C 0 那么直线Ax By C 0不通过 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 解析 由A C 0 B C 0 直线过一 二 四象限 答案 C 3 过点 1 3 且垂直于直线x 2y 3 0的直线方程为 A 2x y 1 0B 2x y 5 0C x 2y 5 0D x 2y 7 0 解析 直线x 2y 3 0的斜率为k 则所求直线的斜率为 2 故所求直线方程为y 3 2 x 1 即2x y 1 0 答案 A 4 已知直线的倾斜角是60 在y轴上的截距是5 则该直线的方程为 解析 因为直线的倾斜角是60 所以直线的斜率为k tan60 又因为直线在y轴上的截距是5 由斜截式 得直线的方程为y 5 答案 y 5 5 已知直线l过点P 2 3 它的一个方向向量为a 2 4 则直线l的方程为 解析 由已知k 2 l y 3 2 x 2 即2x y 7 0 答案 2x y 7 0 1 用待定系数法求直线方程的步骤 1 设所求直线方程的某种形式 2 由条件建立所求参数的方程 组 3 解这个方程 组 求参数 4 把所求的参数值代入所设直线方程 2 求直线方程时 首先分析具备什么样的条件 然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直线方程 要注意若不能断定直线具有斜率时 应对斜率存在与不存在加以讨论 在用截距式时 应先判断截距是否为0 若不确定 则需分类讨论 ABC的三个顶点为A 3 0 B 2 1 C 2 3 求 1 BC所在直线的方程 2 BC边上中线AD所在直线的方程 3 BC边上的垂直平分线DE的方程 结合所结合所给条件选择适当的直线方程求解 解 1 因为直线BC经过B 2 1 和C 2 3 两点 由两点式得BC的方程为即x 2y 4 0 2 设BC中点D的坐标 x y 则BC边的中线AD过点A 3 0 D 0 2 两点 由截距式得AD所在直线方程为即2x 3y 6 0 3 BC的斜率k1 则BC的垂直平分线DE的斜率k2 2 由斜截式得直线DE的方程为y 2x 2 1 在本例条件下 求过B点且与AC平行的直线方程 解 所求直线的斜率为3 又过点B 2 1 所求直线方程为y 1 3 x 2 即3x y 5 0 1 截距 与 距离 是两个不同的概念 横截距是指直线与x轴的交点的横坐标 纵截距是指直线与y轴交点的纵坐标 截距可以为任意实数 而距离是大于或等于零的实数 2 题目中凡涉及 截距相等 截距互为相反数 截距的绝对值相等 等条件时 一定要考虑截距为零的情形 截距要加绝对值符号后才能成为线段的长度 已知直线l过点P 3 2 且与x轴 y轴的正半轴分别交于A B两点 如右图所示 求 ABO的面积的最小值及此时直线l的方程 先建立AB所在直线方程 再求出A B两点的坐标 表示出 ABO的面积 然后利用相关的数学知识求最值 解 法一 设A a 0 B 0 b a 0 b 0 则直线l的方程为 l过点P 3 2 从而故有 当且仅当a 3 即a 6时 S ABO min 12 此时b 直线l的方程为 1 即2x 3y 12 0 法二 设直线方程为代入P 3 2 得得ab 24 从而S AOB ab 12 此时 方程为2x 3y 12 0 法三 依题意知 直线l的斜率存在 设直线l的方程为y 2 k x 3 k 0 则有A 3 0 B 0 2 3k 当且仅当 9k 时 即k 时 等号成立 故所求直线的方程为2x 3y 12 0 2 在本例条件下 求l在两轴上的截距之和最小时直线l的方程 解 法一 设l的斜率为k 则l的方程为y k x 3 2 令x 0得B 0 2 3k 令y 0得A 3 0 l在两轴上的截距之和为 5 2 当且仅当k 时 等号成立 k 时 l在两轴上截距之和最小 此时l的方程为 法二 设A a 0 B 0 b a 0 b 0 则直线l的方程为故当且仅当即时截距之和最小 此时l的方程为x 3y 3 6 0 a b a b 用解析法解决实际问题 就是在实际中建立直角坐标系 用坐标表示点 用方程表示曲线 从而把问题化为代数问题 利用代数的方法使问题得到解决 在路边安装路灯 路宽23m 灯杆长2 5m 且与灯柱成角120 路灯采用锥形灯罩 灯罩轴线与灯杆垂直 当灯柱高为多少米时 灯罩轴线正好通过道路路面的中线 精确到0 01m 本题是实际应用问题 首先通过作图建立直角坐标系 从而化归为数学问题解决 解 记灯柱顶端为B 灯罩顶为A 灯杆为AB 灯罩轴线与道路中线交于点C 以灯柱底端O为原点 灯柱为y轴 建立如图所示的直角坐标系 点B的坐标为 0 h 点C的坐标为 11 5 0 OBA 120 直线BA的倾斜角为30 则点A的坐标为 2 5cos30 h 2 5sin30 即 1 25 h 1 25 CA BA KCA 由直线的点斜式方程 得CA的方程为y h 1 25 x 1 25 灯罩轴线CA过点C 11 5 0 h 1 25 11 5 1 25 解得h 14 92 m 故灯柱高约为14 92m 3 一根弹簧 挂5kg的物体 长10cm 挂8kg的物体时长16cm 已知弹簧长度l cm 和所挂物体的重量W kg 的关系可以用直线方程来表示 用两点式表示这个方程 并且根据这个方程 求弹簧长为12cm时所挂物体的重量 解 以W为横坐标l为纵坐标 则由题意知直线过点 5 10 和点 8 16 由直线的两点式方程得所求方程为 把l 12代入得 W 6 即弹簧长为12cm时所挂物体的重量为6kg 直线方程问题在高考中是每年必考内容 大致考查方式有 1 在选择 填空中与平行 垂直的条件相结合求直线方程 2 与圆相联系 涉及圆的切线 弦长问题考查直线方程的应用 3 在解答题中考查直线与圆锥曲线的位置关系 多用点斜式和斜截式 2009年安徽卷在选择题中将垂直关系与直线方程的求法相结合进行考查 难度不大 属容易题 2009 安徽高考 直线l过点 1 2 且与直线2x 3y 4 0垂直 则l的方程是 A 3x 2y 1 0B 3x 2y 7 0C 2x 3y 5 0D 2x 3y 8 0 解析 法一