044空间几何量的计算(复习设计)(师).doc

专题044：空间几何量的计算（复习设计）（师）考点要求： 1、掌握几何体的表面积和体积的计算。2、掌握角的相关计算，包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角及其平面角。3、掌握距离的相关计算，特别是利用等体积法求点到面的距离。了解异面直线的距离即公垂线段。理解两个平行平面的距离的计算。一、知识结构1 斜线,垂线,射影垂线：自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段. 斜线： 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段射影：过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线直线与平面垂直射影是点斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上2射影长相等定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中射影相交两条斜线相交；射影较长的斜线段也较长相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长；垂线段比任何一条斜线段都短3.异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）为了简便，点通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直两条异面直线 垂直，记作4直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0角。直线和平面所成角范围： 0，（2）最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角5二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为，两个面分别为的二面角记为6二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做二面角的平面角（2）一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足，则也是的平面角（1）二面角的平面角范围是；（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直7.两条异面直线的公垂线、距离：和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线 因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义两条异面直线的公垂线有且只有一条8异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离*9三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；（2）推理模式： *10三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直 推理模式： 11空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量 都叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；12空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标13 模长公式：若， 则14两点间的距离公式：若，则基础自测：1.【2012高考上海文5】一个高为2的圆柱，底面周长为，该圆柱的表面积为 【答案】【解析】底面圆的周长，所以圆柱的底面半径，所以圆柱的侧面积为两个底面积为。，所以圆柱的表面积为。2.【2012高考江苏7】如图，在长方体中，则四棱锥的体积为 cm3【答案】6。【考点】正方形的性质，棱锥的体积。【解析】长方体底面是正方形，中 cm，边上的高是cm（它也是中上的高）。 四棱锥的体积为。3.【2012高考辽宁文16】已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA平面ABCD，四边形ABCD是边长为2正方形。若PA=2,则OAB的面积为_.【答案】【解析】点【点评】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以及转化思想，该题灵活性较强，难度较大。该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到条件中的垂直关系，把三棱锥转化为长方体来考虑就容易多了。4.【2012高考山东文13】如图，正方体的棱长为1，E为线段上的一点，则三棱锥的体积为.【答案】【解析】因为点在线段上，所以，又因为点在线段上，所以点到平面的距离为1,即，所以.5（2013年高考课标卷（文15）已知正四棱锥的体积为，底面边长为，则以为球心，为半径的球的表面积为_。【答案】【解析】设正四棱锥的高为，则，解得高。则底面正方形的对角线长为，所以,所以球的表面积为.例题选讲：1.异面直线所成的角例1：（2010全国卷1文数）(6)直三棱柱中，若，则异面直线与所成的角等于（ ）(A)30 (B)45(C)60 (D)90【命题意图】本小题主要考查直三棱柱的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法. 【解析】延长CA到D，使得，则为平行四边形，就是异面直线与所成的角，又三角形为等边三角形，2.直线与平面所成的角例2：（2013年高考大纲卷（文11）已知正四棱锥的正弦值等于（）ABCD【答案】A 【解析】如图，因为BD平面ACC1A1，所以平面ACC1A1平面BDC1，在RtCC1O中，过C作CHC1O于H，连结DH，则CDH即为所求，令，显然，所以，故选A.3二面角及其平面角例3：【2012高考重庆文20】（本小题满分12分，（）小问4分，（）小问8分）已知直三棱柱中，为的中点。（）求异面直线和的距离；（）若，求二面角的平面角的余弦值。 【答案】（）（）【解析】（）如答（20）图1，因AC=BC， D为AB的中点，故CD AB。又直三棱柱中， 面 ，故 ，所以异面直线 和AB的距离为（）：由故 面 ，从而 ，故 为所求的二面角的平面角。因是在面上的射影，又已知 由三垂线定理的逆定理得从而，都与互余，因此，所以，因此得从而所以在中，由余弦定理得CBAC1A14.异面直线间的距离例4：如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB=90，AC=BC=AA1=1，求异面直线AC与B1C1的距离。5.点与平面的距离例5：（2013年高考大纲卷（文）如图,四棱锥都是边长为的等边三角形.(I)证明: (II)求点 【答案】()证明:取BC的中点E,连结DE,则ABED为正方形. 过P作PO平面ABCD,垂足为O. 连结OA,OB,OD,OE. 由和都是等边三角形知PA=PB=PD, 所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点, 故,从而. 因为O是BD的中点,E是BC的中点, 所以OE/CD.因此,. ()解:取PD的中点F,连结OF,则OF/PB. 由()知,故. 又, 故为等腰三角形,因此,. 又,所以平面PCD. 因为AE/CD,平面PCD,平面PCD,所以AE/平面PCD. 因此,O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离,而, 6.直线与平面的距离例6：【2012高考全国文8】已知正四棱柱中 ，为的中点，则直线与平面的距离为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】连结交于点，连结，因为是中点，所以,且，所以，即直线 与平面BED的距离等于点C到平面BED的距离，过C做于,则即为所求距离.因为底面边长为2，高为，所以,所以利用等积法得，选D. 所以A至平面PCD的距离为1. 巩固作业：1.（2010全国卷1文数）正方体-中，与平面所成角的余弦值为（ ）（A） （B） （C） （D）ABCDA1B1C1D1O9.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面AC的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析1】因为BB1/DD1,所以B与平面AC所成角和DD1与平面AC所成角相等,设DO平面AC，由等体积法得,即.设DD1=a,则,.所以,记DD1与平面AC所成角为,则,所以.【解析2】设上下底面的中心分别为；与平面AC所成角就是B与平面AC所成角，2（2013年高考江西卷（文）如图,直四棱柱ABCD A1B1C1D1中,AB/CD,ADAB,AB=2,AD=2,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3(1)证明:BE平面BB1C1C;(2)求点B1 到平面EA1C1 的距离【答案】解.(1)证明:过B作CD的垂线交CD于F,则 在 在,故 由 (2) , 同理, 因此.设点B1到平面的距离为d,则 ,从而 3(2011湖南文)如图3，在圆锥中，已知的直径的中点（I）证明：（II）求直线OC和平面所成角的正弦值解析：（I）因为又内的两条相交直线，所以（II）由（I）知，又所以平面在平面中，过作则连结，则是上的射影，所以是直线和平面所成的角在在4(2011天津文）（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为中点，平面，为中点（）证明：/平面；（）证明：平面；（）求