第03章 统计数据的描述.doc

第3章 统计数据的描述课时安排6课时教学课型理论课方法手段和媒介直接讲授法、示例法、提问、启示法；多媒体教学、黑板板书；教科书，习题集目的与要求1正确理解综合指标，包括总量指标、相对指标、平均指标及标志变异指标等的概念、意义和作用；2掌握各综合指标的计算原则和计算方法，明确它们的种类、它们之间的联系与区别，并能应用它们进行经济统计资料的整理与分析；重点与难点1总量指标的概念，时期指标与时点指标的特点与区别；2每种相对指标的计算方法。3平均指标的概念、算术平均数的计算及两个重要性质、调和平均数的计算方法、几何平均数的计算方法及应用条件、众数和中位数的概念。4标志变异指标的概念与作用、平均差、标准差及标志变异系数的计算；5总方差、组间方差和组内方差的概念与计算方法。作业安排思考习题1、3、5，7，9，11 教学过程与内容见后本章目录第一节 总量指标33一、总量指标的概念和作用33二、总量指标的种类33第二节 相对指标34一、相对指标的概念和表现34二、相对指标的作用34三、相对指标的种类和计算方法35四、计算和运用相对指标时应注意的问题38第三节 平均指标39一、平均指标的概念与作用39二、算术平均数39三、调和平均数42四、 几何平均数43五、众数44六、中位数45七、集中趋势测定指标的比较46八、应用平均指标应注意的问题47第四节 标志变异指标48一、标志变异指标的概念与作用48二、全距48三、平均差48三、标准差和方差50四、变异系数53本章小结55重要术语55思 考 题55计 算 题55【案例导入】在一家财产保险公司的董事会上，董事们就公司的发展战略问题展开了激烈讨论。有的董事提出，2005年公司的财产险销售收入为721152千元，与上年相比没有太大增长，其中家庭财产险销售收入为36057.6千元，仅占财产险销售收入的5%。其主观原因是对家庭财产保险的业务开展得不够，公司在管理方式上也存在问题。他认为，中国的家庭财产保险市场潜力巨大，应加大扩展这一业务的力度，同时，应对公司家庭财产险推销员实行目标管理，并根据目标完成情况建立相应的奖惩制度。董事长认为该董事的建议有一定道理，准备采纳。会后，他责成计划部经理尽快拿出具体的实施方案。计划部经理接到任务后感到有些头痛。如果目标定得过高，多数推销员完不成任务，会使推销员失去信心；如果定得过低，将不利于充分挖掘员工的工作潜力，提高公司的业绩水平。于是，他将公司160个推销员的月销售额分别作了统计,统计数据如表所示：某保险公司160名家庭财产险推销员月销售额统计数据（单位：千元）25.0517.4813.8025.2915.4216.2221.0917.9326.5122.288.8122.3823.4017.9318.6415.5613.2221.7217.5217.7524.2617.5721.6625.5323.9417.0721.1917.9718.6922.659.6417.5718.7312.3715.4817.1417.1618.0215.4315.8811.0515.6426.7425.8316.9821.2521.3132.4017.5713.8519.0515.6514.5226.0718.7817.318.4018.2413.6123.2725.6417.6121.8114.2617.7915.1315.8814.8718.9615.8419.2715.4614.7826.715.7618.2218.2917.3914.1621.9212.9615.7718.2817.8417.6117.2521.6413.5119.2523.5021.1617.7014.9226.9315.8221.5313.9718.3311.4315.1517.2523.1615.0817.6621.5317.3415.3423.4519.3523.7613.3317.7521.4227.7615.8619.4614.6118.4231.3417.6217.2515.7113.2531.1617.1617.4121.8818.5117.4324.2013.6127.5015.2719.4522.8423.6517.9617.4819.5512.7421.417.9018.9421.3415.9917.4318.5518.6319.9124.8013.6825.4015.3732.5516.1622.1322.1618.6421.039.24如果你是计划部经理，观察这160个原始数据后，准备如何来制定具体的销售目标呢？如果能够找出这160名推销员的月销售额的代表值（平均数），那么，这个代表值就有可能成为销售额的具体目标值。因为这个代表值反映了这160个数据的集中趋势。同时，为了使销售目标制定得科学、合理，还必须考虑每个推销员月销售额之间的差别，要了解这160人中月销售额最多的与最少的相差多少？每个人的销售额与平均数相比差多少？月销售额之间的差异越大，平均数对一组数据的代表性就越差；反之，月销售额之间的差异越小，平均数对一组数据的代表性就越好。数据之间的这种差异也是制定销售目标的重要依据。在这一章中，你将学习统计数据描述的数量方法。主要有总量指标、相对指标、平均指标和标志变异指标等。第一节 总量指标一、总量指标的概念和作用总量指标是反映某种现象在一定条件下的总体规模或水平的统计指标，或者说，是描述数据总量特征的指标。它的表现形式是绝对数，因此也称为绝对指标或绝对数。如一个国家或地区某一时期的人口数、土地面积、国内生产总值、社会商品零售额、粮食产量、原油产量、原煤产量等。总量指标具有两个明显的特点：一是总量指标反映的研究对象必须是有限总体，只有有限总体才能计算总量指标；二是总量指标的数值的大小与总体范围有关，随着总体范围大小的变化而增加或减少。总量指标是统计中最基本的指标，在实际统计工作中应用十分广泛。其作用可概括为以下三点： 它可用来反映研究对象的基本状况，是认识研究对象的起点。在社会经济领域，总量指标常用来反映一个国家的国情和国力，反映一个地区、部门或单位的规模、水平、基本状况和实力。例如，一个国家的粮食产量、国内生产总值、钢铁产量、土地面积、石油储藏量等总量指标，标志着该地区的消费水平和经济实力；一个地区的商品零售额、零售商业机构数等总量指标，标志着该地区的消费水平；开篇案例中保险公司2005年财产险销售收入721152千元、家庭财产险销售收入36057.6千元，分别反映了该公司当年财产险、家庭财产险的业务规模。 它是制定政策、编制计划和实施管理的重要依据。无论是宏观调控还是微观管理，必须从客观实际出发，以反映客观事物现在和历史的相关总量指标作为重要的参考依据。例如，一个国家的石油资源存储量、石油资源消耗量等总量指标是该国石油资源开发、利用和管理的重要参考依据；城乡居民储蓄存款余额、全社会固定资产投资总额、货币流通量等总量指标是国家制定货币发行量、存贷款利率、存贷款额度、基本建设投资规模等各项金融政策和财政政策的基础。 它是计算相对指标和平均指标的基础。相对指标和平均指标一般是由两个有联系的总量指标对比计算出来的，是总量指标的派生指标。例如，人口性别比是男性人口数与女性人口数之比，人均国内生产总值是国内生产总值除以人口数之商等。二、总量指标的种类1总量指标按其反映的总体内容不同，分为总体单位总量和标志总量总体单位总量简称单位总量，反映总体本身的规模大小，是统计总体单位的合计数；总体标志总量简称标志总量，反映总体单位某种标志值的总和。例如，某地100家企业的职工人数为9万人，产值18亿元。这里“100家企业”就是单位总量，“职工人数9万人”、“产值18亿元”就是标志总量。需要注意的是，单位总量和标志总量的地位随着统计研究目的的不同和研究对象的变化而变化。当以工业企业为总体时，职工人数是标志总量；当以全部职工为总体时，职工人数则是单位总量。2总量指标按其反映的时间状况不同，分为时期指标和时点指标时期指标是反映现象在一段时期内活动过程总结果的总量指标，如工业总产值、商品销售额、国内生产总值等。它有两个基本特点：（1）各期指标数值可以累计相加，累加结果表示更长一段时间内事物活动过程的总数量。例如，一年的产量是本年度四个季度的产量之和。（2）时期指标数值的大小与计算时期的长短有直接关系。例如，全年的产量要比本年度任何一个季度的产量大，一季度的产量也比本季度任何一个月份的产量要大。时点指标是反映现象在某一时刻上的状态的总量指标，如期末职工人数、人口数、商品库存量、固定资产原值等。它的特点有：（1）各时点指标数值不能累计相加，累加结果无实际意义。例如，我们不能将某学校全年各月初或各月末的学生人数相加作为本年度该校的全部学生人数。（2）指标数值的大小与时间间隔长短没有直接关系。例如，某企业某种物资的库存量年末数不一定大于本年第一季度末的数字，而第一季度末的数字也不一定大于当季第一个月末的数字。3总量指标按其采用的计量单位不同，分为实物指标、价值指标和劳动指标实物指标是以实物单位计量的总量指标。实物单位是根据事物的属性和特点而采用的计量单位，有自然单位、度量衡单位、标准实物单位等，如人口数、粮食产量、发电量分别以“人”、“吨”、“千瓦时”为计量单位等。实物指标可以直接反映产品的使用价值或现象的具体内容。但是，不同属性和计算单位的实物指标不能直接汇总，因此它无法用来反映非同类现象的总规模和总水平。价值指标是以货币单位计量的总量指标，如国内生产总值、工业总产值、产品销售收入、产品销售成本等。价值指标通过货币单位把不同事物直接加总，代表一定的社会必要劳动量，具有最广泛的综合性和概括性，能综合反映现象在一定条件下的总规模、总水平，在经济领域应用极其广泛。但是，价值指标脱离了具体的物质内容，比较抽象。因此，应将价值指标和实物指标结合起来使用，才能全面地认识问题。劳动指标是以劳动时间单位计量的总量指标，如出勤工日、实际工时、定额工时等。劳动指标主要在企业范围内或同行业范围内使用，是企业编制和检查计划的重要依据。需要注意的是，不同类型、不同经营水平企业的劳动不能直接相比。 第二节 相对指标一、相对指标的概念和表现总量指标虽然是反映现象总规模、总水平的重要指标，但它不能反映现象间的数量联系、对比关系及现象的内部结构等。要解决这些问题，就必须计算相对指标。相对指标是用两个或两个以上有联系的指标数值对比求得的说明现象之间数量对比关系的指标。或者说，是描述数据内部结构特征和数据间联系特征的指标。其结果表现为相对数，故相对指标称为相对数。相对指标有无名数和有名数两种表现形式。无名数是一种抽象化的数值，常以系数、倍数、百分数、千分数、翻番数、成数、百分点等 表示。系数和倍数是将对比的基数抽象化为1而计算的相对数。两个指标对比，其分子和分母指标数值相差不大时常用系数，子项较母项大得多时常用倍数。百分数是将对比的基数定为100而计算的相对数。千分数是将对比的基数定为1000而计算的相对数，当对比的分子比分母小得多的时候，宜用千分数表示。翻番数是指两个相比较的数值中，一个数是另一数的“2m”倍，m是番数。例如，某市2000年的工业增加值为120亿元，计划到2010年翻二番，则该市2010年的工业增加值 应达到480亿元。成数是将对比的基数定为10而计算的相对数。百分点是百分比中相当于1%的单位，它与百分数不同。例如，某市2008年的经济增长率比计划任务超过了一个百分点，并不是指经济增长超额1%完成了计划，而是实际经济增长率与计划经济增长率之差是1%。有名数主要用于强度相对指标，说明事物的强度、密度和普遍程度。它是以相对指标中分子与分母指标数值的双重计量单位来表示的，如人口密度用“人平方公里”表示、城市人口拥有公共汽车数用“辆万人”或“客位万人”表示等。二、相对指标的作用第一，利用相对指标可以较清楚地反映现象内部结构和现象之间的数量联系程度，对现象进行更深入地分析和说明。例如，某地区1990年生产总值为1050亿元。其中第一产业为200亿元 ，占19.0%；第二产业为530亿元 ，占50.5%；第三产业为320亿元，占30.5%。到2008年，该地生产总值达到9800亿，其中第一产业为950亿元，占9.7%；第二产业为4360亿元，占44.5%，第三产业为4490亿元，占45.8%。上述这些相对指标说明，该地区在19902008年间产业结构发生了巨大变化，第一产业所占比重大幅下降，第三产业所占比重大幅上升，产业结构日趋高级化。第二，利用相对指标可以使某些不能直接对比分析的统计指标，取得可以比较的基础。例如，2008年甲、乙两家上市公司的利税总额分别是1亿元和8000万元，若直接依据这两个数字的大小 来判断两家公司经济效益的好坏，好像甲公司经营效益更好。事实上，要判断公司经济效益的好坏，不仅要看其产出，还要看其投入。甲公司资本金为10亿元 ，乙公司资本金为5亿元，若计算它们的资金利税率，则甲公司的资金利税率 为10%，乙公司的资金利税率为16%，显然，乙公司经济效益更好。所以用资金利税率等相对指标来对生产规模不同的企业经济效益进行评价更为客观和合理。三、相对指标的种类和计算方法相对指标按其作用和计算方法不同可分为许多种，常用的相对指标有结构相对指标、比例相对指标、比较相对指标、强度相对指标、动态相对指标、计划完成程度相对指标等。1结构相对指标概念：结构相对指标是指将总体按某一标志分组，然后将各组指标数值与总体指标数值对比求得的结果，通常称为比重，用百分数表示，其计算公式为：结构相对指标的计算通常与统计分组相联系，先分组，确定总体中部分数值，而后计算不同部分间的比例。例 我国2002年的农、林、牧、渔业总产值这27 390.8亿元，其中农业产值14 930.73亿元，林业产值1 032.63亿元，牧业产值8 455.54亿元，渔业产值2971.90亿元，求结构相对指标。农、林、牧、渔业的产值在总产值中所占的比重为：农业：14930.73/27390.8100%=54.51%林业：1032.63/27390.8100%=3.77%牧业：8455.54/27390.8100%=30.87%渔业：2971.90/27390.8100%=10.85%例 我国2002年GDP及其构成如下表所示：表3-1 2002年我国GDP及其构成产业GDP总额（亿元）GDP比重（%）第一产业14 883.314.5第二产业52 981.951.8第三产业34 532.833.7合 计102 397.9100资料来源：中国统计摘要（2003）则各结构相对数为：第一产业：14 883.3102 397.9 = 14.5%第二产业：52 981.9102 397.9 = 51.8%第三产业：34 532.8102 397.9 = 33.7%应该注意到，同一总体各组的结构相对数值之和等于100%。某一组的比重越大，说明对总体的影响也越大，如本例中，第二产业占全部GDP的比重达到51.8%，表明第二产业仍旧是我国经济的主体。2比例相对指标概念：比例相对指标是指同一总体内不同组成部分的指标数值对比的结果，它可以表明总体内部的比例关系。其计算公式为：比例相对指标可以用百分数表示，也可以用一比几或几比几的形式表示。例：上例中我国GDP产业构成比例相对数为：第一产业与第二产业相比：第一产业GDP第二产业GDP = 14 883.352 981.9 = 28.09%也可以表示为：第一产业 : 第二产业 = 14 883.3 : 52 981.9 = 1 : 3.56分析总体中若干部分的比例关系时可以采用连比形式。如上例中三次产业GDP的比例为：1 : 3.56 : 2.32例 根据第五次全国人口普查的快速汇总结果，中国大陆31个省、自治区、直辖市人口和现役军人人口中，男性为65 355万人，占总人口的51.63%；女性为61 228万人，占总人口的48.31%。性别比为106.74100.00（65 35561 288）。计算结果是比例相对指标，它表明了2000年我国人口中的性别比例。比例相对指标对于国民经济宏观调控具有重要意义。3比较相对指标概念：比较相对指标是同一时间不同总体（如不同国家、不同地区、不同单位）的同一项指标对比的结果。它可以说明现象发展的不均衡程度。其计算公式为：比较相对指标一般用倍数表示，有时也可以用系数表示。例 2002年北京市和上海市的城镇居民人均消费支出分别是10 284.6元10 464.0元。由可得2002年上海市与北京市的城镇居民人均消费支出比为10 464.010 284.6 = 1.017因此，说明上海市的人均消费支出是北京市的1.017倍。例 2008年A国的煤炭产量为139700万吨，B国的煤炭产量为106289万吨。比较相对指标=139700106289=1.31，它表明A国的煤炭产量是B国的1.31倍。运用比较相对指标对不同国家、不同地区、不同单位的同类指标进行对比，有助于揭露矛盾、找出差距、挖掘潜力，促进事物进一步发展。4强度相对指标概念：强度相对指标是两个性质不同而有联系的总量指标对比的结果。这个指标可以反映现象的强度、密度和普遍程度，其计算公式为：强度相对指标是以名数表示的，如商品流转次数用“次”表示；也有些强度相对指标的名数是由分子分母的计量单位组成的，例如某地区一定时期的粮食产量与人口数量对比，得到平均每人粮食产量为“公斤/人”；还有些用百分数、千分数等表示的。有些强度相对指标的分子和分母可以互换，形成正指标和逆指标两种计算方法。例如：反映医疗保证程度的指标： . 正指标 . 逆指标强度相对指标可以反映国民经济和社会发展的基本情况，反映生产条件及公共设施的配备情况，也可以反映经济效益的情况。强度相对指标数值的表现形式有两种：一是复名数，即复合单位，如人均国内生产总值用“元/人”、人口密度用“人/平方公里 ”来表示等等。二是无名数，即无计量单位，一般用次数、倍数、系数、百分数或千分数表示，如高炉利用程度用高炉利用系数表示、货币流通速度用货币流通次数表示、流通费用率用百分数表示、人口出生率用千分数表示等等。例 某地区2008年平均总人口数为378687人，年内出生人数为69023人，年内死亡人数为28936人。求强度相对指标=18. 23=7. 642008年人口自然增长率=18.23-7.64=10.59例 2004年某地区有医院、卫生院669个，医生2.04万人，医院床位数2.92万张，人口1 259万人，求强度相对指标。每千人口医生数=（2.04/1259）1 000=1.62（人/千人）每千人医院床位数=（1 259/1 259）1 000=2,32（张/千人）平均每一医院服务人口数=（1 259 10 000）/669=18 819（人/医院）计算强度相对指标应注意的三点：第一，强度相对指标往往牵涉到一些人均指标，如人均国民生产总值、全国（地区）人均粮食产量、全国（地区）人均钢铁产量等，这些指标看似平均指标，实是强度相对指标。因为平均指标是总体的标志总量与总体单位总量的对比，而上述人均指标都不是。第二，有些强度相对指标中用做比较的两个总量指标，可以互为分子或分母。因此，这些强度相对指标就有正指标和逆指标两种形式。正指标是指强度相对指标的数值大小与现象的发展程度或密度成正向变化；逆指标是指强度相对指标的数值大小与现象的发展程度或密度成反向变化。但有些强度指标只有正指标，没有逆指标，如一国的铁路网密度。第三，并不是任意两个总量指标对比都能得到有意义的强度相对指标，计算和运用强度相对指标时应注意现象之间的内在本质联系，只有现象之间存在内在本质联系，两个总量指标的对比才会有现实意义。如人口数与土地面积相比，能够说明人口的密度，但若用钢产量和土地面积相比、课桌数与土地面积相比，就没有意义了。5动态相对指标概念：动态相对指标是某一指标不同时间上的数值对比的结果，说明同类现象不同时间上的发展程度，也称为发展速度。动态相对指标一般用百分数表示，计算公式为：公式中的基期是作为比较标准的时期，报告期是用来与基期对比的时期，是人们观察研究的时期。动态相对指标有发展速度、增长速度等。例 某企业2003年的销售收入为89 404万元，2002年为82 067万元。则2003年销售收入的发展速度为：这两年间的年增长速度为8.94%。例 某企业2007年实现净利润3200万元，2008年实现净利润3500万元。求动态相对指标计算结果表明，该企业2008年净利润比2007年增长9.38%。6计划完成程度相对指标概念：计划完成程度相对指标是某一时期实际完成的指标数值与计划指标数值对比的结果，一般用百分数表示。其基本计算公式为：例 某公司2002年计划销售额为2.5亿元，实际销售额为2.8亿元。则该企业2002年产品销售计划完成程度相对指标为：这个计算结果说明，该年度完成销售计划的112%，超额完成计划12%。由于现象的不同特点，在制定计划时可以采用总量指标、相对指标以及后面所讨论的平均指标等几种不同形式，因此，计算计划完成程度相对指标时也有区别。下面介绍相对指标的计划完成程序计算方法。以相对指标下达计划有两种形式：一种是由两个计划的总量指标对比得到的相对指标，另一种是计划规定提高或降低率。 两个总量指标对比的相对指标的计划完成程度。例 设某公司2003年第一季度计划商品流通费用率为4%，实际流通费用率为5%。则流通费用率计划完成程度相对指标为：说明该公司商品流通费用率高于计划25%，没有完成计划。 提高或降低率相对指标的计划完成程度。例题：某企业劳动生产率计划规定2002年比2001年提高5%，实际提高8.5%。则计算结果说明，该企业的实际劳动生产率超过计划3.33%。如果计划规定的任务是降低率，计算结果愈小愈好，则用减法计算。计划完成情况的检查，可分为长期计划检查和短期计划检查两种。依计划任务数的规定不同，检查长期计划的完成情况又有水平法和累计法两种方法。水平法当计划任务数是规定末期应达到的水平时，要采用水平法检查计划的完成情况。其计算公式为：例 某油田“十五”（2001-2005）计划规定2005年石油产量应达到500万吨，实际执行情况是2005年第一季度末达到500万吨，2005年第四季度末达到520万吨。求计划完成程度及提前完成计划的时间。五年计划任务于2005年第一季度末完成，提前了3个季度。累计法当计划任务数是规定在整个计划期间应完成的累计数时，用累计法检查计划完成情况。其计算公式为：例 某企业“十五”计划规定基本建设投资总额为1500万元，五年实际累计完成投资额为1540万元，求计划完成情况相对指标。按累计法计算提前完成计划的时间，是将计划期的全部时间减去自执行计划之日起至累计完成计划的时间。四、计算和运用相对指标时应注意的问题1分子指标和分母指标必须具有可比性2要把相对指标与绝对指标结合起来运用第三节 平均指标平均指标是表明同类社会经济现象一般水平的统计指标。一般用平均数形式表示，因此也称作平均数。平均指标可以是同一时间的同类社会经济现象的一般水平，称为静态平均数，也可以是不同时间的同类社会经济现象的一般水平，称为动态平均数。一、平均指标的概念与作用概念：平均指标是同质总体各单位某一数量标志值在具体时间、地点和条件下达到的一般水平。例如：对某单位职工的某月工资额进行平均，得到职工的月平均工资；对某种产品的成本进行平均，得到该种产品单位平均成本；对某人口总体的每个人年龄进行平均，得到平均年龄，等等。平均指标在认识社会经济现象总体数量特征方面有重要作用。 平均指标可以反映现象总体的综合特征。通过平均，消除偶然因素造成的差异，显示出由于必然因素达到的一般水平。 平均指标可以反映分布数列中变量值分布的集中趋势。总体分布一般是向中间集中，中心是平均数，因此，平均数可以说明总体的集中趋势。 平均指标经常用来进行同类现象在不同时间、空间和条件下的对比分析。平均指标在抽样推断中是一个重要指标，根据样本平均数估计总体平均数，进而可以估计总体总量。平均指标按计算和确定的方法不同，分为算术平均数、调和平均数、几何平均数、众数、中位数等。前三种是根据总体各单位的标志值计算得到的平均值，称作数值平均数。众数和中位数是根据标志值在分配数列中的位置确定的，称作位置平均数。二、算术平均数1算术平均数的基本形式算术平均数的基本形式是：总体单位某一数量标志之和除以总体单位数。计算公式如下：例 某企业2002年5月职工平均人数为82人，其工资总额为196 800元。则该企业职工月平均工资为：注意：在计算算术平均数时，分子与分母必须同属一个总体，具有一一对应的关系。算术平均数有两种计算方法：简单算术平均法和加权算术平均法。下面分别说明之。2简单算术平均法依据未分组的原始数据，将总体各单位的标志简单加总求和，除以总体单位数所得结果即为简单算术平均数。这种方法为简单算术平均法，其计算公式如下：例 某售货小组有5个人，某天销售额分别为520元、600元、480元、750元、440元。则平均每人日销售额为：3加权算术平均法原始数据经过分组，编成分配数列，将各组标志值乘以相应的次数，然后加总求和，再除以总次数（总体单位数），所得到的结果为加权算术平均数。这种方法为加权算术平均法。其计算公式如下：例 某车间各组有关产量和工人人数资料见下表：表3-2 某车间某月产量情况组 别人均产量（件）x工人人数（人）f各级总产量（件）xf一组1208960二组100424 200三组90302 700合 计807 860该车间平均每人产量为：如果已知资料为组距数列，可以用组中值代替各组标志值计算平均数。例 某公司20个连锁店的有关资料如下表所示：表3-3 各连锁店销售情况销售额（万元）组中值x商店个数f（人）xf20以下1511520302551253040359315405045313550以上552110合 计20700该公司每个（所有）连锁店的平均销售额为：用组中值代替各组标志值具有假定性，即假定各组内部的标志值分布是均匀的。因此，计算的平均数只是近似值，而不是准确数值。加权算术平均数受两个因素的影响：一个是分布数列中各组的标志值；另一个是各组标志值出现的次数。当各组标志值确定不变时，各组次数起着决定性作用。出现次数多的标志对平均数的影响作用大，使平均数向其靠拢。从而可以看出，各组标志值的出现次数在计算平均数的过程中起着权衡轻重的作用，故常将其称作权数。权数也可以用各组单位数占总体单位数的比重表示，将各组标志值乘以相应的比重然后求和，即得加权算术平均数。其计算公式为：上例中，用本公式计算则为：其结果与前面公式计算一样。例 根据表3-2资料，可计算表如下：表3-4 计 算 表组 别人均产量（件）x各组人数占总人数比重(%)人均产量与比重乘积一组12010.012二组10052.552.5三组9037.533.75合 计100.098.25计算结果表明，平均每人产量靠近人数占较大比重的第二组的标志值100件。若各组单位数与总体单位数同时发生变化，而各组比重不变，则平均数不变。简单算术平均数是加权算术平均数的一个特例，是权数相等条件下的加权算术平均数。4算术平均数的两个重要的数学性质 各标志值与算术平均数的离差之和等于零。所谓离差是指标志值减平均数之差。即：未分组资料：分组的资料： 各标志值与算术平均数的离差平方和最小。即：未分组资料： 为最小分组的资料： 为最小所谓最小离差平方和，是指标志值与算术平均数的离差平方和，比标志值减去任何不等于平均数的常数离差平方之和都要小。这两个性质是进行趋势预测、回归预测、建立数学模型的重要数学理论依据。5是非标志算术平均数的计算方法。是非标志是指只有“是”和“非”两种属性表现的标志。如，产品可分为合格品或不合格品；学生成绩可分为及格或不及格等等。由于是非标志只有质的差别，没有量的差别，不能直接计算平均数，需进行数量化处理，即将是非标志质的差异过渡到数量上的差异。具体方法是：将全部总体单位分为两个组，一组具有“是”的属性表现，另一组具有“非”的属性表现；以1代表“是”的标志值，以0代表“非”的标志值；以N1代表“是”组的总体单位数，以N0代表“非”组的总体单位数，以N代表全部单位数，且N1+ N0=N；以p代表“是”组的总体单位数占全部总体单位数的比重，以q代表“非”组的总体单位数占全部总体单位数的比重，且p+q=l，则是非标志的算术平均数为： 例 某班50名学生英语考试成绩公布如下：及格39人，不及格11人，求平均及格率。三、调和平均数概念：调和平均数是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒数，也称不倒数平均数。举例：早中晚买土豆的问题。某市场土豆单位为：早晨每公斤1.1元，中午每公斤1.3元，傍晚每公斤1.0元，某人早、中、晚各买了1元钱的土豆，试问该人购买的土豆平均单价是多少？这时，我们不能用算术平均数（1.1+1.3+1.0）/3来计算，正确的计算方法是先计算出早、中、晚各购买了多少公斤土豆，再用购买的土豆总量除以购买土豆所用的总金额3元，再求然倒数即可，如下。这样计算的平均数即是调和平均数。 1调和平均数的计算公式调和平均数的计算也有两种公式：简单调和平均法和加权调和平均法。 简单调和平均法。选计算总体单位标志值倒数的简单算术平均数，然后求其倒数。计算公式如下：式中，H表示调和平均数。 加权调和平均法。是先计算总体单位标志值倒数的加权算术平均数，然后求其倒数。计算公式为：式中，m表示权数。2调和平均数的应用在社会经济统计学中，调和平均数经常作为算术平均数的变形来使用。已知分布数列各组标志值及其标志总量，计算平均指标可采用调和平均法。例 将上例中的某车间产品产量资料改为如下表：表3-5 某车间各组产量情况组 别人均产量（件）x产量（件）m一组120960二组1004 200三组902 700合 计7 860 则其人均产量为：计算结果与加权算术平均法的计算结果相同，均为98.25件。这是因为各组奖金总额m等于各等级奖金额x与人数f的乘积。即m=xf 。用计算公式表现其关系为：从上式可以看出，两种平均数的计算方法虽然不同，但其内容相同，因此计算结果也是一致的。在社会经济现象的许多方面，需要对相应指标计算平均数。如平均利润率、平均合格率、平均计划完成程度等。例 某公司下属三个部门的销售资料如下表所示：表3-6 某公司下属三个部门的销售情况部 门销售利润率（%）x销售额（万元）fA121000B102000C71500合 计4500三个部门的平均利润率即是该公司的销售利润率。销售利润率等于利润额与销售额之比。所以，可以用各部门的利润率乘以销售额得各部门的利润额，然后用各部门利润总额除以销售额，便可以得出平均利润率。其计算方法如下：若缺少销售额资料，有利润额资料，如下表：表3-7 某公司下属三个部门的销售情况部 门销售利润率（%）x利润额（万元）mA12120B10200C7105合 计425则三个部门的平均利润率可以用各部门利润额除以销售利润率得到销售额，然后用各部门利润之和除以总销售额，便可得平均利润率。其计算方法如下：概括：已知相对指标的分母资料，可将其作为权数，采用加权算术平均法；已知相对指标的分子资料，可将其作为权数，采用加权调和平均法。四、 几何平均数几何平均数是n个变量乘积的n次方根。在社会经济统计中，几何平均法适用于计算平均比率和平均速度。几何平均数有两种计算方法：简单几何平均法和加权几何平均法。1简单几何平均数的计算公式式中，G表示几何平均数，x表示变量值，n表示变量值个数。例 某机械厂有毛坯车间、粗加工车间、精加工车间、装配车间四个流水连续作业的车间。本月份毛坯车间制品合格率为95，粗加工车间合格率为92，精加工车间合格率为90，装配车间合格率为85，求四个车间平均产品合格率。例 某产品的生产过程包括3道流水作业的连续工序，这三道工序的产品合格率分别为80%、95%和90%。要计算生产过程中三道工序的平均合格率，就不能用算术平均数和调和平均数的计算方法，而要用到几何平均数的计算方法：2加权几何平均数的计算公式例 设某笔为期20年的投资按复利计算收益，前10年的年利率为10%，中间5年的年利率为8%，最后5年的年利率为6%。求整个投资期内的年平均利率。注意，利用加权几何平均法计算平均年利率时，年利率必须是按复利计算的；同时，计算时必须先将各年利率加1换算成各年本利率，然后按加权几何平均法计算平均年本利率，结果再减1，得平均年利率。社会经济现象用几何平均法计算平均数应满足两个条件：其一，若干个比率或速度的乘积等于总比率或总速度；其二，相乘的各比率或速度不得为负值。五、众数算术平均数、调和平均数、几何平均数是根据总体全部单位的标志值计算的，而众数和中位数是根据标志值在总体中所处的特殊位置确定的。众数和中位数作为总体一般水平的代表值，具有直观性的特点。1众数的概念众数是总体中出现次数最多的标志值，用字母M0表示。例如，某车间80个工人中，技术等级为4级的有58人，人数最多，则其众数为“4级”。亦可用它来表示该车间工人技术等级的一般水平。2众数的确定方法 单项式数列确定众数。只需找出单位出现次数最多的标志值作为众数即可。例如：表3-9 某种商品的价格情况价格（元）销售数量（公斤）2.00202.40603.001404.0080合 计300上面数列中价格为3.00元的商品销售量最多，即出现次数最多，则众数M0=3.00元。 组距数列确定众数。首先根据次数确定众数所在组。然后利用公式计算众数的近似值。计算公式如下：下限公式：上限公式：其中：M0表示众数；L表示下限；U表示上限；表示本组次数与前一组次数之差；表示本组次数与后一组次数之差；d表示本组组距。例某车间工人产量资料如表3-10。表3-10 某车间50个工人月产量情况月产量（件）工人数（人）200以下32004007400600326008008合 计50利用下限公式和上限公式计算的结果相同。当总体分布没有明显的集中趋势，趋于均匀分布时，则没有众数。如果变量数列具有两个标志值出现次数最多，则称为双众数，此时应分段研究数据。六、中位数1中位数的概念将总体各单位的标志值按大小顺序排列，处于数列中点位置的标志值即为中位数，一般用Me表示。中位数将数列分为相等的两部分，一部分小于它，另一部分大于它。在许多情况下，不易计算平均值，可用中位数代表总体的一般水平。2中位数的确定方法 由未分组资料确定中位数。首先排序，然后根据公式确定中位数的位次，再根据中位数的位次找出对应的标志值，即。例 现有7名工人日加工零件数分别为7、8、9、10、11、13、15，n=7。则中位数的位次为：所以中位数为：上例数据如果为偶数个，如：7、9、10、11、13、15，n=6。则：中位数的位次为：所以中位数为： 单项式分组资料确定中位数。直接用公式确定中位数的位次，再根据位次用向上累计次数或向下累计次数法确定中位数据所在的组，该组标志值即为中位数。例 某厂工人日加工产品数的资料如下表：表3-11 工人日加工产品数产品数（件）工人人数（人）向上累计次数向下累计次数172225188102319102015205255合 计25中位数的位次为：累计次数为13的对应的数为第三组，其标志值为19，因此中位数为：。 组距分组资料确定中位数。和单项式分组一样，但根据中位数位次及累计次数确定中位数的组之后，并不能得到中位数的具体值，而要用公式计算中位数的近似值。其公式如下：下限公式：下限公式：式中：Me表示中位数；L表示下限；U表示上限；中位数组的次数；表示中位数所在组以前各组的累计次数；表示中位数所在组以后各组的累计次数；表示总次数；d表示中位数所在组的组距。例 下表中工人月产量资料说明中位数的计算：表3-12 计 算 表月产量（公斤/月）工人数（人）向上累计次数向下累计次数200以下3350200400710474006003242406008008508合 计50其中位数计算如下：七、集中趋势测定指标的比较1各种数值平均数的比较首先，适用场合不同。在计算总体单位变量值的平均数时，若总体标志总量等于总体各单位变量值之和，可采用算术平均数计算；若总体标志总量等于总体各单位变量值之积，则应采用几何平均数计算。其次，某些数值平均数对于被平均变量的取值有着特殊的限制。例如，当被平均变量出现一个零值时，几何平均数为零，调和平均数无法计算。当被平均变量出现一个负值时，几何平均数失去意义。2数值平均数与位置平均数的比较首先，数值平均数是根据所有变量值来计算的平均数，它们能够概括反映整个数列中所有各项变量值的平均水平；位置平均数则是根据总体中处于特殊位置上的个别单位或部分单位的变量值来确定的代表值。因此，数值平均数对于数据的概括能力比位置平均数更强。其次，由于数值平均数的数据概括能力强，因而数列中任何一项数据的变动都将在一定程度上影响到数值平均数的计算结果，数值平均数对于数据变化的“灵敏度”很高。但是另一方面，这也使得数值平均数极容易受到个别或少数极端值的影响，它们对极端值的“耐抗性”较低。位置平均数则相反，数列中某些数据的变动不一定会影响到它们的水平，尤其是个别或少数极端值对于它们几乎没有影响，所以，尽管位置平均数的“灵敏度”较低，但“耐抗性”却很强。最后，数值平均数与位置平均数各自适用的数据类型不同。一般说，各种数值平均数对于数据的量化尺度要求较高，它们只适用于定距尺度和定比尺度的数据：位置平均数则不同，它们还适用于各种定序尺度的数据，众数甚至还适用于各种定类尺度的数据。这表明，在一些无法适当运用数值平均数的场合，位置平均数不失为一种独特且有用的分析工具。3中位数、众数和算术平均数的关系当现象呈对称的钟形分布时，中位数、众数和算术平均数三者处于同一位置上，即。如现象出现非正常的极端值，则会呈非对称分布，偏态的方向由极少数远离中央的极端值所确定。这时，算术平均数、中位数和众数之间会产生差异，而且偏斜的程度越大，三者之间的差异就越大。极端值对三种平均数的影响是不同的。众数是分布次数最多的