Maple6-ch4.2-偏微分方程-不练.doc

4.2 偏微分方程pdsolve来处理方程（而不能是方程组）的解析解，能解的方程有限，解不出时就返回空解；PDEplot用图形描述解析解的形状，这个函数的功能是有限的，它只能对一阶的偏微分方程进行作图，它在库“PDEtools”中;pdetest 用来验解，使用形式与odetest一模一样.4.2.1 偏微分方程的解析解命令： pdsolve(PDE); pdsolve(PDE, f, HINT=, INTEGRATE, build);其中： PDE 是偏微分方程 f 是待求函数形式，这与dsolve中的参数是类似的 HINT= 用来设置函数输出结果的形式，如设成两个独立的函数相乘的结果（如f(x)*g(x)）,或者两个函数相加的结果（f(x)+g(x)）以及HINT=strip(这种参数只在求一阶偏微分方程的解时有效，最后的结果将自变量和应变量用一个新的参数表示)等等，具体输出形式可根据具体方程和实际需要而定，这是一个可选参数；INTEGRATE 是一个可选参数，设置函数当待求的方程可用分离变量来求时，自动将函数得到的常微分方程集合求解综合起来。Build 设置函数将最后返回一个显示解。Ex.1 求一维波动方程(可用分离变量法求解)的解析解 pde1:=pde1: assume(a,positive); pde1:=diff(u(x,t),t,t)-a2*diff(u(x,t),x,x)=0; pdsolve(pde1);Ex.2 求解一阶偏微分方程的解析解解 pde2:=pde2: a:=a:b:=b: pde2:=diff(u(x,y),x)-a*diff(u(x,y),y)-b*u(x,y)=0;（1）先不设pdsolve的参数简单求解 sol1:=sol1: sol1:=pdsolve(pde2); pdetest(sol1,pde2);（2）对一阶可分离变量方程，可设参数HINT=f(x)*g(y)求解 ol2:=sol2: sol2:=pdsolve(pde2,u(x,y),HINT=f(x)*g(y);由于分离变量法给出的仍是将f(x)、g(y)含在微分方程组中，故需要用“build”函数给出原方程的解，这个函数既可以单独使用（如下），又可以作为“pdsolve”的参数（如sol4）。下面，用此函数求最后的解： sol3:=sol3: with(PDEtools): sol3:=build(sol2); pdetest(sol3,pde2); 验证上面所求的是解 sol4:=sol4: 将“build”作“pdsolve”的参数求解 sol4:=pdsolve(pde2,u(x,y),HINT=f(x)*g(y),build);此解与sol3相同。（3）由于这个一阶方程是线性齐次的，故其两个解的和也是解，因此它有f(x)+g(x)形式的解，故可取参数HINT=f(x)+g(y),build求解： sol5:=sol5: sol5:=pdsolve(pde2,u(x,y),HINT=f(x)+g(y),build); pdetest(sol5,pde2);将此解与sol3或sol4比较可知，不同的参数选法，其解可能是不同的。（4）对一阶方程，可以将解用图来显示其解的形状： with(PDEtools): a:=1:b:=1: PDEplot(pde2,u(x,y),t,t,1/2*exp(3*t),t=0.1);注意：PDEplot这个函数的功能是有限的，它只能对一阶的偏微分方程进行作图。它的一般格式为： PDEplot (PDE,inits, srange, options) 其中参数意义如下表：PDE一阶偏微分方程，线性或非线性，但必须是只含一个n元未知函数inits一个n+1个表达式或方程组成的有序表，它们表示初值，用参数方式给出，包括n-1个参数，在n=3时，一般用s和t作为参数变量srange初值中参数的取值范围options辅助的参数，用“参数名=辅助参数”的形式给出Ex.2 再求解一阶偏微分方程的解析解，用单位圆作为初值曲线，绘积分曲面： with(PDEtools): PDE:=diff(u(x,y),x)*diff(u(x,y),y)-x*y+u(x,y)=0; PDEplot(PDE,cos(t),sin(t),0,t=-Pi.Pi,ic_assumptions=diff(u(x,y),x)=-cos(t);除了ic_assumption之外，函数PDEplot()还有很多辅助的参数，需要用“参数名=参数值”的等式形式给出，各个参数的用途以及注意事项参Maple 8 基础应用教程P198。最后，用一个简单的绘图例子来说明PDEplot()函数的附加参数的用途。偏微分方程的解Z(x,y)的图形。初值曲线选为参数方程： 所确定的空间为半圆周。特征曲线采用40条；视角方向-1630, 560; 绘制基特征曲线；每条特征曲线上计算20个点；特征曲线步长0.15；初值曲线色调根据表达式tcost着色；不生成动画；用带等高线的画图绘制。在命令窗口中输入如下的语句，得到下图： restart; with(PDEtools): PDE:=(y2+z(x,y)2+x2)*diff(z(x,y),x)-2*x*y*diff(z(x,y),y)-2*z(x,y)*x=0; PDEplot(PDE,z(x,y),t,t,sin(Pi*t/0.1)/10,t=0.0.1,numchar=40,orientation=-163,56,basechar=true,numsteps=20,20,stepsize=.15,initcolour=cos(t)*t,animate=false,style=PATCHCONTOUR);Ex.3 解： （1）用pdsolve直接求解: pde3:=pde3: pde3:=a*diff(f(x,y),x,x)+2*b*diff(f(x,y),y,x)+c*diff(f(x,y),y,y)=0; pdsolve(pde3); 求方程的解,不设参数（2）用转换函数求解：用“pdsolve”求解偏微方程常是很方便的，但能解的方程是有限的。我们还应该掌握其它方法。我们了解方程时的求解步骤，这可以用mapdePDEtools帮助实现，如果可能的话，这个函数能将给定的方程转换成我们所需要的比较简单的形式。它的具体表达式如下：mapde(PDE, into);mapde(PDE, into, f);其中： PDE待转换的方程； f可选参数，设置将方程转换后的替代函数； into是想要转换成的形式，具体的参数选择如下： noF 将方程转换成不含待求函数的形式； ccoeff 将方程转换成常系数方程形式； canom 将方程转换成只有一个混合导数的经典形式； conop 将方程转换成不含混合导数的经典形式。函数mapde如果能将给定的方程按要求的形式转换，则将返回一个转换后的方程，否则返回原方程，并给出不能转换的信息。下面我们通过一个例题分别让函数转换成4种形式。显然这个方程已经是常系数形式了，就不需要用前两个参数进行转换，如果强行转换仍返回原方程，并附加错误信息，如下：(a)已经是常系数方程，仍进行转换，结果是方程依旧，并给出错误信息： with(PDEtools): mapde(pde3,noF);(b)转换成只含混合导数的形式： pde4:=pde4: pde4:=mapde(pde3,canom); 竟然还能给出所用的变换！方程也很简单 sol6:=sol6: 求出上面方程的解 sol6:=pdsolve(op(1,pde4),build); 须用op取出列表中的第一个元再解（d）转换成不含混合导数的形式： pde5:=pde5: pde5:=mapde(pde3,canop); sol7:=sol7: sol7:=pdsolve(op(1,pde5),build); 须用op取出列表中的第一个元再解 上面所用函数pdsolve不像dsolve解常微时那样功能强大，它只能处理最简单的几种偏微方程，对于有些方程，我们必须进行转换用函数dsolve来求解。例如解简单的方程：Ex.4 解: （1）我们先定义偏微分方程，并用函数pdsolve求解： pde6:=pde6: pde6:=(diff(f(x,y),x,x)2-f(x,y)*diff(f(x,y),y)=0; pdsolve(pde6); 得到的是空解（2）我们需要用分离变量法的求解步骤来解本题：由于这是一个齐次可分离变量的方程，因此用分离变量法，先将未知函数设为f(x,y)=X(x)*Y(y)，再用dsolve进行常微方程求解，最后给出其积即为所求通解： X:=X:Y:=Y: X:=x-X(x):Y:=y-Y(y): pde7:=expand(subs(f(x,y)=X(x)*Y(y),pde6); 为求解方法，