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1 第二十九讲第二十九讲 椭圆椭圆 一 引言一 引言 一 本节的地位 圆锥曲线是中学教学的核心内容 又是学习高等数学的基础知识 所以它是高考的重点内容 在高考试卷中一般会有一道有关圆锥曲线的解答题 并且椭圆 双曲线 抛物线出现的几率大体相当 二 考纲要求 通过本节的学习要理解椭圆的定义 掌握椭圆方程的标准方程 能 灵活应用椭圆的几何性质解决相关问题 在具体问题的解决过程中继续加深对坐标思想的 理解 感悟函数与方程思想以及分类与整合 转化与化归等重要的数学思想 重点是掌握 椭圆的定义 标准方程和椭圆的简单几何性质 难点是椭圆标准方程的推导与化简 坐标 法的应用 三 考情分析 有关椭圆的题目一般会出一道大题或小题 在选择题或填空题中主 要考查对概念的理解和灵活运用 基本量的求解以及集合性质的应用 解答题一般为中档 题或难题 往往与函数 导数 不等式 数列等知识综合考查 主要考查推理能力及数形 结合 函数与方程思想 分类与整合思想 转化与化归等重要思想 高考考查的题目的类型 对概念的考查 基本量及几何性质的考查 求曲线方程 突 出几何特征的考查 参数范围问题等 二 考点梳理二 考点梳理 椭圆第一定义 平面内与两个定点 12 F F 的距离的和等于常数 大于 12 FF 的点的轨迹叫做椭 圆 这两个定点叫做椭圆的焦点 两焦点间的距离叫椭圆焦距 椭圆第二定义 平面内到一个定点的距离和它到一条定直线l的距离之比是常数 01 ee 的点的轨迹叫做椭圆 定点是椭圆的焦点 定直线l叫做椭圆的准线 常数 e叫椭圆的离心率 椭圆的标准方程与几何性质 焦点在x轴上焦点在y轴上 标准方程 22 22 1 xy ab 0 ab 22 22 1 xy ba 0 ab 范围 xayb xb ya 顶点坐标 0 0 aa 0 0 bb 0 0 aa 0 0 bb 焦点坐标 12 0 0 FcF c 12 0 0 Fc Fc 准线方程 2 a x c 2 a y c 焦半径 10 MFaex 20 MFaex 20 MFaey 10 MFaey 对称轴方程0 x 0y 长短轴椭圆的长半轴长是a 椭圆的短半轴长是b 几 何 性 质 离心率 01 c ee a 2 a b c关系 222 0 abcab 另外 椭圆的通径长 2 2b a 焦点三角形的面积为 2 12 tan 2 SbFMF 三 典型问题选讲三 典型问题选讲 一 考查椭圆的概念 一 考查椭圆的概念 例例 1 1 2009 全国 已知椭圆 2 2 1 2 x Cy 的右焦点为F 右准线为l 点Al 线段AF交C于点B 若3FAFB 则 AF A 2 B 2 C 3 D 3w 解析 解析 过点B作BMl 于M 并设右准线l与x轴的交点为N 易知FN 1 由题意3FAFB 故 2 3 BM 又由椭圆的第二定义 得 2 22 233 BF 2AF 故选 A 归纳小结归纳小结 本题充分挖掘图形的几何性质 应用椭圆的第二定义解决问题 例例 2 2 如图 把椭圆 22 1 2516 xy 的长轴AB分成8等份 过每个分点作x轴的垂线交椭 圆的上半部分于 1234567 P P P P P P P七个点 F是椭圆的一个焦点 则 12 PFP F 34567 PFP FPFP FP F 分析 分析 认真研究图形的特征 把椭圆的长轴AB分成8等份 我们知道椭圆具有对称 性 因此可利用椭圆的定义及图形的对称性求解 解法解法 1 1 不妨设F是椭圆的左焦点 则由第二定义得 1 2 3 7 ii PFaex i 3 其中a是椭圆的半长轴 e是离心率 i x是 i P点的横坐标 所以 12345 PFP FPFP FPF 67 P FP F 127 7 ae xxx 注意到椭圆的对称性 可知 8ii xx 即 127 0 xxx 所以 12345 PFP FPFP FPF 67 P FP F 7a 35 解法解法 2 2 不妨设 2 F F分别是椭圆的左 右焦点 由椭圆图形的对称性 得 1271272 PFP FP FPFP F 根据椭圆第一定义 得 127 PFP FP F 272171 2 1 FPFPFPFP 35727 2 1 aa 归纳小结归纳小结 圆锥曲线的第二定义 揭示了曲线上动点到焦点的距离和动点到对应准线 的距离之比与离心率e之间的关系 当条件中含有焦半径 圆锥曲线上的点到焦点的距离 时 可考虑运用圆锥曲线的第二定义 如方法 1 方法 2 巧妙利用了椭圆的对称性和第一 定义 进行整体突破 例例 3 3 椭圆1 49 22 yx 的焦点为 1 F 2 F 点P为其上的动点 当 21PF F 为钝角时 点P横坐标的取值范围是 分析 分析 欲求点P横坐标 0 x的取值范围 需要建立关于 0 x的不等式 从不同的知识点 切入就得到不同的解法 解法解法 1 1 两个定义相结合 由条件可知 3a 2b 所以 5c 3 5 a c e 根据椭圆的定义 12 26PFPFa 于是两边平方得 362 21 2 2 2 1 PFPFPFPF 又在 21PF F 中 由余弦定理得 222 1212 12 cos0 2 PFPFFF PF PF 所以 2 2 2 1 PFPF 2 22 20F F 将 代入上式得 12 8PFPF 设P的横坐标为 0 x 由焦半径公式得 4 00 8aexaex 所以 2 0 5 98 9 x 故 0 3 53 5 55 x 解法解法 2 2 与向量知识结合 因为 21PF F 为钝角 所以 12 0PF PF 设 00 P xy 由分析 1 可知 100 5 PFxy 200 5 PFxy 所以 0000 5 5 xyxy 05 2 0 2 0 yx 又 00 P xy在椭圆上 所以 22 00 1 94 xy 两式联立 消去 0 y 即得 0 3 53 5 55 x 归纳小结归纳小结 本题考查椭圆的定义及余弦定理 向量 不等式等知识综合 因此应注意 提高综合解决问题的能力 二 基本量求解 二 基本量求解 例例 4 4 2009 上海 已知 1 F 2 F是椭圆1 2 2 2 2 b y a x C a b 0 的两个焦点 P为椭圆C上一点 且 21 PFPF 若 21F PF 的面积为 9 则b 解析 解析 依题意 有 12 12 22 2 12 2 18 4 PFPFa PFPF PFPFc 可得 4c2 36 4a2 即a2 c2 9 故有b 3 归纳小结归纳小结 本题主要考查椭圆的定义 长轴 短轴 焦距之间的关系 属于基础知识 基本运算的考查 例例 5 5 椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的半焦距为c 若直线2yx 与椭圆一个交点P的 横坐标恰好为c 则椭圆的离心率为 A 22 2 B 2 21 2 C 21 D 31 5 分析 分析 求离心率关键是根据已知条件得到a b c的等量关系 若能充分利用图形 的几何特征及曲线的定义 可简化运算过程达到求解的目的 解法解法 1 1 由题知点 2 P cc 因为点P在椭圆 22 22 1 xy ab 上 所以 22 22 4 1 cc ab 化简得 222222 4b ca ca b 又因为 222 bac 所以 22222222 4 ac ca caac 化简得 4224 60ca ca 同除以 4 a得 42 610ee 解得 22 32 2 21 e 因为01e 所以 21e 故选 C 解法解法 2 2 由题知点P在椭圆上且横坐标为c 纵坐标为正数 所以点P的坐标为 2 b c a 又因为点P在直线2yx 上 所以 2 2 b c a 即 2 2bac 又因为 222 bac 所以 22 20caca 同除以 2 a得 2 210ee 解得12e 因为01e 所以21e 故选 C 解法解法 3 3 由题意可知点P坐标为 2 cc 即 2 2PFc 所以 12 PFF 为等腰直角三角形 所以 1 2 2PFc 由椭圆定义 12 2PFPFa 即2 222cca 6 所以 1 21 21 c e a 故选 C 归纳小结归纳小结 本题三种解法各有特点 解法 2 解法 3 充分运用曲线的性质及图形的特 征 使得解法更简捷 因此在解题时要提高运用曲线的定义及图形的几何特征的意识 三 突出几何性质的考查 三 突出几何性质的考查 例例 6 6 如图 已知圆O方程为100 22 yx 点A的坐标为 06 M为圆O上 任意一点 线段AM的垂直平分线交OM于点P 则点P的轨迹方程为 A 22 1 2516 xy B 22 3 1 2516 xy C 22 1 2516 xy D 22 3 1 2516 xy 解析 解析 由于POPA POPM 106 所以 点P的轨迹是以OA 为焦 点 以 10 为长轴长的椭圆 因此选 B 归纳总结 归纳总结 应用定义求动点轨迹或其方程 其优势在于避免列式 化简等烦琐的代数 处理过程 给人以简捷 明快之感 定义法是解析几何中求动点轨迹及其方程的重要方法 之一 例例 7 7 已知椭圆 22 1 32 xy 的左右焦点分别为 1 F 2 F 过 1 F的直线交椭圆于B D两 点 过 2 F的直线交椭圆于A C两点 且ACBD 垂足为P 1 设P点的坐标为 00 xy 证明 22 00 1 32 xy 2 求四边形ABCD的面积的最小值 7 分析分析 因为ACBD 于点P 又 1 F 2 F是两个定点 所以 点P在以线段 12 FF为直 径的圆上 即P点的坐标为 00 xy满足 22 00 1xy 这样问题就转化为在此代数条件下 求代数式 22 00 32 xy 的取值范围的问题了 方法显然不唯一 由条件知ABCD是对角线互相垂直的四边形 那么 这样的四边形的面积怎样计算呢 由平面几何易知 1 2 ABCD SACBD 这就将问题转化为求椭圆的弦长问题了 显 然 AC BD的长由它们的斜率决定 这已是常规的解析几何问题了 解 解 1 方法 1 椭圆的半焦距321c 由ACBD 知点P在以线段 12 FF为直径的圆上 故 22 00 1xy 所以 2222 0000 1 1 32222 xyxy 方法 2 由方法 1 知 22 00 1xy 即 22 00 1yx 所以 22222 00000 111 1 3232262 xyxxx 2 当BD的斜率k存在且0k 时 BD的方程为 1 yk x 代入椭圆方程 22 1 32 xy 并化简得 2222 32 6360kxk xk 显然0 设 11 B xy 22 D xy 则 2 12 2 6 32 k xx k 2 12 2 36 32 k x x k 2 2222 12122212 2 4 3 1 1 4 32 k BDxxyykxxx x k 又由于直线AC与BD过同一点P 且相互垂直 同理可得 2 2 2 2 1 4 31 4 3 1 1 23 32 kk AC k k 四边形ABCD的面积为 111 222 ABCADC SSSACBPACDPBDAC 8 22 22 24 1 32 23 k kk 22 2 22 1 96 25 32 23 2 k kk 当 2 1k 时 上式取等号 当BD的斜率0k 或斜率不存在时 四边形ABCD的面积4S 综上 四边形ABCD的面积的最小值为 96 25 归纳小结归纳小结 第一问实际上是证明点P在椭圆的内部 这只需利用不等式进行放缩即得 到结论 或者 由点P满足的关系 消去变量 0 y 得到关于 0 x的函数 求其取值范围即 可 第二问把要解决的解析几何问题转化为代数中的方程 不等式或函数问题 这是在转 化与化归思想指导下 几何问题代数化 的具体体现 四 求参数范围问题 四 求参数范围问题 例例 8 8 2008 福建 椭圆 22 22 1 xy ab 0 ab 的一个焦点是 1 0 F O为坐标原 点 1 已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形 求椭圆的方程 2 设过点F的直线 l 交椭圆于A B两点 若直线 l 绕点F任意转动 恒有 222 OAOBAB 求a的取值范围 分析 分析 将几何条件 椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形 转化为代数 等式 解之即得3b 继而由椭圆参数之间的关系便可求出a 对于第 2 问 容易知道 当三点 A O B不共线时 222 OAOBAB cos0AOB 0OA OB 1212 0 x xy y 设 1122 A x yB xy 由此可得关于 a b的不等式 再由 22 1ba 消去b 就得到 关于a的不等式 解之即可 解 解 1 设 M N为短轴的两个三等分点 因为MNF 为正三角形 所以 3 2 OFMN 3 2 1 23 b 解得3b 22 14 ab 因此 椭圆方程为 22 1 43 xy 2 设 1122 A x yB xy 当直线AB与x重合时 9 222 222 2 4 1 OAOBaABaa 因此 恒有 222 OAOBAB 当直线AB不与x轴重合时 设直线AB的方程为1 xmym R 代入 22 22 1 xy ab 整理得 22222222 20ab myb myba b 所以 2 12 222 2b m yy ab m 222 12 222 ba b y y ab m 因为恒有 222 OAOBAB 所以AOB 恒为钝角 即 11221212 0OA OBx yxyx xy y 恒成立 2 121212121212 1 1 1 1x xy ymymyy ymy ym yy 222222 222222 1 2 1 mba bb m ab mab m 2222222 222 0 m a bba ba ab m 又 222 0ab m 所以 2222222 0m a bba ba 对m R恒成立 即 2222222 m a baba b 对m R恒成立 当m R时 222 m a b最小值为 0 所以 2222 0aba b 2224 1 ab ab 因为0 0ab 22 1aba 即 2 10aa 解得 15 2 a 或 15 2 a 舍去 即 15 2 a 综合 i ii a的取值范围为 15 2 归纳小结归纳小结 主要考查直线 椭圆和不等式等基本知识 侧重考查椭圆与不等式交汇问 题 是对多个知识点的综合考查 本题的亮点在第 2 问 实质是探究 椭圆中心恒在以焦点弦为直径的圆内 的充分必 要条件 当三点 A O B不共线时 222 OAOBAB cos0AOB 1212 0 x xy y 为了得到 1212 x xy y 需要将过点F的直线l与椭圆的方程联立 通过消元 得到一 个一元二次方程 再利用韦达定理整体变形 得到 1212 x xy y 用m表示解析式 应用不等 10 式性质使问题获得解决 如果选择 点斜式 的方法给出直线l的方程 则需要按直线l 与x轴是否垂直分类讨论 例例 9 9 已知点F为椭圆 22 1 98 xy W 的右焦点 点 0 2 m Py在椭圆 W 上 直线 PF 交椭圆 W 于点Q 且PFFQ 若 1 3 4 求实数m的范围 分析 分析 求参数范围要注意寻找参数变化的根源 即所求的参数是随着哪个变量的变化 而变化 解法解法 1 1 设 11 Q x y 因为 0 2 m Py PFFQ 所以 1 01 1 1 2 m x yy 解得 1 10 1 1 2 1 m x yy 由点P Q均在椭圆 W 上 所以 22 0 2 2 0 22