第一单元 函数与极限.doc

7西安邮电大学大学数学竞赛讲义第一单元 函数与极限一、 知识点提要1. 基本概念 u 函数、分段函数、复合函数、初等函数 u 数列极限 u 函数极限、左右极限 u 无穷小、无穷小的阶、无穷大 u 函数的连续性与间断点2. 重要性质、定理与公式 u 函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、有界性） u 数列极限、函数极限的性质 u 极限存在准则（夹逼准则、单调有界准则）、两个重要极限 u 极限运算法则（四则运算法则、换元法则） u 常用的等价无穷小 u 闭区间上连续函数的性质（有界性、最值定理、零点定理、介值定理）二、题型与方法1函数及其性质例1.1 设，求.【分析】 本题主要讨论函数的对于法则，且以复合函数为主.该类题目宜用配方法和变量代换法求解.解 （配方法） 因为 所以 .解 （变量代换法） 令，即，带入得 ，所以 .例1.2 设.试求的解析表达式.【分析】 本题先一步一步复合，从特殊中归纳出一般规律，再用数学归纳法证明.解 一般地，可用数学归纳法证明 例1.3 设在内连续，且，证明：（1） 若是偶函数，则也为偶函数；（2） 若单调不增，则单调不减.【分析】 (1)利用定积分换元法证明，（2）已知，通过求导证明.2 极限及其求法例1.4 求.【分析】 数列极限可用夹逼准则、单调有界准则、重要公式或转化为函数极限求解.解 （1）当时，则 又， 当时， （2）当时，则 又，当时， （3）当时，则 又，当时，综上，例1.5 求 【分析】数列和式的极限可以通过求和、夹逼准则和定积分的定义计算。 解 故 原式例1.7设且，证明数列收敛且。解 记,它的最大值为，由数学归纳法知，即有界。又因为，即单调递增，也即数列单调递增。所以收敛，记,令对递推式两边取极限得,即，所以.例1.6 求 解 方法一 原式 方法二 原式型和型的极限求法：该类极限可通过零因子消去法、等价无穷小替换法、洛必达法则、化为重要极限、泰勒公式等方法求解。例1.8 求解 原式=例1.9（陕第二届）求.解原式=例1.10 （津2001）求极限 .解 ，；由此得到： 。例1.11当为何值时，下式成立。解 注意到左边的极限中，无论a为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必须为无穷小量，于是可知必有b= 0，当b= 0时使用诺必达法则得到，由上式可知：当时，若，则此极限存在，且其值为0；若a = 1，则。综上所述，得到如下结论：，b = 0，c = 0；或a = 1，b = 0，c = 2。 其它可化为型和型的极限求法：通常利用通分、对取数等变换化为型和型极限再用洛必达法则求解。例1.12 求.解 原式= .例1.13 （2009全国初赛）求.【分析】本题属于未定式极限，通过化为初等函数或对数求极限法可将原极限化为型的未定式极限。解 原式 又 原式.例1.14 （2009全国决赛）求【分析】本题属于数列未定式极限，可将原极限化为型或型的未定式极限用洛必达法则求解。解 因为 所以，原式.例1.15 （2010全国决赛）求.解 原式 .例1.16 (94年数学一)选择题设其中，则必有（ ）.(A) (B) (C) (D) 【分析】本题型未定式极限，利用罗比达法则求解.解 原式= = =, .例1.17 (92年数学二)已知在内可导，且满足 ，求.【分析】本题是求极限的反问题，解题思路是：（1）计算左边极限，使其结果中包含；（2）利用所给等式求出.解 设 ，则 ，因此 = （*） =所以 .于是得 从而 积分整理可得 再由条件可得。故 .【注】利用导数的定义求极限也是一种常用的方法，如（*）式.例1.18 (04年数学一)将的无穷小使排列在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排序是 .【分析】根据无穷小阶的定义，该类题目将利用极限的运算进行无穷小阶的比较。再根据罗比达法则，只需比较当时的速度即可。 由 ，于是排列次序为 .3 连续函数及其性质例1.19 求函数的连续区间、间断点并判定其类型。解 所给函数为初等函数，由 ， 可知其定义域为。故函数的间断点为，因此函数的连续区