第一章 函数与极限.doc

第一章 函数与极限1. 函数定义 设是两个变量，若在其变化范围内任取一个值，按照一定的法则有确定的值与之对应，则称变量是变量的函数.记作.称为自变量，称为因变量，称为函数的定义域.函数的性质 有界性、单调性、奇偶性、周期性.基本初等函数 常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数.初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合得到的函数,称为初等函数.2. 极限数列极限的定义对于当时，总有则称为数列当时的极限，记为 函数极限的定义对于当时，总有则称为函数当时的极限，记为函数极限的定义对于当时，总有则称为函数当时的极限，记为左（右）极限对于当时，总有则称为函数当从左（右）侧趋于时的极限，记作无穷小的定义若，则称为时的无穷小无穷大的定义对于当时，总有 则称当时为无穷大，记为无穷小的比较设，（）若，则称是比高阶的无穷小，记为（）若，则称是比低阶的无穷小（）若，则称与是同阶无穷小（）若，则称与是等价无穷小，记为（5）若，则称是的阶无穷小. 无穷小的性质设是在自变量的同一变化过程中的无穷小，是有界量，是常数，则（）是这一变化过程中的无穷小；（）；（），存在（等价无穷小代换定理）极限的四则运算设及存在，则. 注意 在商的运算法则中,分母的极限不为零.特别地 ,.极限的有关定理定理 定理2 其中定理 （保号性）若，则存在，当时，定理 若，则定理 单调有界数列必收敛定理6（夹逼准则）若在的某一邻域内，恒有，且则 重要极限；3. 连续定义或 则称在点连续间断点 若函数在点不连续,则称为的间断点.第一类间断点 左、右极限都存在的间断点;第二类间断点 左、右极限至少有一个不存在的间断点.初等函数的连续性 初等函数在其定义域内均连续.闭区间上连续函数的性质定理（最大值、最小值定理）闭区间上的连续函数在该区间上必取得最大值和最小值定理（零点定理）设在上连续，且，则至少存在一个，使得定理（介值定理）设在上连续，且，若是介于与之间的任意数，则至少存在一个，使得第二章 导数与微分1. 定义定理公式（1）导数与微分的定义定义1 设函数在点的某邻域内有定义，如果极限 (2.1)存在，则称函数在点处可导，该极限值称为函数在处的导数，记为 , 即 =令 , 则（2.1）可改写为= （2.2）注意 用导数定义求某点处的导数，尤其分段函数在分界点处的导数，通常用（2.2）简便.定义2 函数在处的左、右导数分别定义为：左导数 y M(x0,y0) o x0 或 (2.3)右导数 x图2-1或 (2.4)导数的几何意义在处的导数，表示曲线在处的切线的斜率，即.如图2-1所示.定义3 如果在内每一点均可导，则称该函数在内可导；若在内可导，且在和处分别具有右导数和左导数，则在上可导.定义4 如果函数在点处的某邻域内有定义，当自变量在点取得增量时，函数的增量可表示为 = A其中A是与无关的量，是当时比高阶的无穷小，则称在处可微，A称为在点处的微分，记为或, 即= = A.由于当为自变量时, 同时可证 .所以上式又可写成 = .（2） 定理与运算法则定理1 存在 .定理2 若在点处可导，则在点x处连续；反之不真.定理3 函数在处可微在处可导.导数与微分的运算法则设均可导，则, , ， （3）基本求导公式(常数) （为常数） () 特例 特例 = = 2. 各类函数导数的求法（1）复合函数微分法设, , 如果在处可导，在对应点处可导，则复合函数在处可导，且有或 (2.6)这种求复合函数导数的方法称之为连锁法则，该法则可推广到多个函数复合的情形中去.（2）反函数的微分法 设在点的某邻域内单调连续，在点处可导，则其反函数在点所对应的处可导，并且有 (2.7)（3）由参数方程确定函数的微分法设, 均二阶可导，且0，由参数方程所确定的函数的一阶导数为 (2.8) 又 所以的二阶导数为 (2.9)（4）隐函数微分法若是由方程确定的可微函数，其导数的求法有两种方法： 方程两边对求导，然后解出 ； 利用微分形式不变性，在方程两边求微分，然后解出 .（5）幂指函数微分法（, ）所以 (2.10)（6）函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法.方法：对数求导法（即先对式子的两边取自然对数，然后在等式的两端再对求导）.（7）分段函数微分法各区间段内导数可利用求导公式及法则求出，而分界点处的导数一般要用导数的定义求.3. 高阶导数（1）定义与基本公式当为阶可导函数时，则有 ,) (2.11)高阶导数公式 莱布尼兹公式：若均阶可导，则 其中 , （2）高阶导数的求法 直接法直接法是指求出所给函数的前几阶导数，分析所得结果的规律性，从而导出n阶导数的方法. 间接法利用已知的高阶导数公式，通过四则运算，变量代换的方法，达到将给定的函数求出n阶导数的方法.4. 导数的简单应用(1) 求曲线的切线、法线当在处可导时，这时曲线在点处的切线方程与法线方程分别为切线： (2.12)法线： (2.13)第四章 不定积分1. 原函数和不定积分的概念原函数 若对于某区间I上任意一点x均有或，则称是在I上的原函数.不定积分 在区间I上的原函数全体称为在I上的不定积分，即若是在I上的任一原函数，则（C为任意常数）.2. 不定积分的性质性质1 或.性质2 或.性质3 （k为非零常数）.性质4 .3. 基本积分公式 (k是常数)；; ； ； ； ；; ； ；;.4. 求不定积分的基本方法第一换元积分法 设具有原函数，且连续，则.第二换元积分法 设单调可导，且.又具有原函数，则.分部积分法 设具有连续的导数，则几种特殊类型函数的积分(1) 有理函数的积分 求有理函数的不定积分，可归结为求多项式与以下四种分式的不定积分: ; ; ; (2) 三角函数有理式的积分计算三角函数有理式的积分,一般有以下三种方法: 用万能代换化三角函数有理式的积分为有理式的积分;令 利用三角恒等式化简; 用特殊代换化三角函数有理式的积分为有理式的积分.若,可令；若,可令；若,可令. (3) 简单无理函数的积分 令，化原积分为有理式的积分,其中N为的最小公倍数. 令，化原积分为有理式的积分,其中N为的最小公倍数.第五章 定积分1概念与性质定积分 设在上有界.(极限存在时)其中是任意分割为个小区间，所得的第个小区间的长度，,是第个小区间上的任意一点.设函数在a,b上可积，定积分有以下性质：性质1 =（为常数）.性质2 .性质3 =，规定.性质4 =+.性质5 若在上，则 .性质6 .性质7 估值定理 若在上的最大值和最小值分别为和，则.性质8（定积分中值定理）若在上连续,则在上至少存在一点，使得，.无穷限的广义积分 设在连续，若右边极限存在，则称无穷限广义积分收敛，否则称其发散（不收敛）.无界函数的广义积分 设在连续，若右边极限存在，则称无界函数的广义积分收敛，否则称其发散（不收敛）.2.定理与公式牛顿莱布尼茨公式 其中在 a ,b 上连续，是在a,b上的一个原函数. 换元积分公式 式中在上单调，有连续导数，且，.分部积分公式=式中在上具有连续导数. 变上限定积分求导公式式中是连续函数，在a,b皆可导.第六章 定积分的应用1.元素法设某量符合下列条件: 是与某个变量的变化区间有关的量； 对于区间具有可加性； 部分量可表示成；则量可以用定积分来计算.用元素法解题的步骤： 选取适当的变量为积分变量，并确定它的变化区间； 在区间上任取一个小区间，求出相应于这个小区间的部分量的近似值（在上连续），即，称为量的元素； 以为被积表达式，在区间上积分，得2.定积分在几何上的应用(1) 平面图形的面积直角坐标的情形 图6-2图6-1 图6-4图6-3 图6-5极坐标的情形图6-7图6-6图6-9图6-8 体积图6-10旋转体的体积 由曲线，直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积为： 由曲线，直线与轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积为：图6-11 由曲线，直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积为： 平行截面面积已知的立体的体积 设经过点且垂直轴的平面截abxxOA(x)图6-12y立体所得截面的面积为，则立体的体积为： 其中为体积元素. 平面曲线的弧长 曲线,则对应的曲线弧长为：称为（直角坐标系下的）弧微分. 曲线，那么，则对应的曲线弧长为：称为参数形式的弧微分. 曲线，则对应的曲线弧长为：3.定积分在物理上的应用(1)变力沿直线做功物体在变力作用下，沿直线从运动到，所作的功为： (2)水的压力（见例题解析，例6.32）(3)平均值和均方根 连续函数在区间上的平均值是： 连续函数在区间上的均方根是：平均值和均方根在物理学和力学上有许多应用，例如计算平均速度，平均功率，电流的有效值等.第七章 微分方程1. 基本概念微分方程 含有自变量、未知函数以及未知函数的导数或微分的方程.常微分方程 未知函数为一元函数的微分方程.一般形式为 （12.1）或 （12.2）常微分方程的阶 常微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数.常微分方程的解（隐式解） 如果函数代入方程（12.1）或（12.2）后，使其成为恒等式，即或 则称函数为方程（12.1）或（12.2）的解（也称显式解）.如果由方程所确定的隐函数为方程（12.1）或（12.2）的解，则称为方程（12.1）或（12.2）的隐式解.常微分方程的通解 含有独立任意常数的个数等于微分方程阶数的方程的解.一般形式为.常微分方程的特解 不含任意常数或通解中的任意常数已被已知条件确定出来的解.初始条件 确定方程（12.1）或（12.2）的通解中n个任意常数的条件（即确定特解的条件）.通常记为2. 一阶微分方程的解法（1）变量可分离的微分方程形如的微分方程称为可分离变量的微分方程.将方程两端同除以，得对上式两边积分即可得到原方程的通解（2）齐次方程形如的微分方程称为齐次方程.令，则，代入原方程得, 即 这是一个可分离变量的微分方程，利用（1）的方法即可求出原方程的通解.（3）一阶线性微分方程一阶线性齐次微分方程 (12.3)的通解是 (12.4)一阶线性非齐次微分方程 (12.5)的通解是 (12.6)一阶线性非齐次微分方程还可以用常数变易法来求解.即在(12.4)中,把换为,令 (12.7)为方程(12.5)的解,并将(12.7)代入(12.5)中求出,即得(12.5)的通解(12.6).（4）伯努利方程形如的微分方程称为伯努利方程.方程两端同除，将方程化为再令，即变为一阶线性微分方程求出z之后，再还原即可.（5）全微分方程若方程 （12.8）的左边恰好是某一个函数的全微分,即则称方程(12.8)为全微分方程.其通解为其中C为任意常数.也称为的一个原函数.方程(12.8)是全微分方程的充要条件是.此时,该方程的通解为或 3. 可降阶的高阶微分方程(1) 型的方程 连续积分次即可求得通解.(2) 型的方程令，则，原方程化为一阶微分方程设其通解为，再由得原方程的通解为(3) 型的方程令，则，原方程化为一阶微分方程设其通解为，再分离变量并积分，得原方程的通解为 4. 高阶线性微分方程的解法 n阶线性非齐次微分方程的一般形式当我们又称其为n阶线性齐次微分方程.(1) 二阶线性微分方程解的结构二阶线性非齐次微分方程的一般形式 （12.8）特别地 （12.9）方程（12.9）称为与方程（12.8）对应的齐次方程.定理1 如果是方程（12.9）的两个解，则也是方程（12.9）的解，其中、是任意常数.定理2 设是方程（12.9）的两个线性无关的特解，则就是方程（12.9）的通解，其中、是任意常数.定理3 如果是方程（12.8）的一个特解，是方程（12.9）的通解，则是方程（12.8）的通解.定理4 设方程（12.8）的右端是几个函数之和，例如 （12.10）而分别是方程的特解，则是方程（12.10）的特解.以上定理可以推广到n阶线性微分方程.(2) 二阶常系数齐次线性微分方程通解的求法二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为 （12.11）其中p、q是常数.代数方程称为方程（12.11）的特征方程,特征方程的根称为方程（12.11）的特征根.特征根与通解的关系见12-1表表12-1特 征 根两不等的单实根两相等的实根一对共轭复根类似地，n阶常系数线性齐次微分方程其中为常数，其特征方程特征根与通解的关系见12-2表表12