第一章 函数与极限(二).doc

第一章 函数与极限授课题目（章节） 1.3 函数的极限教学目的与要求1. 理解函数极限的概念；明确极限是描述变量的变化趋势；了解极限的定义中的的含义2. 理解极限的性质教学重点与难点：重点：函数极限的概念难点：极限的定义讲授内容：1.3函数极限的定义上一节讲了数列的极限。自变量趋于无穷大时函数的极限这种情形与数列的极限相类似，所不同的是，这里x是连续变化的，因此定义如下：定义2：设函数当大于某一正数时有定义.如果存在常数A,对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在着正数X,使得当x满足不等式时,对应的函数值都满足不等式,那么常数A就叫做函数当时的极限,记作或.妨此可定义及的情景。因为数列可看作自变量为正数n的函数：它是函数的极限的一种类型，相对于数列的极限，这节的内容也可称作连续自变量函数的极限。主要研究两种情形：一、自变量趋于有限值时函数的极限（）现在来研究当x无限接近时，函数无限接近一个常数A的情形，需对x无限接近作出确切的描述。所谓当x无限接近时，函数无限接近A其意义就是：当x进入的一个充分小的邻域内，可以小于任意给定正数（不管它多么小），我们用表示上述邻域的半径，体现了x接近的程度。给出时函数的极限定义如下：定义1：设函数的某一去心邻域内有定义.如果存在常数A,对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数,使得当x满足不等式时,对应的函数值都满足不等式,那么常数A就叫做函数时的极限,记作.注意： 1.刻划与接近的程度；刻划与接近的程度；是任给的，随的变化而变化；2.，表与的距离小于；由于我们研究的是x无限接近时函数的变化趋势，对于处函数的对应值是不予考虑的，甚至在没有定义也可以，因此定义只要满足的一切值（不是）。3.区别 与。4. 是以任意方式趋于几何意义：对于 ，作两条直线 ，总存在的一个邻域（除外），在此邻域内函数的图形全部落在这两条直线之内。例1 证明：证明 ，取，当 时，有 ，。例4 证明*证明:注意,函数在点x=1是没有定义，但是函数当是的极限存在或不存在与它并无关系.事实上,，约去非零因子x-1，就化为 ，因此，只要取，那么当时，就有 所以 例5 证明：当0时，*证：，取，当 时，有 ，。单侧极限的概念：上述时函数的极限概念中，x是既从的左侧也从的右侧趋于的.但有时只能或只需考虑x仅从的左侧趋于(记作)的情形,或x仅从的右侧趋于(记作)的情形.在的情形,x在的左侧,.在的定义中,把改为,那么A就叫做函数当时的左极限,记作或.类似的,在的定义中,把改为,那么A就叫做函数当时的右极限,记作或.右极限与左极限统称为单侧极限.左、右极限与极限存在的充要条件： 例如 设：，研究 。解 ， 故：。注 关于左右极限的用法。二、自变量趋于无穷大时函数的极限这种情形与数列的极限相类似，所不同的是，这里x是连续变化的，因此定义如下：定义2：设函数当大于某一正数时有定义.如果存在常数A,对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在着正数X,使得当x满足不等式时,对应的函数值都满足不等式,那么常数A就叫做函数当时的极限,记作或.定义2可简单地表述为:时有.几何意义：作两条直线 ，则总有正数存在，使当xX时，函数的图形位于这两条直线之间。*例7 证明证：时，不等式成立.因这个不等式相当于或 由此可知,如果取,那么当成立.这就证明了y=0是函数图形的水平渐近线。一般地说，如果，则直线y=c，是函数图形的水平渐近线。还有，的情形。三、函数极限的性质：定理1（函数极限的唯一性）：如果存在，则这极限必唯一定理2（函数极限的局部有界性）:如果,那么存在常数M0和,使得当.*证:因为=A,所以取=1,则时,有,记则定理2就获证明.定理3（函数极限的局部保号性）:如果,而且,那么存在常数,使得当时,有).如果=A，而且A0（或A0，使得当时，有f (x )0 ( 或f (x ) 0 )推论：如果在的某去心邻域内而且，那么,定理4（函数极限与数列极限的关系）如果极限存在，为函数f (x)的定义域内任意收敛于的数列，且满足：，那么相应的函数列必收敛，且1.4 无穷小与无穷大 在自变量的一定趋势下，函数的极限可能存在，也可能不存在，在极限存在的情况下，我们们着重讨论极限为零的情况，在极限不存在的情况下，我们着重讨论函数值的绝对值无限增大的情况（以为例）。一、无穷小定义1 如果函数当是的极限为零，那么称函数为时的无穷小。例1 因为，所以函数为当是的无穷小因为，所以函数为当是的无穷小注：1、无穷小与很小的数。 2、零是可以作为无穷小的唯一的常数。二、无穷小与函数极限的关系定理1 在自变量的同一变化过程，函数具有极限A的充要条件是，其中是无穷小。*提问：、两无穷小的和、差、积仍是无穷小？、两无穷小的商也是无穷小吗？引出不定式的概念。三、 无穷大定义2 设函数在的某一去心邻域内有定义（或大于某一正数时有定义）如果对于任意给定的正数（不论它多么大），总存在正数（或正数），只要适合不等式0（或），对应的函数值总满足不等式，则称函数为当时的无穷大。按函数极限定义来说，这时的极限是不存在的。为了便于叙述，我们也说“函数的极限是无穷大”，并记作。如果在无穷大的定义中，把，就记作例2 证明 *证 设0x=1是的图形的铅直渐近线。一般地说，如果，则直线，是函数图形的铅直渐近线。四、无穷大与无穷小的关系无穷大与无穷小之间存在着互为倒数的关系。定理2 在自变量的同一变化过程中